高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第二章 第二节函数的单调性与最大(小)值精讲课件 文.ppt

第二节函数的单调性与最大 小 值 第二章 例1 证明 函数f x x在r上是单调减函数 自主解答 函数单调性的讨论与证明 点评 利用定义证明函数f x 在给定的区间d上的单调性的一般步骤 1 任取x1 x2 d 且x1 x2 2 作差 3 变形 通常是因式分解和配方 4 判断符号 即判断f x1 f x2 的正负 5 下结论 即指出函数f x 在给定的区间d上的单调性 1 判断并证明函数f x x3 a a r a是常数 的单调性 变式探究 解析 f x x3 a在r上是增函数 证明如下 设x1 x2 则f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x x3 a在r上是增函数 例2 求下列函数的单调区间 并指出其增减性 1 y x2 2 x 3 2 y loga 4x x2 a 0且a 1 自主解答 求函数的单调区间 解析 1 原函数等价于y 作出如下函数图象 由函数图象可知 函数y x2 2 x 3在 1 0 1 上是增函数 在 1 0 1 上是减函数 2 由4x x2 0 得函数的定义域是 0 4 令t 4x x2 t 4x x2 x 2 2 4 t 4x x2的递减区间是 2 4 递增区间是 0 2 当a 1时 y logat在 0 上是增函数 此时 y loga 4x x2 的单调增区间是 0 2 单调减区间是 2 4 当0 a 1时 y logat在 0 上是减函数 此时 y loga的单调减区间是 0 2 单调增区间是 2 4 点评 1 求函数的单调区间与确定单调性的方法 利用已知函数的单调性 即转化为已知函数的和 差或复合函数 求单调区间 定义法 先求定义域 再利用单调性定义 导数法 利用导数取值的正负确定函数的单调区间 图象法 如果函数是以图象形式给出的 或者函数的图象易作出 可由图象的直观性写出它的单调区间 2 函数的单调区间只能用区间表示 不能用集合或不等式的形式表示 一个函数如果有多个单调区间应分别写 分开表示 不能用并集符号 连接 也不能用 或 连接 变式探究 2 设函数f x 在 内有定义 对于给定的正数k 定义函数fk x 取函数f x 2 x 当k 时 函数fk x 的单调递增区间为 解析 由f x 2 x 得 x 1 x 1 x 1或x 1 fk x 当x 1 时 fk x 2 x 在 1 上为减函数 当x 1 时 fk x 2x 在 1 上为增函数 答案 1 求函数的值域 例3 求下列函数的值域 1 y x2 2x 5 x 1 2 2 f x 2 3 y 4 y x 5 y x 4 6 y x 7 y x 1 x 2 解析 1 y x2 2x 5 x 1 2 4 抛物线的对称轴是直线x 1 又 1 ymin 4 ymax 8 值域是 4 8 2 易知函数定义域为 0 f x 2 即函数f x 2 的值域是 2 3 分离常数法 0 y 1 即函数的值域是 y y r且y 1 4 配方法 当x 0时 2 2 当x 0时 y 值域是 2 2 导数法 函数的定义域为 0 0 令y 0 即 0 解得x 1 当x1时 y 0 函数y单调递增 当 1 x 0或0 x 1时 y 0 函数y单调递减 函数y在x 1和x 1处分别取得极大值和极小值 分别为 2和2 函数的值域为 2 2 5 代数换元法 设t 0 则x 1 t2 原函数可化为y 1 t2 4t t 2 2 5 t 0 y 5 原函数值域为 5 6 三角换元法 1 x2 0 1 x 1 设x cos 0 则y cos sin 0 7 数形结合法 将函数化为分段函数形式 即 画出它的图象 如右图所示 由图象可知 函数的值域是 y y 3 几何法 函数y x 1 x 2 表示数轴上的动点x到两定点 1 2的距离之和 易得y的最小值是3 函数的值域是 3 如下图所示 变式探究 3 1 函数y 的定义域是 1 2 5 则其值域是 2 2013 江苏常州上学期期末 函数f x log2 4 x2 的值域为 解析 1 x 1 2 5 y 在 1 上为减函数 在 2 5 上也为减函数 则x 1 0 1 4 所以 0 故y的值域是 0 2 因为0 4 x2 4 所以log2 4 x2 log24 2 所以函数f x log2 4 x2 的值域为 2 答案 1 0 2 2 求函数的最值 例4 已知函数f x x 1 1 当a 时 求函数f x 的最小值 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 解析 1 当a 时 f x x 2 f x 在区间 1 上为增函数 f x 在区间 1 上的最小值为f 1 2 法一 在区间 1 上 f x 0恒成立 x2 2x a 0恒成立 设y x2 2x a x 1 y x2 2x a x 1 2 a 1在 1 内单调递增 当x 1时 ymin 3 a 当且仅当ymin 3 a 0 即a 3时 函数f x 0恒成立 实数a的取值范围是 3 法二 f x x 2 x 1 当a 0时 函数f x 的值恒为正 当a0 即a 3时 函数f x 0恒成立 故实数a的取值范围是 3 点评 求函数值域与最值的常用方法 1 先确定函数的单调性 再由单调性求值域或最值 2 图象法 先作出函数在给定区间上的图象 再观察其最高 最低点 求出最值 3 配方法 对于二次函数或可化为二次函数形式的函数 可用配方法求解 4 换元法 对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求值域或最值 5 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后 再