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中 考 规 律 题 探 究 贵定县第一中学 甘继福最近几年来，全国多数地市的中招考试都有找规律的题目，人们开始逐渐重视这一类数学题，研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养，也是高中学习函数和数列的基础。但究竟怎样才能把这种题目做好，是一个值得探究的问题，这类问题没有明确的知识方法可套，在现在的教科书上也很少触及这类问题。这类题目主要考查学生的综合分析问题和解决问题的能力。下面就解决这类问题作一个初步的探究。一、周期叠加型某个图形沿一条直线转动，图形上的某个点在旋转过程中经过的路程，这种题型是周期叠加型，计算公式为旋转次数除以周期的商再乘以一个周期的路程，最后加上余数经过的路程。例1：如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90至图位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90至图位置，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A2015B3019.5C3018D3024分析：试题分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：， 以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+=6，20154=503余3 顶点A转动四次经过的路线长为： =练习：1、如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次 ，使它转到ABC的位置若BC=1，AC=，则顶点A运动到点A的位置时，点A两次运动所经过的路程_（计算结果不取近似值） 2、如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长是（ ）cmA8 B8 C3 D43、如图，等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将ABC绕点A顺时针旋转到位置可得到点P1，此时AP1=；将位置的三角形绕点P1顺时针旋转到位置，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置的三角形绕点P2顺时针旋转到位置，可得到点P3，此时AP3=2+；，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止则AP2014= 4、观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，解答下面问题：2+22+23+24+220151的末位数字是（）A0 B3 C4 D8二、周期型 一个图形（或一组数据）在运动、变化的发展过程中,一组数据多次重复出现,其连续两次出现所经过的个数叫周期 。计算公式为总次数除以周期所余的余数是多少，再确定这个数是多少（或者图形是哪一个）。例2、如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，组成一条平滑的虚线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）A（2014，0）B（2015，1） C（2015，1） D（2016，0）分析：由题意得半圆周的周长是，四分之一圆周是二分之，因为半径为1，根据P点的速度得：1秒时P点坐标是（1,1）；2秒时P点坐标是（2,0）；3秒时P点坐标是（3，-1）；4秒时P点坐标是（4,0）；5秒时P点坐标是(5,1), P点横坐标和秒数相同，纵坐标是1，0，-1， 0这样循环，而 所以P点纵坐标是-1故P（2015，-1），练习：1、一串有趣的图案按一定的规律排列(如图)：按此规律在右边的圆中画出的第2011个图案： 。2、一列数x1，x2，x3，其中x1=，xn=（n为不小于2的整数），则x2015=三、 图形逐渐放大或者缩小型(等比数列) 如果一个图形从第2个图形起，每一图形的面积（边长）与它的前一图形的面积（边长）比值等于同一个常数，那么计算公式为.关键是找到第一个图形和第二个的数量关系。例3、如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn1的面积为分析：因为四边形ABCD是矩形，则ADDC，故AC=，又因为按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C,所以矩形AB1C1C的边长与矩形ABCD的边比为：4。由于矩形ABCD的面积为2，所以矩形AB1C1C的面积，依此类推矩形AB2C2 C1的面积和矩形AB1C1C的面积比为：4，因此矩形AB2C2 C1的面积为，第个矩形ABnCnCn1的面积为。练习：1、如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标的记为，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外做正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为（ ） A B. C. D. 2、如图，都是等腰直角三角形其中点，在轴上，点，在直线上已知，则的长为 3、如图，正ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正AB1C1，ABC与AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正AB2C2，AB1C1与AB2C2公共部分的面积记为S2；，以此类推，则Sn= （用含n的式子表示）4、如图，已知,以斜边为直角边作直角三角形，使得,依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含角的直角三角形，则的最小边长为( ) A B C D5、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45，再将其延长到M1，使得M1M0OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45，再将其延长到M2，使得M2M1OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为 四、等差数列(高斯公式规律)型如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数（或者图形）和它的前一个数（或者图形）进行比较，如增幅相等，则第n个数（或者图形）可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数（或者图形个数），b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。例4、如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案5是由个组成的，依此，第n个图案是由个组成的分析：第一个图形是由一个 与3个组成的，图案2是由一个 与23个组成的。所以第n个图案是由一个 与n3个组成的。所以计算公式为1+3n练习：1、如图，是用火柴棒拼成的图形，第1个图形需3根火柴棒，第2个图形需5根火柴棒，第3个图形需7根火柴棒，第4个图形需 根火柴棒，则第个图形需 根火柴棒。2、如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，则第n个图案中有 根小棒3、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 _块，第个图形中需