高等数学前三章复习卷三.doc

前三章复习卷三一、 填空题（本题6小题，每空4分，满分24分，每小题给出四个选项，把正确答案填在题后的横线上）1、；2、设在点处可导，则，；3、若，则；4、设，则；5、曲线的斜渐近线为；6、设在点处的切线与轴交于点，则。二、计算（每小题6分，共30分）1、 求极限。2、。3、设，求。4、设由确定，求。5、设是由方程所确定（），求。三、解答下列各题（每小题6分，共18分）1、证明：当时，。2、求函数的导数，并讨论在是的连续性。3、设，求函数的间断点，并说明间断点的类型。四、（本题7分）在上二阶可导，且，。证明：（1） 任意，；（2）存在，使得。五、（本题满分7分）试确定常数的值，使得曲线在点处有拐点，且在处有极大值1，并求此函数的极小值。六、（本题满分7分）若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。七、（本题7分）设函数在区间上连续，在内可导，在内至少有一个零点，且，证明：。八（本题7分）设在上二阶可导且，取，对任意的，证明：。2、（本题7分）证明方程在内有且仅有两个根。3、（本题6分）设，证明：极限存在并计算其极限。前三章复习卷三参考答案一、填空题：1、； 2、； 3、解答：。4、解答：，。5、解答：，则曲线的斜渐近线为。6、解答：，则在点的切线方程为，令，得，则。二、计算：1、解： （3分）。 （3分）2、解：解答： （3分）。 （3分）3、解：， （3分）。 （3分）4、解：当时，。， （2分）方程两边对求导数，得，则， （2分）于是。 （2分）5、解：方程两边对求导数，得， （3分）解得， （2分）所以。 （1分）三、解答下列各题：1、证明：令，。 （3分）因为，所以在上单调增加，从而当时，有，于是。 （3分）2、解答：当时，；当时，因为，所以，于是。 （4分）因为不存在，而，所以为的第二类间断点。 （2分）3、解：函数在及处间断。 （2分）因为，所以为函数第一类间断点的跳跃间断点； （2分）又因为，所以为函数的第二类间断点。 （2分）四、解：证明：（1）若存在，使得，由罗尔定理，存在，使得，再使用罗尔定理，存在，使得，矛盾，所以对任意的，有。 （3分）（2）令，因为，所以由罗尔定理，存在，使得，而，故，注意到，于是。 （4分）五、解：，因为处函数有极大值1，所以为驻点，从而有。 （2分）因为为拐点，所以有。 （2分）于是有，。令，的驻点。因为，所以函数的极小值为。 （3分）六、解：设所直角边为，其与斜边之和为常数，则有。 （2分）， （3分）令，得是唯一的驻点，且最大值存在，所以为最大面积，此时边与斜边的夹角为。 （2分）七、证明：因为函数在区间内至少有一个零点，所以存在，使得。 （3分）由微分中值定理，得，。再由，则有，两式相加，得，从而有 （4分）。八 1、证明：令，由泰勒公式得 ，其中介于与之间。因为，所以， （3分）于是，两式分别乘以及，得，两式相加得 ，即。 （4分）2、证明：令，再令，得。因为，所以为在的最大点，最大值为， （4分）因为，所以函数在内有且仅有两个零点，即方程在内有且仅有两个根。 （3分）3、证明：，先证明单调减少。，