高中数学 1.3.3最大值与最小值课件 苏教版选修22.ppt

1 3 3最大值与最小值 课标要求 1 理解函数的最值与极值的异同 2 会求函数在区间上的最值 核心扫描 1 利用导数求给定区间上函数的最大值 最小值 重点 2 准确认识极值与最值的区别与联系 易混点 3 常与函数的单调性 参数的讨论等知识结合命题 自学导引 1 函数的最大值如果在函数定义域i内存在x0 使得对任意的x i 总有 则称f x0 为函数f x 在定义域上的最大值 最大值是相对函数定义域整体而言的 如果存在最大值 那么最大值惟一 f x f x0 2 一般地 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求f x 在区间 a b 上的极值 2 将第一步中求得的极值与f a f b 比较 得到f x 在区间 a b 上的最大值与最小值 想一想 求函数y f x 在 a b 上的最值与求f x 的极值有什么不同 提示根据函数最值的定义及求最值的方法可知 1 求函数的最值与求函数的极值不同的是 在求可导函数的最值时 不需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值 只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可 2 可利用函数的单调性求f x 在闭区间上的最值 若f x 在 a b 上单调增加 则f x 的最大值为f b 最小值为f a 若f x 在 a b 上单调减少 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 名师点睛 1 在理解函数最值时 必须注意以下几点 1 函数的最大值与最小值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间上所有函数值的最大值 最小值必须是整个区间上所有函数值的最小值 2 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出的 函数的极大值 极小值是比较极值点附近的函数值得出的 函数的极值可以有多个 但最值只能有一个 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点取得 有极值的未必有最值 有最值的也未必有极值 极值有可能成为最值 最值只要不在端点必定是极值 题型一求函数的最值 思路探索 利用导数法求极值 比较极值与端点值的大小确定最值 用导数求函数的最值和求函数的极值方法类似 在给定区间是闭区间时 极值要和区间端点的函数值进行比较 最大值为极大值和端点函数值中的较大者 最小值为极小值和端点函数值中的较小者 2 f x 3x2 6x 6 3 x2 2x 2 3 x 1 2 3 f x 在 1 1 内恒大于0 f x 在 1 1 上为增函数 故x 1时 f x 最小值 12 x 1时 f x 最大值 2 即f x 在 1 1 上的最小值为 12 最大值为2 题型二已知函数的最值求参数 例2 已知函数f x ax3 6ax2 b 试问是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上取得最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 思路探索 利用导数法求得极值 比较极值与端点值的大小求得最值 根据最值求参数 解依题意 显然a 0 f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 解得x1 0 x2 4 舍 1 当a 0时 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 当x 0时 f x 取得最大值 f 0 b 3 又f 2 16a 3 f 1 7a 3 f 1 f 2 当x 2时 f x 取得最小值 即 16a 3 29 a 2 2 当af 1 当x 2时 f x 取得最大值 即 16a 29 3 a 2 综上所述 存在a b适合题设 且a 2 b 3或a 2 b 29 已知函数的最值求参数 关键是正确的确定最值 利用待定系数法转化成参数的方程 从而解决问题 解决这类问题常需要分类讨论 并结合不等式的知识求解 变式2 已知函数f x 2x3 6x2 a在 2 2 上有最小值 37 1 求a 2 求f x 在 2 2 上的最大值 解 1 f x 6x2 12x 6x x 2 令f x 0 得x 0或x 2 f 0 a f 2 a 8 又 f 2 a 40 当x 2时 f x min 40 a 37 a 3 2 由 1 知当x 0时 f x 有最大值是3 题型三与最值有关的恒成立问题 1 若f x 的图象有与x轴平行的切线 求b的取值范围 2 若f x 在x 1时取得极值 且x 1 2 时 f x c2恒成立 求c的范围 审题指导 1 先求f x 由题意知f x 0有实数根 可求b的范围 2 f x c2恒成立 f x max c2 故利用导数法先求f x 的最大值 然后求解 即当x 1 2 时 f x 的最大值为f 2 2 c 12分 对x 1 2 时 f x c2恒成立 c2 2 c 解得c 1或c 2 故c的取值范围为 1 2 14分 题后反思 不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型 有关恒成立问题 通常转化为函数的最值问题来解 一般地 c f x 恒成立 c f x max c f x 恒成立 c f x min 同时 在求高次函数或非基本初等函数的最值时 可以借助导数求解 方法技巧数形结合思想 学习了利用导数研究函数的极值与最值后 结合以前所研究函数的奇偶性与单调性的方法 给定一个函数 其图象的大致轮廓就能清晰地呈现在我们面前 能够大致地描绘函数图象 一些数学问题便能顺利解决 方程根的个数或者说函数零点个数问题即是本节知识数形结合的一个具体的应用 示例 求方程x3 6x2 9x 4 0的根的个数 转化为求零点个数或图象交点个数问题 利用导数解决 解 法一转化为求f x x3 6x2 9x 4的零点的个数问题 f x 3x2 12x 9 令f x 0得x 3或x 1 当x变化时 f x f x 随x变化情况如下表 又当x 时 f x x 时 f x 故f x 的图象大致如图所示 方程x3 6x2 9x 4 0的根的个数为2个 法二转化为求f1 x x3 6x2 9x与f2 x 4图象交点的个数问题 f1 x x3 6x2 9x f1 x 3x2 12x 9 令f 1 x 0得x 3或x 1 当x变化时 f 1 x f1 x 随x变化情况如下表 又当x 时 f1 x 当x 时 f1 x 故f1 x 与f2 x 的图象大致如图所示 由此知y f1 x 与y f2 x 图象有两个交点 故方程x3 6x2 9x 4 0的根的个数为2