高二数学讲座利用圆锥曲线的定义解题人教

高二数学专题讲座 利用圆锥曲线的定义解题一. 本周教学内容： 专题讲座 利用圆锥曲线的定义解题二. 复习： 椭圆、双曲线、抛物线、圆锥曲线的统一定义。 1. 椭圆的第一定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(a0)，（2a|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。 注： （1）2a|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆； （2）2a=|F1F2|时，动点的轨迹是线段； （3）2a|F1F2|时，动点无轨迹。 2. 椭圆的第二定义： 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（0e1）的点的轨迹叫椭圆。定点是椭圆的焦点。定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率。 3. 双曲线的第一定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数2a（2a|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。 注： （1）2a|F1F2|时，动点无轨迹。 4. 双曲线的第二定义： 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e(e1)的点的轨迹叫双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。 5. 抛物线的定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫抛物线的准线。（要求定点F不在定直线l上）。 6. 圆锥曲线的统一定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离之比等于常数e的动点的轨迹。 （1）当0e1时，表示双曲线。 这三种曲线合在一起，称为圆锥曲线。三. 典型例题分析： 例1. 选择题 （ ） A. 10 B. 12 C. 20 D. 16 （ ） =6，设F2是右焦点，则ABF2的周长为（ ） A. 16B. 22C. 28D. 32 F1PF2的面积为（ ） 5. 动点P到点A（0，2）的距离比到直线l：y=-4的距离小2，则动点P的轨迹方程是（ ） A. y2=4xB. y2=8x C. x2=4yD. x2=8y 6. 若抛物线y2=2px（p0）上三点的纵坐标的平方成等差数列，则三点对应的焦半径的关系是（ ） A. 成等比数列；B. 成等差数列； C. 成常数列；D. 以上均不对。 解1：结合椭圆的图形可知，ABF2的周长应等于4a 选C。 解2：先用椭圆的第二定义求出点P到左焦点的距离 |PF1|=2 再用椭圆的第一定义求点P到右焦点的距离 选（A） 解3：依题意： |AF2|-|AF1|=2a （1） |BF2|-|BF1|=2a （2） （1）+（2）|AF2|+|BF2|=4a+|AB| |AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2|AB| a=4 4a=16 |AB|=6 2|AB|=12 ABF2的周长=16+12=28 选（C） 解4：设|PF1|=m，|PF2|=n 选（D） 解5：依题意：动点到点A（0，2）的距离比到直线y=-4的距离小2，因此，动点到定点A（0，2）的距离与到定直线y=-2的距离相等，由抛物线定义知，动点P的轨迹是顶点在原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线。 选（D） 解6：设P1（x1，y1） P2（x2，y2），P3（x3，y3） 三个焦半径成等差数列 选（B） 例2. 设动圆M与圆C：(x+4)2+y2=100相内切，且过点A（4，0），求这个动圆圆心M的轨迹方程。 解：设：动圆圆心M（x，y），切点为P 则：C、M、P三点共线 由椭圆的第一定义知，动点M的轨迹是以定点C，A为焦点，中心在原点的椭圆。 例3. 已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。 分析：解本题的关键是寻找动点M满足的条件，对于圆与圆的相切问题，自然要考虑圆心距与半径的关系。 解：设动圆圆心M（x，y），动圆M与C1、C2的切点分别为A、B 则：|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB| 又|MA|=|MB| |MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2 即|MC2|-|MC1|=2，又|C1C2|=6 由双曲线定义知：动点M的轨迹是以C1、C2为焦点中心在原点的双曲线的左支。 2a=2，2c=6 a=1，c=3 b2=8 说明：由于动点M到两定点C1、C2的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支。 例4. 已知ABC的三边a,b,c（abc）成等差数列，两顶点A、C的坐标分别为A（-1，0），C（1，0），求ABC重心G的轨迹方程。 分析：把已知条件标在坐标系中，可知这是一个求双动点的轨迹方程的问题，即：应先求出动点B的轨迹方程，再求ABC的重心G的轨迹方程，这样思路就清楚了。 解：ABC的三边a,b,c成等差数列 2b=a+c 即2|AC|=|BA|+|BC|=4 由椭圆定义知：动点B的轨迹是以A、C为焦点，中心在原点的椭圆。又abc即|BC|AB| 是椭圆左半部分 2a=4，2c=2 a=2 c=1 b2=3 设重心G（x，y），B（x1，y1） G为ABC的重心， ABC的重心G的轨迹方程为： 说明：这道题要把握好轨迹方程中的变量的允许值范围，要用好题目中的每一个条件。 1. 已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：|MF1|-|MF2|=2a（a为常数）命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线；则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件 2. 抛物线y2=2px的准线与对称轴相交于S点，PQ为抛物线的过焦点F且垂直于对称轴的弦，则PSQ=（ ） 3. 已知A（0，7），B（0，-7），C（12，2），以C为一个焦点作过A、B两点的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程。参考答案 提示1：