山东省潍坊高新技术产业开发区东明学校九年级数学上册 3.1 圆的对称性课件 （新版）青岛版.ppt

3 1圆的对称性 1 垂径定理及其逆定理 学习目标 理解圆的轴对称性及其相关性质 理解垂径定理 会运用垂径定理解决有关问题 重点 难点 垂径定理及其应用 预习案的交流与展示 知识准备 什么是轴对称图形 我们曾经学过哪些轴对称图形 如果一个图形沿一条直线对折 直线两旁的部分能够互相重合 那么这个图形叫轴对称图形 如线段 角 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正方形等 1 圆是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 你是用什么方法解决上述问题的 自主学习 圆是轴对称图形 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴 可利用折叠的方法即可解决上述问题 2 按下面的步骤做一做 1 拿出一张圆形纸片 把这个圆对折 使圆的两半部分重合 2 得到一条折痕cd 3 在 o上任取一点a 过点a作cd折痕的垂线 得到新的折痕 其中 点m是两条折痕的交点 即垂足 4 将纸打开 新的折痕与圆交于另一点b 如上图 在上述的操作过程中 你发现了哪些相等的线段和相等的弧 它们为什么相等呢 自主学习 如图 小明的理由是 连接oa ob 则oa ob 在rt oam和rt obm中 oa ob om om rt oam rt obm am bm 点a和点b关于cd对称 o关于直径cd对称 当圆沿着直径cd对折时 点a与点b重合 自主学习 能不能试着利用构造等腰三角形得出上面的等量关系 连接oa ob 则oa ob am bm 点a和点b关于cd对称 o关于直径cd对称 当圆沿着直径cd对折时 点a与点b重合 cd ab于m 证明 自主学习 能不能试着利用构造等腰三角形得出上面的等量关系 探究一 对垂径定理的理解 定理垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 cd ab cd是直径 am bm 在下列图形中 你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧 同步训练 探究二 垂径定理的应用 例 如图 以 oab的顶点o为圆心的 o交ab于点c d 且ac bd 求证 oa ob 例2 如图 已知在 o中 弦ab的长为8厘米 圆心o到ab的距离为3厘米 求 o的半径 e 解 连结oa 过o作oe ab 垂足为e 则ae be ab 8 4厘米 在rt aoe中 oe 3厘米 根据勾股定理 oa o的半径为5厘米 厘米 若e为弦ab上一动点 则oe取值范围是 探究二 垂径定理的应用 如图 一条公路的转弯处是一段圆弧 即图中 点o是的圆心 其中cd 600m e为上一点 且oe cd 垂足为f ef 90m 求这段弯路的半径 实际应用 挑战自我 如图 p为 o内一点 你能用尺规作 o的一条弦ab 使点p恰为ab的中点吗 说明你的理由 你说 我说 大家说 1 在 o中 若cd ab于m ab为直径 则下列结论不正确的是 2 已知 o的直径ab 10 弦cd ab 垂足为m om 3 则cd 3 在 o中 cd ab于m ab为直径 若cd 10 am 1 则 o的半径是 c 8 13 当堂达标 赵州石拱桥 1400多年前 我国隋朝建造的赵州石拱桥 如图 的桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对是弦的长 为37 02m 拱高 弧的中点到弦的距离 也叫弓形高 为7 23m 求桥拱的半径 精确到0 1m 船能过拱桥吗 如图 某地有一圆弧形拱桥 桥下水面宽为7 2米 拱顶高出水面2 4米 现有一艘宽3米 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里 此货船能顺利通过这座拱桥吗 课后提升 你可以写出相应的命题吗 如图 在下列五个条件中 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论 cd是直径 am bm cd ab 垂径定理逆定理 垂径定理及逆定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 cd是直径 am bm cd ab c d a b e 例 平分已知弧ab 已知 弧ab 作法 连结ab 作ab的垂直平分线cd 交弧ab于点e 点e就是所求弧ab的中点 求作 弧ab的中点 挑战自我画一画 c d a b e f g 变式一 求弧ab的四等分点 m n c a b e 变式二 你能确定弧ab的圆心吗 m n d c a b e m n o 你能破镜重圆吗 a b a c m n o 作弦ab ac及它们的垂直平分线m n 交于o点 以o为圆心 oa为半径作圆 破镜重圆 a b c m n o 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 作图依据 判断 垂直于弦的直线平分弦 并且平分弦所对的弧 弦所对的两弧中点的连线 垂直于弦 并且经过圆心 圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 平分弦的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 圆内两条非直径的弦不能互相平分 挑战自我填一填 6 平分弦的直径 平分这条弦所对的弧 7 平分弦的直线 必定过圆心 8 一条直线平分弦 这条弦不是直径 那么这条直线垂直这条弦 挑战自我填一填 9 弦的垂直平分线一定是圆的直径 平分弧的直线 平分这条弧所对的弦 弦垂直于直径 这条直径就被弦平分 挑战自我填一填 已知 如图 o中 弦ab cd ab cd 直径mn ab 垂足为e 交弦cd于点f 图中相等的线段有 图中相等的劣弧有 挑战自我填一填 已知 如图 o中 ab为弦 c为弧ab的中点 oc交ab于d ab 6cm cd 1cm 求 o的半径oa 挑战自我做一做 解 1 oab