第5课空间点、线、面之间的位置关系

第5课空间点 线 面之间的位置关系 主讲 冯奕尖 知识梳理 1 平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在这个平面内 公理2 过不共线的三点 有且只有一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 知识梳理 2 直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类共面直线 平行或者相交异面直线 不同在任何一个平面内 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间中任一点O作直线a a b b 把a 与b 所成的锐角或直角叫做异面直线a b所成的角 或夹角 范围 0 90 知识梳理 3 直线与平面的位置关系有平行 相交 在平面内三种情况 注 平行和相交统称在平面外4 平面与平面的位置关系有平行 相交两种情况 5 平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行 6 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 点 线 面位置关系的符号语言 一般上 点用大写字母表示 如点A 点B等 直线用小写字母表示 如直线a 直线b 直线l等 平面用亚拉伯字母表示 如平面 平面等 要点导学 平行 异面 平行 异面 要求两异面直线所成的角 需按定义作平行线 相当平移直线 先作出 或找到 所成的角 然后利用三角形的边角关系求解 平移的方式很多 平移后的平行线可以在几何体内 也可以平移到几何体外 一般平移都是向线段的端点或中点平移 例1点评 练习 动手做一做 完成P120例1变式 考点2共面问题 例2 求证 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内 如图 已知 AB AC A AB BC B AC BC C 求证 直线AB BC AC共面 证明点 线共面问题 一般做法是 先由某些点 线确定一个平面 然后证明其余的点 线也在这个平面内 考点2共面问题 例2 求证 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内 如图 已知 AB AC A AB BC B AC BC C 求证 直线AB BC AC共面 证法一 因为AC AB A 所以直线AB AC确定一个平面 因为B AB C AC 所以B C 故BC 因此直线AB BC CA都在平面 内 即它们共面 考点2共面问题 例2 求证 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内 如图 已知 AB AC A AB BC B AC BC C 求证 直线AB BC AC共面 证法二 因为A不在直线BC上 所以过点A和直线BC确定平面 因为A B BC 所以B 故AB 同理 AC 所以AB AC BC共面 考点2共面问题 例2 求证 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内 如图 已知 AB AC A AB BC B AC BC C 求证 直线AB BC AC共面 证法三 因为A B C三点不在一条直线上 所以过A B C三点可以确定平面 因为A B 所以AB 同理 BC AC 所以AB BC CA三直线共面 考点2共面问题方法总结 证明点共线 常常采用以下两种方法 转化为证明这些点是某两个平面的公共点 然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上 证明多点共线问题时 通常是过其中两点作一直线 然后证明其他的点都在这条直线上 证明线共点 就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点 解决此类问题的一般方法是 先证其中两条直线交于一点 再证该点也在其他直线上 证明空间的点 线共面问题 通常采用以下两种方法 根据已知条件先确定一个平面 再证明其他点或直线也在这个平面内 分别过某些点或直线作两个平面 证明这两个平面重合 考点2共面问题 考点3空间直线与平面的位置关系 例3 下列命题中正确的命题的个数为 若直线l平行于平面 内的无数条直线 则l 若直线a在平面 外 则a 若直线a b 直线b 则a 若直线a b b平面 那么直线a就平行于