浅议不等式的证明 数学专业毕业论文.doc

摘 要在初等数学中，证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、判别式法、换元法、数学归纳法等等，但是所用的都是初等数学知识。本文利用高等数学中的有关知识，给出几种不等式的证明方法：单调性，辅助函数，凹凸性，中值定理，最值、极值定理，泰勒公式，定积分性质，柯西施瓦茨。关键词 不等式 高等数学 中值定理 泰勒公式 柯西 施瓦茨AbstractIn the elementary mathematics, Common methods used on proof of inequality are comparation, synthesis, analysis, negative approach, discriminant law, substitution of variables, mathematical induction and so on, All of them belong to elementary mathematics knowledge. In this article based on higher mathematics, Some methods to prove inequality have been given: monotonicity,auxiliary function, convex-concave,value theorem,extreme value、extreme value theorem, taylor formula, definite integral,cauchy schwartz.Key words inequality higher mathematics value theorem taylor formula cauchy schwartz 目 录1、引言12、利用函数的单调性证明不等式13、利用函数的凹凸性证明不等式24、利用拉格朗日中值定理证明不等式25、利用函数的最值、极值定理证明不等式36、利用泰勒公式证明不等式47、利用定积分的性质证明不等式58、利用柯西不等式证明不等式5参考文献6浅议不等式的证明1引言用不等号连接起来的两个解析式所成的式子叫不等式，证明不等式就是根据不等式的性质证明对于式中字母所容许的数值，不等式恒成立不等式证明在中学里占有重要的地位，是进一步学习数学的基础，例如在讨论方程或方程组的解中，研究函数的定义域、值域、单调性、最值等问题中都要用到然而，不等式证明又是中学里的一个重点、难点其特点是方法灵活多样，技巧性很强，这使得它成为高考中的一个热门问题证明不等式的途径是对原不等式作代数变形，在初等数学中，常用的方法有比较法、综合分析法、反证法、放缩法、数学归纳法、判别式法、换元法等等然而，现在高中课本中又增加了一些高等数学知识，我们思考能否用高等数学中的有关知识来证明某些使用初等方法证明比较困难或暂时还无法证明的不等式，使之过程更加简洁、易懂，答案是肯定的，因此讨论高等数学知识在某些初等数学不等式中的应用是非常重要的，同时初等数学中的许多问题往往蕴含着高等数学中的一些方法，因而将高等数学中的某些原理、方法应用于初等数学中的证明，不仅可以开拓学生的视野，而且可以使学生体会到用高等数学的原理、方法解决初等数学问题时居高临下，驾轻就熟的感觉，进而了解高等数学与初等数学密不可分的关系本文着重阐述了用高等数学中的有关知识来证明某些初等不等式，使之用初等方法证明比较困难或暂时还无法证明的不等式得到解决高等方法主要适用于中学里的函数不等式2利用函数、辅助函数的单调性证明不等式2.1函数单调性证明定理11 若函数在区间内可导，则在内递增（递减）的充要条件是，不等式与函数有着密切的关系，因此，根据求证的不等式构造函数，利用函数的单调性可巧证一些不等式，此方法尤其适用于中学里的函数不等式的证明例2.1.1 证明：当时，.证明：设，所以当时，也即，故.2.2辅助函数单调性证明辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。例2.2.1试证：当x0时，(x2-1)lnx(x-1)2。 解：设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。又f(x)=2xlnx-x+2-1x，f(1)=0, f(x)=2lnx+1+1x2,f(1)=20f(x)=2(x2-1)x3可见，当0X0；当1x0，因此有当0X0。又由f(1)=0及f(x)是单调增加的函数推知，当0X1时，F′(X)0；当1X0，因此进一步有f(x)f(1)=0(0X0时，(x2-1)lnx(x-1)2。例2.2.2 设bae， 证明abba。分析：要证abba，只需证blnaalnb或lnaalnbb证明一：令f(x)=xlna-alnx(xa),因为f(x)=lna-ax1-ax0(xa)所以f(x)在xa时单调增加。因此当ba时，有f(b)f(a)=0，即有blnaalnb，也即abba 。证明二：令f(x)=lnxx,xe,则有f(x)=1-lnxx2e)，因此f(x)单调减少，故当bae时，有lnaalnbb即abba。3利用函数的凹凸性证明不等式3.1定义12如果函数对于任意的两点，都有 或者，则称函数在内是凸函数，或者是凹函数上述定义性质还可推广为： 或者函数凹凸性的定义给出了函数之间的不等关系式，利用函数的凹凸性可以巧证一些函数不等式，特别是所给的式子为两项之和，三项之和，并且它们的通项有相似的表达式时，可考虑用函数凹凸性的定义来证明不等式例3.1.1 已知求证：证明：设,则为上的凸函数，由凸函数的定义知所以.例3.2 求证：xlnx+ylny(x+y)lnx+y2,(x0,y0,xy) 令 f(t)=tlnt(t0), f(t)=lnt+1, f(t)=1t0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x0,y0是凹的，于是12f(x)+f(y)f(x+ y2)即 12f(x)+f(y)x+ y2ln x+ y2即 xlnx+ylny(x+y)lnx+ y2类似的如：证明 ex+e y2ex+ y2, (xy)。注：函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数f(x)，利用函数f(x)在所给区间a,b的二阶导数确定函数的凹凸性。f(x)0 函数为凹的,则 f(a)+f(b)2f(a+b2)；f(x)0 函数为凸的,则 f(a)+f(b)2f(a+ b2)。4利用拉格朗日中值定理证明不等式4.1拉格朗日中值定理21 若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得，即拉格朗日中值定理的形式为，等式左端为函数在区间端点的函数值之差，右端是区间的长度乘以，它的意义在于建立了导数与函数之间的关系，通过构造函数,可以证明一些不等式例4.1.1 求证： .证明：令，则在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，即，因为所以 ，从而原命题得证5利用函数的最值、极值定理证明不等式5.1定义21 设为定义在上的函数，若存在对一切有 ，则称在上有最大（小）值，并称为在上的最大（小）值5.2定义31 若函数在点的某领域内对于一切有 ，则称函数在点取得极大（小）值，称点为极大（小）值点，极大值、极小值统称为极值5.3定理31 设在的某领域内一阶可导，在处二阶可导，且若，则在取得极大值；若，则在点取得极小值如果所设函数不是单调函数，我们可以考虑利用函数的最值（极值）证明一些不等式，其步骤是由不等式构造辅助函数，找出函数的极值点、最值点，然后由最值、极值证得不等式例5 设, 证明：.证明：设，求导、并令 得, 而 () ，故在处取得极小值，比较在区间端点和驻点的函数值， ，得知的最大值为1，最小值为，故.6利用泰勒公式证明不等式6.1定义43 若函数在上存在n+1阶导数，则 有泰勒公式，其中；当,该公式称为马克劳林公式，即其中.当不等式中含有幂函数时，可以考虑用泰勒公式证明，特别是求证的不等式中含有形如、时，可把、用泰勒公式展开，从而巧证不等式例6.1.1 证明： ().证明：设 ，由一阶马克劳林公式有： ( )所以 ,再由二阶马克劳林公式有： ( ) 所以，从而 (其中).注：本题也可以利用函数的单调性来证明，由此可见高等数学知识在不等式的证明中的应用是非常广泛灵活的例6.2 求证|f(x)|2a+b2 已知f(x)在0，1上具有二阶可导函数，且满足条件|f(x)|a,|f(x)|b,其中a,b都是非负常数，c是（0，1）内任意一点，分析: 已知f(x)二阶可导，应考虑用二阶泰勒展开式。本题涉及证明|f(x)|2a+ b2，应在特定点x=c处将f(x)按泰勒公式展开。证明： 对f(x)在x=c处用泰勒公式展开，得f(x)=f(c)+f(c)(x-c)+f()2!(x-c)2（1） 其中=c+(x-c),01，在（1）式中令x=0，有f(0)=f(c)+f(c)(0-c)+f()2! c2, 01C1在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f(c)(1-c)+f()2! c2, 0CΞ20,证明：(JF(Zbaf(x)1f(x)dx)2JF)JF(Zbaf(x)2 dxJF)JF(Zba（1f(x)2dxJF)即得 JF(Zbaf(x)dxJF)JF(Zba1f(x)dx(b-a)2JF注：柯西施瓦茨不等式是一个常用的不等式，在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明，既方便又快捷。参考文献：1华东师范大学数学系编.数学分析M（第二版）.北京：