山东省临沂市2017届中考数学二轮专题复习专题6二次函数.docx

专题六：二次函数 【近3年临沂市中考试题】1. （2014临沂，14，3分）在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于原点对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（A）1个 （B）1个，或2个 （C）1个，或2个，或3个 （D）1个，或2个，或3个，或4个ABCDO2.（2014临沂，26，13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-1，0)和点B(1，0)，直线与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D.（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标.3（2016临沂，13，3分） 二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表：x-5-4-3-2-10y40-2-204下列说法正确的是（第26题图）OxyACB(A)抛物线的开口向下 (B) 当x3时，y随x的增大而增大.(C) 二次函数的最小值是2 (D) 抛物线的对称轴是x=.4.（2015临沂，26，13分）在平面直角坐标系中，O为原点，直线y =2x1与y轴交于点A，与直线y =x交于点B, 点B关于原点的对称点为点C.（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；若点P的横坐标为t（1t1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由.【知识点】二次函数定义；二次函数图像及性质；二次函数解析式的确定。【规律方法】1.求函数与坐标轴的交点，分别设x=0，或y=0即可。2.二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式。抛物线平移规律：上加下减，左加右减。3由抛物线在直角坐标系中的位置确定a、b、c的符号规律：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a0；当开口向下时，a0； b的符合的确定看直线x=的位置，与a的符号左同右异；c看图像与y轴的交点。4解答二次函数增减性问题，一般需要考虑将二次函数的解析式配方，得到其对称轴，再结合其图象与所求问题，作出回答.5.确定构成等腰三角形点的个数时，分别以各边为底边找出各种情况，然后把重复的、不符合的去掉即可。【中考集锦】一、选择题1、(2014济宁) “如果二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2bxc=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（mn）是关于x的方程的两根，且a b， 则a、b、m、n 的大小关系是 A. m a b n B. a m n b C. a m b n D. m a n b2、(2014东营)若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A0B0或2C2或2D0，2或23、（2016烟台）11二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：4acb2；a+cb；2a+b0其中正确的有（）ABCD4（2016枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下四个结论：abc=0，a+b+c0，ab，4acb20；其中正确的结论有（）A1个 B2个 C3个 D4个5、（2014威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列说法：c=0；该抛物线的对称轴是直线x=1；当x=1时，y=2a；am2+bm+a0（m1）其中正确的个数是（ ） A1B2C3D46(2016日照)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：abc0；2a+b=0；4a+2b+c0；若（），（）是抛物线上两点，则y1y2其中结论正确的是（）ABCD7(2014济宁) “如果二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2bxc=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（mn）是关于x的方程的两根，且a b， 则a、b、m、n 的大小关系是 A. m a b n B. a m n b C. a m b n D. m a n b二、填空题1(2016日照)如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为米2（2016菏泽）如图，一段抛物线：y=x（x2）（0x2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180得到C3，交x轴于A3；如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=3（2016青岛）已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为三、解答题1(2014济宁)（11分）如图，抛物线与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，过点A作直线ACx轴，交直线于点C；（1） 求该抛物线的解析式；（2） 求点A关于直线的对称点的坐标，判定点是否在抛物线上，并说明理由；（第22 题）（3） 点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2.（2014威海）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出BDA的度数 3.(2014日照)已知抛物线经过A（2，0） 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使AMPAMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由4（2016威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足ECD=ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长 【特别提醒】1对二次函数概念理解有误，漏掉二次项系数不为0这一限制条件；2对二次函数图象和性质存在思维误区；3忽略二次函数自变量取值范围；4平移抛物线时，弄反方向。5.二次函数作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.答案【近3年临沂市中考试题】 1. CABCDOFEM2. （1）（本小问3分）解：在中，令，得.C(0，-1)（1分）抛物线与x轴交于A(-1，0), B(1，0),图1C为抛物线的顶点.设抛物线的解析式为，将A(-1，0)代入，得 0=a-1.a=1.抛物线的解析式为.（3分）（2）（本小问5分）方法一：设直线与x轴交于E，则，0).（1分）,.（2分）连接AC，过A作AFCD，垂足为F，SCAE ，（4分）即，.（5分）方法二：由方法一知，AFE=90，.（2分）在COE与AFE中，COE=AFE=90，CEO=AEF，COEAFE .，（4分）即. .（5分）（3）（本小问5分）由，得，.D(2，3).（1分）如图1，过D作y轴的垂线，垂足为M，由勾股定理，得.（2分）在抛物线的平移过程中，PQ=CD. （i）当PQ为斜边时，设PQ中点为N，G(0，b)，则GN=.GNC=EOC=90，GCN=ECO，QGNC EOCG，N，Eb=4.O图2PG(0，4) . （3分）（ii）当P为直角顶点时，设G(0，b)，C则，同（i）可得b=9，则G(0，9) .（4分）（iii）当Q为直角顶点时，同（ii）可得G(0，9) .综上所述，符合条件的点G有两个，分别是(0，4)，(0，9).（5分）3. C4解：（1）解方程组得点B的坐标为（-1，1）.1分点C和点B关于原点对称，点C的坐标为（1，-1）.2分又点A是直线y=-2x-1与y轴的交点，点A的坐标为（0，-1）.3分设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，解得抛物线的解析式为y=x2-x-1.5分（2）如图1，点P在抛物线上，可设点P的坐标为（m，m2-m-1）.当四边形PBQC是菱形时，O为菱形的中心，PQBC，即点P，Q在直线y = x上，m = m2-m-1，7分解得m = 1.8分点P的坐标为（1+，1+）或（1-，1-）.9分OxyPACBQFDEOxyPACBQ图1 图2方法一：如图2，设点P的坐标为（t，t2 - t - 1）.过点P作PDy轴，交直线y = - x于点D，则D（t，- t）.分别过点B，C作BEPD，CFPD，垂足分别为点E，F.PD = - t -( t2 - t -1) = - t2 + 1，BE + CF = 2，10分SPBCPDBE +PDCFPD（BE + CF）（- t2 + 1）2- t2 + 1.12分-2t2+2.当t0时，有最大值2. 13分方法二：如图3，过点B作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两直线交于点D，连接PD.SPBCSBDC-SPBD-SPDC22-2（t+1）-2（t2-t-1+1）-t2+1.12分-2t2+2.当t0时，有最大值2. 13分OxyPACBQEFOxyPACBQD图3 图4方法三：如图4，过点P作PEBC，垂足为E，作PFx轴交BC于点F.PE=EF.点P的坐标为（t，t2-t-1），点F的坐标为（-t2+t+1，t2-t-1）.PF=-t2+t+1-t=-t2+1.PE（-t2+1）.11分SPBCBCPE（-t2+1）-t2+1.12分-2t2+2.当t0时，有最大值2.【中考集锦答案】一、 选择题1、A 2、D 3.B 4.C 5.C 6.C 7.A 二、填空题1、2米 2、m=1 3、 三、解答题1. 解：（1）与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，（第22题）， 解得抛物线的解析式为.3分8. 过点作x轴于E，AA/与OC交于点D，点C在直线y=2x上， C（5，10）点A和关于直线y=2x对称，OC，=AD. OA=5，AC=10,., .5分在和Rt中，+=90，ACD+=90， =ACD.又=OAC=90，.即.=4，AE=8.OE=AEOA=3.点A/的坐标为（3,4）.7分当x=3时，.所以，点A/在该抛物线上.8分（3） 存在.理由：设直线的解析式为y=kx+b,则，解得直线的解析式为.9分设点P的坐标为，则点M为.PMAC，要使四边形PACM是平行四边形,只需PM=AC.又点M在点P的上方， . 解得（不合题意,舍去）当x=2时，.当点P运动到时，四边形PACM是平行四边形.11分2. 解：（1）该抛物线过点C（0，2），可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2将A（1，0），B（4，0）代入，得 ，解得 ，抛物线的解析式为：y=x2+x+2（2）存在由图象可知，以A、B为直角顶点的ABE不存在，所以ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形在RtBOC中，OC=2，OB=4，BC=在RtBOC中，设BC边上的高为h，则h=24，h=BEACOB，设E点坐标为（x，y），=，y=2将y=2代入抛物线y=x2+x+2，得x1=0，x2=3当y=2时，不合题意舍去E点坐标为（0，2），（3，2）（3）如图2，连结AC，作DEx轴于点E，作BFAD于点F，BED=BFD=AFB=90设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，yBC=x+2由BCAD，设AD的解析式为y=x+n，由图象，得0=（1）+nn=，yAD=xx2+x+2=x，解得：x1=1，x2=5D（1，0）与A重合，舍去，D（5，3）DEx轴，DE=3，OE=5由勾股定理，得BD=A（1，0），B（4，0），C（0，2），OA=1，OB=4，OC=2AB=5在RtAOC中，RtBOC中，由勾股定理，得AC=，BC=2，AC2=5，BC2=20，AB2=25，AC2+BC2=AB2ACB是直角三角形，ACB=90BCAD，CAF+ACB=180，CAF=90CAF=ACB=AFB=90，四边形ACBF是矩形，AC=BF=，在RtBFD中，由勾股定理，得DF=，DF=BF，ADB=453解：（1）由于抛物线经过A（2，0），所以，解得.1分所以抛物线的解析式为. （*）将（*）配方，得，所以顶点P的坐标为（4，-2）2分令y=0，得，解得. 所以点B的坐标是（6，0）. 3分（2）在直线 y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形. 4分理由如下：设直线PB的解析式为+b，把B（6,0）,P(4,-2)分别代入，得 解得 所以直线PB的解析式为.5分 又直线OD的解析式为 所以直线PBOD. 6分 设设直线OP的解析式为，把P(4,-2)代入，得 解得.如果OPBD，那么四边形OPBD为平行四边形.7分APBxyO第24题答案图CMD设直线BD的解析式为，将B(6,0)代入，得0=，所以所以直线BD的解析式为，解方程组得所以D点的坐标为（2,2）8分 （3）符合条件的点M存在.验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以APB是等边三角形，只要作PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM,由于AM=AM, PAM=BAM,AB=AP，可得AMPAMB.因此即存在这样的点M,使AMPAMB.11分4、解：（1）抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），点B（4，0），点D（2，4），设抛物线解析式为y=a（x+2）（x4），8a=4，a=，抛物线解析式为y=（x+2）（x4）=x