高中数学 2.1.2 演绎推理课件 新人教A版选修12 .ppt

2 1 2演绎推理 1 演绎推理 1 含义 从一般性的原理出发 推出某个 下的结论 我们把这种推理称为演绎推理 2 特点 演绎推理是由 到 的推理 特殊情况 一般 特殊 2 三段论 已知的一般原理 所研究的特殊情况 特殊情况 1 判一判 正确的打 错误的打 1 三段论 就是演绎推理 2 演绎推理的结论是一定正确的 3 演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理 解析 1 错误 三段论 是演绎推理的一般模式 却不是演绎推理 2 错误 在演绎推理中 只有 大前提 小前提 及推理形式都正确的情况下 其结论才是正确的 3 错误 演绎推理是由一般到特殊的推理 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 用演绎推理证明 y sinx是周期函数 时的大前提是 小前提是 2 正弦函数是奇函数 f x sin x2 1 是正弦函数 因此f x sin x2 1 是奇函数 以上推理中 三段论 中的是错误的 3 推理某一 三段论 其前提之一为肯定判断 结论为否定判断 且推理形式正确 由此可以推断 该三段论的另一前提必为判断 选填 肯定 或 否定 解析 2 1 y sinx是三角函数 而三角函数是周期函数 因此大前提为三角函数为周期函数 小前提应该为y sinx是三角函数 答案 三角函数是周期函数y sinx是三角函数 2 小前提错误 因为f x sin x2 1 不是正弦函数 答案 小前提 3 演绎推理在大 小前提和推理形式都正确的前提下 得到结论一定正确 答案 否定 要点探究 知识点演绎推理1 演绎推理的三个特点 1 演绎推理的前提是一般性原理 演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别 特殊事实 结论完全蕴涵于前提之中 2 在演绎推理中 前提与结论之间存在必然的联系 只要前提是真实的 推理的形式是正确的 那么结论也必定是正确的 因而演绎推理是数学中严格证明的工具 3 演绎推理是由一般到特殊的推理 2 对 三段论 的三点说明 1 三段论中的大前提提供了一个一般性原理 小前提指出了一种特殊情况 两个命题结合起来 揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系 从而得到了第三个命题 结论 2 若集合m的所有元素都具有性质p s是m中的一个子集 那么s中的元素也具有性质p 若m中的元素都不具有性质p 则s中的元素也不具有性质p 3 从以上两点可以看出 三段论推理的结论正确与否 取决于两个前提是否正确 推理形式 即s与m的包含关系 是否正确 知识拓展 合情推理与演绎推理的区别与联系 微思考 合情推理与演绎推理的作用分别是什么 提示 合情推理的作用是探索方法 寻求思路 发现规律 得到猜想 而演绎推理的作用在于对由合情推理得到的结论 进行严格的证明 即时练 1 2014 厦门高二检测 已知幂函数f x x 是增函数 而y x 1是幂函数 所以y x 1是增函数 上面推理错误是 a 大前提错误导致结论错b 小前提错误导致结论错c 推理的方式错误导致错d 大前提与小前提都错误导致错 解析 选a 大前提为 f x x 是增函数 在f x x 中当 0时f x 为增函数 显然大前提是错误的 2 函数y 2x 5的图象是一条直线 用三段论表示为 大前提 小前提 结论 解析 根据三段论模式分析题意可知 一次函数y kx b k 0 的图象是一条直线 大前提y 2x 5是一次函数 小前提函数y 2x 5的图象是一条直线 结论答案 一次函数y kx b k 0 的图象是一条直线y 2x 5是一次函数函数y 2x 5的图象是一条直线 题型示范 类型一用三段论证明几何问题 典例1 1 2014 湛江高二检测 推理 矩形是平行四边形 正方形是矩形 所以正方形是平行四边形 中的小前提是 2 证明 如果梯形的两腰和一底相等 那么它的对角线必平分另一底上的两个角 解题探究 1 题 1 中的推理是什么形式 2 题 2 中证明的方法和步骤是什么 探究提示 1 题中的推理是三段论的形式 2 先将文字语言转化为几何语言 利用平行线的性质去寻求角的关系 自主解答 1 推理 矩形是平行四边形 正方形是矩形 所以正方形是平行四边形 中 矩形是平行四边形 大前提正方形是矩形 小前提所以正方形是平行四边形 结论答案 2 已知在梯形abcd中 如图所示 ab dc ad ac和bd是它的对角线 求证 ca平分 bcd bd平分 cba 证明 等腰三角形的两底角相等 大前提 dac是等腰三角形 dc da 小前提 1 2 结论 两条平行线被第三条直线所截 内错角相等 大前提 1和 3是平行线ad bc被ac所截的内错角 小前提 1 3 结论 等于同一个量的两个量相等 大前提 2 3都等于 1 小前提 2和 3相等 结论即ca平分 bcd 同理bd平分 cba 方法技巧 1 用三段论证明命题的步骤 1 理清楚证明命题的一般思路 2 找出每一个结论得出的原因 3 把每个结论的推出过程用 三段论 表示出来 2 三段论中的三个判断三段论是由三个判断组成的 其中的两个为前提 另一个为结论 第一个判断是提供性质的一般判断 叫做大前提 通常是已知的公理 定理 定义等 第二个判断是和大前提有联系的特殊情况 叫做小前提 通常是已知条件或前面证明过程中推理的第三个判断 第三个判断为结论 在推理论证的过程中 一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成 而大前提通常省略不写 或者写在结论后面的括号内 小前提有时也可以省去 而采取某种简明的推理格式 变式训练 如图 abc中 d e f分别是bc ca ab上的点 bfd a de ba 求证ed af 写出 三段论 形式的演绎推理 解题指南 只需证明四边形aedf为平行四边形即可 证明 因为同位角相等 两直线平行 大前提 bfd与 a是同位角 且 bfd a 小前提所以fd ae 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形 大前提de ba 且fd ae 小前提所以四边形afde为平行四边形 结论因为平行四边形的对边相等 大前提ed和af为平行四边形afde的对边 小前提所以ed af 结论 补偿训练 已知在空间四边形abcd中 点e f分别是ab ad的中点 如图所示 求证 ef 平面bcd 指出大前提 小前提及结论 证明 因为三角形中位线与第三边平行 大前提点e f分别是ab ad的中点 ef是 abd的中位线 小前提所以ef bd 结论因为平面外一条直线与平面内一条直线平行 则该直线与平面平行 大前提ef 平面bcd bd 平面bcd ef bd 小前提所以ef 平面bcd 结论 类型二演绎推理在代数证明中的应用 典例2 1 2014 温州高二检测 由 a2 a 1 x 3 得x 的推理过程中 其大前提是 2 已知函数f x ax a 1 证明 函数f x 在 1 上为增函数 解题探究 1 题 1 中的大前提怎样找 2 题 2 中证明的方法是什么 探究提示 1 将推理过程写成三段论的形式 2 利用增函数的定义或利用f x 0证明 自主解答 1 该推理过程写成三段论形式 不等式两边同除以一个正数 不等号的方向不变 大前提 a2 a 1 x 3 a2 a 1大于0 小前提x 结论答案 不等式两边同除以一个正数 不等号方向不变 2 方法一 定义法 任取x1 x2 1 且x1 x2 f x2 f x1 因为x2 x1 0 且a 1 所以 1 而 10 x2 1 0 所以f x2 f x1 0 所以f x 在 1 上为增函数 方法二 导数法 f x 所以f x axlna 因为x 1 所以 x 1 2 0 所以 0 又因为a 1 所以lna 0 ax 0 所以axlna 0 所以f x 0 于是得f x ax 在 1 上是增函数 方法技巧 代数问题中的常见的利用三段论证明的命题 1 函数类问题 比如函数的单调性 奇偶性 周期性和对称性等 2 导数的应用 利用导数研究函数的单调区间 求函数的极值和最值 证明与函数有关的不等式等 3 三角函数的图象与性质 4 数列的通项公式 递推公式以及求和 数列的性质 5 不等式的证明 变式训练 证明f x x3 x在r上为增函数 并指出证明过程中所运用的 三段论 证明 在r上任取x1 x2 且x10 因为f x x3 x 所以f x2 f x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2x1 1 x2 x1 因为所以f x2 f x1 0 即f x2 f x1 所以f x x3 x在r上是增函数 在证明过程中所用到的 三段论 大前提是 增函数的定义 小前提是 题中的f x 经过正确的推理满足增函数的定义 结论是 f x 是增函数 补偿训练 已知数列 an 满足a1 1 a2 3 an 2 3an 1 2an n n 1 证明 数列 an 1 an 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 因为an 2 3an 1 2an 所以an 2 an 1 2an 1 2an 2 an 1 an 所以 2 n n 而a2 a1 2 所以数列 an 1 an 是以2为首项 2为公比的等比数列 2 an an an 1 an 1 an 2 a3 a2 a2 a1 a1 2n 1 2n 2 22 21 1 1 2n 1 拓展类型 拓展类型演绎推理与合情推理的关系 备选典例 1 2013 东莞高二检测 下列推理过程是演绎推理的为 a 人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为b 科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼c 我们由a1 1 a2 3 a3 5 推测得an 2n 1 n n d 数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数2 用三段论写出求解下题的主要解答过程 若不等式 ax 2 6的解集为 1 2 求实数a的值 解析 1 选d 根据题意 对于a人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为 这是归纳推理 b 科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼 根据其原理来制造相同的物体 这是类比推理 c 由a1 a2 a3 归纳得出an的通项 是归纳推理 d 数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 是演绎推理 故选d 2 推理的第一个关键环节 大前提 如果不等式f x 0的解集为 m n 且f m f n 有意义 则m n是方程f x 0的实数根 小前提 不等式 ax 2 6的解集为 1 2 且x 1与x 2都使表达式 ax 2 6有意义 结论 1和2是方程 ax 2 6 0的根 所以 a 2 6 0与 2a 2 6 0同时成立 推理的第二个关键环节 大前提 如果 x a a 0 那么x a 小前提 a 2 6且 2a 2 6 结论 a 2 6且2a 2 6 可得出结论a 4 方法技巧 应用演绎推理的一般思路在运用演绎推理 即三段论证明问题时要充分挖掘题目外在和内在条件 小前提 根据需要引入相关的适用的定理和性质 大前提 并保证每一步的推理都是正确的 严密的 才能得出正确的结论 易错误区 忽略大前提而致误 典例 2014 深圳高二检测 已知2sin2 sin2 3sin 则sin2 sin2 的取值范围为 解析 由2sin2 sin2 3sin 得sin2 sin2 sin2 3sin 因为0 sin2 1 sin2 3sin 2sin2 所以0 3sin 2sin2 1 解之得sin 1 或0 sin 令y sin2 s