2013 数理统计复习题

补充内容2 参数的点估计例2.1 设总体服从泊松分布XP(l)，X1,X2,Xn为来自X的样本，求l的矩估计量与的极大似然估计。解 因E(X)=l，D(X)=l.。所以l的矩估计量为或。XP(l)，其分布律为 =， x=0,1,2, 设x1,x2,xn为样本观察值，则似然函数=令 ，解得l的极大似然估计 。例2.2 设总体X的概率密度函数为,其中为未知参数，X1,X2,Xn为来自X的样本，试求的矩估计与极大似然估计。解 因为 令，解得q 的矩估计量为。似然函数，令解得的极大似然估计 练习题2.1 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测验,得到如下数据(单位:h):1050 1100 1130, 1040, 1250, 1300, 1200, 1080试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计. 2.2 设X1,X2,Xn是容量为n的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量。已知总体的分布密度如下：(1) f(x;a)=(a+1)xa,0x =10.3，故拒绝H0,接受H1。说明技改后产品中甲醇含量的波动较之前有显著减少，技改对稳定工业酒精的质量有明显效果。例3.2.3用原子吸收光谱法(新法)和EDTA(旧法)测定某废水中AL3+的含量(%)，测定结果如下：新法：0.163，0.175，0.159，0.168，0.169，0.161，0.166，0.179，0.174，0.173旧法：0.153，0.181，0.165，0.155，0.156，0.161，0.175，0.174，0.164，0.183，0.179试问：(1) 两种方法的精密度是否有显著差异？(2) 新法比旧法的精密度是否有显著提高？(a=0.05)解(1) 依题意，新法的方差可能比旧法大也可能小，所以采用F双尾检验，即检验根据试验值计算出两种方法的方差及F值：由显著性水平a=0.05，查F分布表得F0.975(9,10)=0.252, F0.25(9,10)=3.779。所以F0.975(9,10)F F0.95(9,10)，说明新法比旧法的方差没有显著性减小，即新法比旧法的精密度没有显著提高。习题3 3.2对同一铜合金，有10个分析人员分别进行分析，测得其中铜含量(%)的数据为：62.20，69.49，70.30，70.65，70.82，71.03，71.22，71.25，71.33，71.38(%)，问这些数据中哪个(些)数据应被舍去，试检验。(=0.05)3.3一个混杂的小麦品种，株高标准差s0=14(cm)，经提纯后随机抽取10株，株高(单位：cm)为：90，105，101，95，100，100，101，105，93，97，考察提纯后的群体是否比原来群体整齐？(a=0.01)3.5A,B两人用同一分析方法测定金属钠中的铁，测的铁含量(g/g)分别为：分析人员A：8.0，8.0，10.0，10.0，6.0，6.0，4.0，6.0，6.0，8.0；分析人员B：7.5，7.5，4.5，4.0，5.5，8.0，7.5，7.5，5.5，8.0，试问A与B两人测定铁的精密度是否有显著差异？(a=0.05)第4章试验数据的方差分析例4.1.1某公司采用四种方式推销其产品。为检验不同方式推销产品的效果，随机抽样得表4.1.3。表4.1.3某公司产品销售方式所对应的销售量销售方式序号方式一方式二方式三方式四177957180286927684381786879488968170583897482解检验假设，即推销方式对销售量影响不显著；不全相等，即推销方式对销售量有显著影响。表4.1.4方差分析表方差来源偏差平方和自由度方差值显著性组间SSA=6853MSA=228.3333=7.3360(3,16)=3.24高度显著组内SSE=49816MSE=31.125(3,16)=5.29总和SST=118319由于(3,16)，故拒绝，即推销方式对销售量有显著影响。表4.1.6各均值比较表水平平均数A3A4A1A2A29016*11*7*A1839*4A4795A374由表4.1.5比较结果说明A2与A3、A2与A4差异高度显著，A1与A3、A2与A1差异显著。LSD法只适用于等重复试验两两独立子样间的均值检验，只不过是找到一个公共的LSD多次重复使用而已。习题44.1有四个不同的实验室试制同一型号的纸张，为比较各实验室生产纸张的光滑度，测量了每个实验室生产的8张纸，测得光滑度见表4.1。表4.1四个实验室生产纸张的光滑度实验室纸张光滑度A138.741.543.844.545.546.047.758.0A239.239.339.741.441.842.943.345.8A334.035.039.040.043.043.044.045.0A434.034.834.835.437.237.841.242.8假设上述数据服从方差分析模型，试检验各个实验室生产的纸张的光滑度是否有显著差异？如果显著，显著的差异存在于哪些水平对？4.2在饲料对样鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料，A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特选30只雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。实验结果如表4.2。表4.2鸡饲料试验数据饲料A鸡重(克)A11073105810711037106610261053104910651051A21016105810381042102010451044106110341049A31084106911061078107510901079109411111092在显著性水平a=0.05下，进行方差分析，可以得到哪些结果？5章试验数据的回归分析例5.1.1为研究某合成物的转化率T与实验中的压强p(atm)的关系，得到如表5.1.1的试验数据。试建立转化率与压强之间一元线性回归方程。表5.1.1转化率y与压强x数据表x/p/atm24589y/T/%2.012.983.505.025.07解根据表5.1.1数据，由式(5.1.1)计算得：b=0.45729，a=1.1552，所以回归直线方程为:假设H0：b=0；H1：b0。表5.1.3 方差分析表方差来源偏差平方和自由度方差F比Fa显著性回归6.942616.9426231.5319F0.01(1,3)=34.1162高度显著剩余0.08995630.029985F0.05(1,3)=10.128总和7.03254由表5.1.3知，回归方程是高度显著的。拟合程度的测定：r很接近于1，表明回归直线对样本数据点的拟合程度很高。由表5.1.3知，MSE=0.029985，故估计标准误差为表明回归标准误差很小。预测当压强为x=6atm时，转化率y0的点估计为=1.1552+0.457296=3.8989这里，转化率y0的置信度为0.95的置信区间为(3.89894-20.1732，3.89894+20.1732)，即(3.5525，4.2453)。例5.4.2炼钢过程中用来盛钢水的钢包，由于受钢水的侵蚀作用，容积会不断扩大，表5.4.4给出了使用次数x和容积增大量y的15对试验数据。已知两个变量x和y之间存在相关关系，试找出x与y的关系式，并研究其相应的统计推断问题。表5.4.4 实测试验数据表使用次数(x)增大容积(y)使用次数(x)增大容积(y)使用次数(x)增大容积(y)使用次数(x)增大容积(y)26.4269.701010.491410.6038.20710.001110.591510.9049.5889.931210.601610.7659.5099.991310.80解散点图：通过比较双曲线拟合的剩余标准误差小、可决系数大，效果最佳。效果最好。拟合曲线方程是y=11.3944-9.6006/x方差分析表R = 0.9838，Sy = 0.2202习题55.2考察温度对产量的影响，测得下列10组数据，如表5.2。表5.2数据表温度x (C)20253035404550556065产量y (kg)13.215.116.417.117.918.719.621.222.524.3(1) 试建立x与y之间的回归方程式；(2) 对其回归方程进行效果检验；(3) 预测x=42C时产量的估计值及预测区间(置信度95)。 5.5混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加。现将一批混凝土作成12个试块，记录了养护时间(天)及抗压强度(kg/cm2)的数据如表5.5。表5.5数据表(天)234579121417212856(kg/cm2)354247535965687376828699试求型回归方程，并求出误差标准差.5.6在彩色显像管中根据以往经验,形成染料光学密度y与析出银的光学密度x之间有下面类型的关系式：现对y及x同时作11次观测，得11组数据(xi,yi)如表5.6。表5.6数据表0.050.060.070.100. 140.200.250.310.380.430.470.100.140.230.340.590.791.001.121.191.251.29试求回归曲线方程。第6章正交试验设计例6.2.1烟灰砖折断力试验某研究组为了提高烟灰砖的折断力，需要通过正交试验寻找用烟灰制造砖的最佳工艺条件。解本例以折断力作为试验指标，来评价烟灰制造砖的最佳工艺条件，折断力越大越好。根据生产经验和专业技术人员的分析，影响烟灰砖折断力主要有成型水分、碾压时间和一次碾压料重三个因素，每个因素分别取了三个水平进行试验，得因素水平表见表6.2.1。表6.2.1因素水平表因素水平成型水分A(%)碾压时间B(分)一次碾压料重C(公斤)1873402101037031213400表6.3.1烟灰砖折断力试验安排与结果运算分析表因素ABC空列试验结果列号试验号1234xi11(8)1(7)1(340)116.8212(10)2(370)218.9313(13)3(400)316.542(10)12318.85223123.46231220.273(12)13226.28321321.99332124.1T152.261.858.964.3T=186.8T262.464.261.865.3T372.260.866.157.2优水平323R203.47.2主次顺序ACB表6.3.4烟灰转折断力试验结果的方差分析表方差来源偏差平方和自由度方差F值Fa显著性因素A66.6756233.33788.4092F0.05(2,6)=5.14显著因素B*2.035621.01780.2567F0.01(2,6)=10.92因素C8.748924.37441.1034误差e*13.002226.50111.6399误差e23.786763.9644总和90.46228由表6.3.4可见，因素A显著，因素B，C不显著，因素作用的主次顺序是ACB。例6.4.3某厂生产水泥花砖,其抗压强度取决于三个因素：A水泥的含量，B水分，C添加剂,每个因素都有两个水平，具体数值如表6.4.5所示。表6.4.5因素水平表因素水平水泥含量A水分B添加剂C1602.51.1：12803.51.2：1每两个因素之间都有交互作用，必须考虑。试验指标为抗压强度(kg/cm2),越高越好。解选用正交表L8(27)安排试验得试验方案及试验结果见表6.4.6。表6.4.6试验方案及试验结果分析表列号试验号ABABCACBC抗压强度(kg/cm2)123456711(60)1(2.5)11 (11:1)11166.221112 (12:1)22274.3312(3.5)2112273.04122221176.452(80)12121270.26212212175.07221122162.38221211271.2T1289.9285.7274271.7285.4284279.9T2287.7282.9294296.9283.2284.6288.7优水平112极差R值11.22.820.625.22.20.6主次顺序CABABACBC因素A、B的二元表 AB B1 B2 A1 140.5 149.4 A2 145.2 133.5由二元表可见，A1B2试验指标值较高，为优搭配，所以最优水平组合为A1B2C2。即水泥含量60，水分3.5，添加剂12:1时，抗压强度最高。方差分析表由方差分析表可见，因素C、交互作用AB显著，其他均不显著。习题66.2啤酒酵母最适自溶条件试验自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。为探讨外加中型蛋白酶方法，需作啤酒酵母的最适自溶条件试验。试通过正交试验寻找最优工艺条件，因素水平表6.3所示。表6.3啤酒酵母最适自溶条件因素水平表 水平 因素温度A(C)pH值B加酶量C(%)1506.52.02557.02.43587.52.8选用L9(34)安排试验，试验方案及试验结果见表6.4。表6.4啤酒酵母最适自溶条件试验方案及试验结果列号试验号1234111116.25212224.97313334.45421237.53522315.54623125.507313211.48321310.9933218.956.4用石墨炉原子吸收分光光度试验用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的铅，为了提高测定灵敏度，希望吸