导数及应用高考题及解析.doc

1 导数高考大题 1 设函数 已知和为的极值点 2132 x f xx eaxbx 2x 1x f x 求和的值 ab 讨论的单调性 f x 设 试比较与的大小 32 2 3 g xxx f x g x 2 已知函数其中 n N a 为常数 1 ln 1 1 n f xax x 当 n 2 时 求函数 f x 的极值 当 a 1 时 证明 对任意的正整数 n 当 x 2 时 有 f x x 1 3 已知函数 其中 32 1 3 3 f xaxbxx 0a 1 当满足什么条件时 取得极值 ba xf 2 已知 且在区间上单调递增 试用表示出的取值范围 0 a xf 0 1 ab 4 2010 山东文 10 题 观察 由归纳推理可得 2 2xx 4 2 4xx cos sinxx 若定义在上的函数满足 记的导函数 则 R f x fxf x g xf x为 gx A B C D f x f x g x g x 5 2010 山东文 21 题 已知函数 1 1 1 Ra x a axnxxf 当处的切线方程 在点 时 求曲线 2 2 1fxfya 当时 讨论的单调性 1 2 a f x 6 2011 山东理 16 题 已知函数 当 log 0 1 a f xxxb aa 且 时 函数的零点 则 234ab f x 0 1 xn nnN n 7 2011 山东理 21 题 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容 器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的容积为立方米 且 80 3 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元 2lr 半球形部分每平方米建造费用为千元 设该容器的建造费用为千元 3 c c y 写出关于的函数表达式 并求该函数的定义域 yr 求该容器的建造费用最小值时的 r 2 8 2011 山东文 4 题 曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是 3 11yx 1 12 Py A 9 B 3 C 9 D 15 9 2008 全国文卷一 4 题 曲线在点处的切线的倾斜角为 3 24yxx 13 A 30 B 45 C 60 D 120 10 2008 全国文卷一 21 题 已知函数 32 1f xxaxx a R 讨论函数的单调区间 f x 设函数在区间内是减函数 求的取值范围 f x 21 33 a 11 2009 全国文卷二 21 题 设函数 其中常数 32 1 1 424 3 f xxa xaxa a1 讨论 f x 的单调性 若当 x 0 时 f x 0 恒成立 求的取值范围 w w w k s 5 u c o m a 12 2009 全国理卷一 9 题 已知直线 y x 1 与曲线相切 则 的值为 yln xa A 1 B 2 C 1 D 2 13 2009 全国理卷一 22 题 设函数在两个极值点 且 32 33f xxbxcx 12 xx 12 10 1 2 xx I 求满足的约束条件 并在下面的坐标平面内 画出满足这些条件的点的区域 bc b c II 证明 2 1 10 2 f x 14 2009 全国理卷二 4 题 曲线在点处的切线方程为 21 x y x 1 1 A B C D 20 xy 20 xy 450 xy 450 xy 15 2009 全国理卷二 22 题 设函数有两个极值点 且 2 1f xxaInx 12 xx 12 xx I 求的取值范围 并讨论的单调性 a f x II 证明 w w w k s 5 u c o m 2 1 22 4 In f x 16 2010 全国文卷一 21 已知函数 42 32 31 4f xaxaxx 3 I 当时 求的极值 1 6 a f x II 若在上是增函数 求的取值范围 f x 1 1 a 17 2010 全国文卷二 7 题 若曲线在点 0 b处的切线方程式 2 yxaxb 10 xy 则 A 1 1ab B 1 1ab C 1 1ab D 1 1ab 18 2010 全国文卷二 21 题 已知函数 32 331f xxaxx 设 求的单调区间 2a f x 设在区间 2 3 中至少有一个极值点 求的取值范围 f xa 19 2010 全国理卷一 20 题 已知函数 1 ln1f xxxx 若 求的取值范围 2 1xfxxax a 证明 1 0 xf x 20 2010 全国理卷二 22 题 设函数 1 x f xe 证明 当时 x 1 1 x f x x 设当时 求 a 的取值范围 0 x 1 x f x ax 21 2011 全国文卷一 21 题 已知函数 32 3 36 124f xxaxa xaaR 证明 曲线 0yf xx 在处的切线过点 2 2 若求 a 的取值范围 00 f xxxx 在处取得最小值 1 3 22 2011 全国理卷二 8 题 曲线在点 0 2 处的切线与直线和围1 2 x ey0 yxy 成的三角形的面积为 A B C D 1 3 1 2 1 3 2 23 2011 全国理卷二 22 题 设函数 证明 当时 2 ln 1 2 x f xx x 0 x 0f x 4 从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张 然后放回 用这种方式连续抽取 20 次 设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 证明 p 19 2 91 10 p e 23 1 解 因为 122 e 2 32 x fxxxaxbx 1 e 2 32 x xxxaxb 又和为的极值点 所以 2x 1x f x 2 1 0ff 因此 620 3320 ab ab 解方程组得 1 3 a 1b 因为 1 3 a 1b 所以 1 2 e1 x fxx x 令 解得 0fx 1 2x 2 0 x 3 1x 因为当时 2 x 01 0fx 当时 2 0 1 x 0fx 所以在和上是单调递增的 f x 2 0 1 在和上是单调递减的 2 01 由 可知 2132 1 e 3 x f xxxx 故 21321 e e xx f xg xxxxx 令 1 exh xx 则 1 e1 x h x 令 得 0h x 1x 5 因为时 1x 0h x 所以在上单调递减 h x 1x 故时 1x 1 0h xh 因为时 1x 0h x 所以在上单调递增 h x 1x 故时 1x 1 0h xh 所以对任意 恒有 又 x 0h x 2 0 x 因此 0f xg x 故对任意 恒有 x f xg x 2 解 由已知得函数 f x 的定义域为 x x 1 当 n 2 时 2 1 ln 1 1 f xax x 所以 2 3 2 1 1 ax fx x 1 当 a 0 时 由得 0fx 1 1 1 2 1x a 2 2 1x a 此时 12 3 1 a xxxx fx x 当 x 1 x1 时 单调递减 0 fxf x 当 x x1 时 单调递增 0 fxf x 2 当 a 0 时 恒成立 所以 f x 无极值 0fx 综上所述 n 2 时 当 a 0 时 f x 在处取得极小值 极小值为 2 1x a 22 1 1 ln 2 a f aa 当 a 0 时 f x 无极值 6 证法一 因为 a 1 所以 1 ln 1 1 n f xx x 当 n 为偶数时 令 1 1ln 1 1 n g xxx x 则 11 12 10 2 11 1 1 nn nxn g xx xxxx 所以当 x 2 时 g x 单调递增 又 g 2 0 因此 g 2 0 恒成立 1 1ln 1 1 n g xxx x 所以 f x x 1 成立 当 n 为奇数时 要证 x 1 由于 0 所以只需证 ln x 1 x 1 f x 1 1 nx 令 h x x 1 ln x 1 则 0 x 2 12 1 11 x h x xx 所以 当 x 2 时 单调递增 又 h 2 1 0 1 ln 1 h xxx 所以当 x 2 时 恒有 h x 0 即 ln x 1 x 1 命题成立 综上所述 结论成立 证法二 当 a 1 时 1 ln 1 1 n f xx x 当 x 2 时 对任意的正整数 n 恒有 1 1 1 nx 故只需证明 1 ln x 1 x 1 令 1 1 ln 1 2ln 1 2 h xxxxxx 则 12 1 11 x h x xx 当 x 2 时 0 故 h x 在上单调递增 h x 2 因此 当 x 2 时 h x h 2 0 即 1 ln x 1 x 1 成立 故 当 x 2 时 有 x 1 1 ln 1 1 n x x 7 即 f x x 1 3 解 1 由已知得 令 得 2 21fxaxbx 0 xf 2 210axbx 要取得极值 方程必须有解 xf 2 210axbx 所以 即 此时方程的根为 2 440ba 2 ba 2 210axbx 22 1 244 2 bbabba x aa 22 2 244 2 bbabba x aa 所以 12 fxa xxxx 当时 0 a x x1 x 1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 增函数极大值减函数极小值增函数 所以在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 xf 当时 0 a x x2 x 2 x2 x1 x1 x1 f x 0 0 f x 减函数极小值增函数极大值减函数 所以在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 xf 综上 当满足时 取得极值 ba 2 ba xf 2 要使在区间上单调递增 需使在上恒成立 xf 0 1 2 210fxaxbx 0 1 即恒成立 所以 1 0 1 22 ax bx x max 1 22 ax b x 设 1 22 ax g x x 2 22 1 1 222 a x a a g x xx 令得或 舍去 0g x 1 x a 1 x a 8 当时 当时 单调增函数 1 a 1 01 a 1 0 x a 0g x 1 22 ax g x x 当时 单调减函数 1 1 x a 0g x 1 22 ax g x x 所以当时 取得最大 最大值为 1 x a g x 1 ga a 所以ba 当时 此时在区间恒成立 所以在区间01a 1 1 a 0g x 0 1 1 22 ax g x x 上单调递增 当时最大 最大值为 所以 0 1 1x g x 1 1 2 a g 1 2 a b 综上 当时 当时 1 aba 01a 1 2 a b 4 D 5 解 当 1xfa时 0 1 2 ln x x xx 所以 2 2 2 0 xx x x xf 因此 12 f 即 曲线 1 2 2 处的切线斜率为 在点 fxfy 又 22ln 2 f 所以曲线 0 2ln 2 22 ln 2 2 yx xyfxfy 即 处的切线方程为 在点 因为 1 1 ln x a axxxf 所以 2 11 x a a x xf 2 2 1 x axax 0 x 令 1 2 axaxxg 0 x 1 当0 1 0 ah xxx 时 9 所以 当 函数单调递减 0 1 0 0 xh xfx 时此时 f x 当时 此时单调递 1 x 0h x 0 fx 函数f x 2 当0a 时 由f x 0 即 解得 2 10axxa 12 1 1 1xx a 当时 恒成立 1 2 a 12 0 xx h x 此时 函数在 0 上单调递减 0fx f x 当 11 0 110 2 a a 时 时 单调递减 0 1 x 0 0 h xfxf x 此时函数 时 单调递增 1 1 1 x a 0 0 h xfxf x 此时函数 此时 0fx 函数 f x单调递减 1 1 0 xh x a 时 当时 由于0a 1 10 a 时 此时 函数单调递减 0 1 x 0h x 0fx f x 时 此时 函数单调递增 1 x 0h x 0fx f x 综上所述 当时 函数在 上单调递减 0a f x 函数在 上单调递增 f x 当时 函数在 0 上单调递减 1 2 a f x 当时 函数在 0 1 上单调递减 1 0 2 a f x 函数在上单调递增 f x 1 1 1 a 函数上单调递减 1 1 f x a 在 6 2 解析 23a 23 log1loglog a aaa 34 b a 3 1logab 的零点在 2 3 上 n 2 log x a g xbx 7 1 设容器的容积为 V 10 由题意知 又 23 4 3 Vr lr 80 3 V 故 3 222 4 8044 20 3 333 Vr lrr rrr 由于 2lr 因此 02r 所以建造费用 22 2 4 20 2342 34 3 yrlr crrr c r 因此 2 160 4 2 02ycrr r 2 由 1 得 3 22 1608 2 20 8 2 02 2 c ycrrr rrc 由于 所以 3c 20c 当 时 3 20 0 2 r c 3 20 2 r c 令 则 3 20 2 rm c 0m 所以 22 2 8 2 c yrmrrmm r 当即时 02m 9 2 c 当时 rm 0y 当时 0 rm 0y 当时 2 rm 0y 所以 是函数的极小值点 也是最小值点 rm y 当即时2m 9 3 2 c 当时 函数单调递减 0 2 r 0y 所以 是函数的最小值点 2r y 综上所述 当时 建造费用最小时 9 3 2 c 2r 当时 建造费用最小时 9 2 c 3 20 2 r c 8 C 9 B 解析 曲线在点处的切线的倾斜角 2 1 32 1 x yxky 3 24yxx 13 11 选择 B 0 45 10 解 1 求导 32 1f xxaxx 2 321fxxax 当时 在上递增 2 3a 0 0fx f xR 当 由求得两根为 2 3a 0fx 2 3 3 aa x 即在递增 递减 f x 2 3 3 aa 22 33 33 aaaa 递增 2 3 3 aa 2 法一 函数在区间内是减函数 递 f x 21 33 22 33 33 aaaa 减 且 解得 2 2 32 33 31 33 aa aa 2 3a 2a 2 2 21 3x 2ax 10 33 g x 3x 2ax 1 242 7g 32a 10 a 393 a24 111 a2g 32a 10 393 a 2 法二 只需在区间 恒成立即可 令 只需 的取值范围为 11 解 I w w w k s 5 u c o m 2 2 4 1 2 2 axxaxaxxf 由知 当时 故在区间是增函数 1 a2 x0 x f xf 2 当时 故在区间是减函数 ax22 0 x f xf 2 2 a 当时 故在区间是增函数 ax2 0 x f xf 2 a 综上 当时 在区间和是增函数 在区间是1 a xf 2 2 a 2 2 a 减函数 II 由 I 知 当时 在或处取得最小值 0 x xfax2 0 x 12 aaaaaaaf2424 2 1 2 3 1 2 23 aaa244 3 4 23 af24 0 由假设知w w w k s 5 u c o m 即 解得 1 a 6 0 0 0 2 1 f af a 0 24 0 6 3 3 4 1 a aaa a 故的取值范围是 1 6 a 12 解 设切点 则 又 00 P xy 0000 ln1 yxayx 0 0 1 1 x x y xa 故答案选 B 000 10 12xayxa 13 解 由题意知方程有两个根 2 363fxxbxc 0fx 12 xx 则有 1 10 x 且 2 1 2 x 10f 故有 00 f 1020ff 210 0 210 440 bc c bc bc 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域 b c II 这一问考生不易得分 有一定的区分度 主要原 因是含字母较多 不易找到突破口 此题主要利用消 元的手段 消去目标中的 32 2222 33f xxbxcx 如果消会较繁琐 再利用的范围 并借助b c 2 x I 中的约束条件得进而求解 有较强的技巧性 2 0 c 解 由题意有 2 222 3630fxxbxc 13 又 32 2222 33f xxbxcx 消去可得 b 3 222 13 22 c f xxx 又 且 2 1 2 x 2 0 c 2 1 10 2 f x 14 B 解 111 22 2121 1 21 21 xxx xx y xx 故切线方程为 即 故选 B 1 1 yx 20 xy 15 解 I 2 22 2 1 11 axxa fxxx xx 令 其对称轴为 由题意知是方程的两个均 2 22g xxxa 1 2 x 12 xx 0g x 大于的不相等的实根 其充要条件为 得1 480 1 0 a ga 1 0 2 a 当时 在内为增函数 1 1 xx 0 fxf x 1 1 x 当时 在内为减函数 12 xx x 0 fxf x 12 x x 当时 在内为增函数 2 xx 0 fxf x 2 x II 由 I 2 1 0 0 0 2 gax 2 22 2 axx 2 222 2222222 1 2 1f xxalnxxxx lnx 2 设 22 1 22 1 2 h xxxx lnxx 则 22 21 122 21 1h xxxlnxxxlnx 当时 在单调递增 1 0 2 x 0 h xh x 1 0 2 当时 在单调递减 0 x 0h x h x 0 111 2ln2 0 224 xh xh 当时 故 22 1 22 4 In f xh x 16 解 I 2 4 1 331 fxxaxax 14 当时 在内单调递减 在内单调递 1 6 a 2 221 fxxx f x 2 2 增 在时有极小值 所以 是的极小值 2x f x 2 12f f x II 在上单调递增当且仅当即 1 1 f x 2 4 1 331 0fxxaxax 2 3310 axax 1 当时恒成立 0a 2 当时成立 当且仅当解得0a 2 3131 10 aa 1 6 a 3 当时成立 即成立 当且仅当0a 2 1 0 24 31 3 a a x 0 4 3 1 a 解得 4 3 a 综上 的取值范围是 a 4 1 3 6 17 A 0 2 x yxaa 1a 0 b 在切线 10 xy 1b 18 当 a 2 时 32 631 3 23 23 f xxxxfxxx 当时在单调增加 23 x 0 fxf x 23 当时在单调减少 23 23 x 0 fxf x 23 23 当时在单调增加 23 x 0 fxf x 23 综上所述 的单调递增区间是和 f x 23 23 的单调递减区间是 f x 23 23 22 3 1 fxxaa 当时 为增函数 故无极值点 2 10a 0 fxf x f x 当时 有两个根 2 10a 0fx 22 12 1 1xaaxaa 由题意知 22 213 213aaaa 或 15 式无解 式的解为 55 43 a 因此的取值范围是 a 5 5 4 3 19 解 11 ln1ln x fxxx x ln1xfxxx 题设等价于 2 1xfxxax ln xxa 令 则 lng xxx 1 1g x x 当 当时 是的最大值点 01x 0g x 1x 0g x 1x g x 1 1g xg 综上 的取值范围是 a 1 由 知 即 1 1g xg ln1 0 xx 当时 01x 1 ln1ln ln1 0f xxxxxxxx 当时 1x ln ln1 f xxxxx 1 ln ln1 xxx x 11 ln ln1 xx xx 0 所以 1 0 xf x 20 解 I 当时 1 x 当且仅当 1 x x xf 1xe x 令 2 分 1 1 xx exgxexg则 当 是增函数 0 0 xgx时 0 在xg 当是减函数 0 0 0 在时xgxgx 16 于是在 x 0 处达到最小值 因而当时 xgRx 1 0 xegxg x 即 所以当 6 分 1 1 x x xfx时 II 由题设 0 0 xfx此时 当不成立 1 0 1 1 0 ax x xf ax x a xa则若时 当则 xxfxaxfxha 令时 当且令当 1 ax x xf 0 xh 1 xfaxxaxfxaf xfxafxafxh 8 分 i 当时 由 I 知 2 1 0 a 1 xfxx 1 xfxfxaxaxfxafxh 0 12 xfa 是减函数 10 分 0 在xh 1 0 0 ax x xfhxh即 ii 当时 由 I