高二数学第八章圆锥曲线方程典型例题与习题

高二数学第八章 圆锥曲线方程典型例题与习题http:/www.DearEDU.com【知识网络】 标准方程 椭圆 几何性质 简单应用 标准方程圆锥曲线方程 双曲线 几何性质 简单应用 标准方程 抛物线 几何性质简单应用【学法点拨】 圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容圆锥曲线试题的类型、特点与学习的方法主要归结如下：1求动点的轨迹方程问题，从来都是高考的热点，试题有一定的难度，学习时应注意一些求轨迹方程的基本方法2求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，试题一般涉及量较多，计算量大要求较强的运算能力在计算中，首先要明确运算方向，还要注意运算合理，运算的技巧，使运算简练3试题注重对解析几何基本方法的考查，要求会建立适当的直标坐标系，把平面几何问题转化为代数问题4注意用圆锥曲线的定义解题有关圆锥曲线上的点到焦点的距离，到准线的距离，离心率的问题都可能用圆锥曲线的定义去解对称问题是高考的热点，注意关于原点，x轴、y轴，关于直线yx对称的两曲线方程的特点在有关直线与圆锥曲线的问题中，注意韦达定理、弦长公式在解题中的应用一些试题将解析几何问题与数列问题，极限问题，不等式问题，函数问题综合在一起，对解决数学综合问题的能力要求更高，此时要充分利用解几的特点，运用数形结合，用代数的方法解决几何的问题第1课 椭圆【考点指津】掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质；了解圆锥曲线的椭圆性质初步应用【知识在线】1如果方程表示焦点在y轴的椭圆，那么实数m的取值范围是（ ） A（0，） B（0，2） C（1，） D（0，1）2已知椭圆的焦点为（1，0）和（1，0），P是椭圆上的一点，且是 与的等差中项，则该椭圆的方程为（ ） A B C D3一个椭圆的离心率e=，准线方程是x=4，对应的焦点F（2，0），则椭圆的方程是 4设椭圆的离心率为，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则ABF等于 5现有一块长轴长为10分米，短轴长为8分米的椭圆形玻璃镜子，欲从此镜中划出一块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 【讲练平台】例求适合下列条件的椭圆的标准方程：（） 离心率为，准线方程为；（） 长轴与短轴之和为，焦距为分析 要求椭圆的标准方程，首先判断椭圆的焦点所在的轴，然后求标准方程中待定的a和b的值解 （）由准线方程为，可知椭圆的焦点在x轴上设所求椭圆的方程为，由题意，得 解得，所以因此，所求椭圆的方程为（）当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为由题意，得即 解得，所以焦点在x轴上的椭圆的方程为，同理可求当焦点在y轴上椭圆的方程为因此，所求的椭圆的方程为和点评 求椭圆的标准方程，常用方法是待定系数法一般步骤是：（） 根据焦点所在的位置设椭圆的标准方程；（） 由已知条件求出待定的系数a、b；（） 将求得的系数a、b代入所设方程，即得所求椭圆的标准方程椭圆中有关的参数主要有四个：半长轴的长a，半短轴的长b，半焦距c，离心率e在求椭圆的标准方程时，已知条件常常和这些系数有关，而这些系数又不是相互独立的，它们之间有以下两个关系：和例已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2，6），P为椭圆上的一个动点，试分别求：（1）|PM|PF2|的最小值；（2）|PM|PF2|的取值范围分析 待求式|PM|PF2中含有的常数，使我们联想到椭圆离心率恰好为e = ，而= |PF2|，它表示P到准线的距离，故第（1）小题可使用椭圆的第二定义求解对于第（2）小题，可注意到椭圆的定义：椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值，进而可将和式“|PM|PF2|”转化为差式“|PM|PF1|20”进行求解xNlOyMPF1F2解（1）椭圆右准线l：x= ，过点P作PNl于点N，如图所示则由椭圆的第二定义知 = e = ，于是，|PN| = |PF2|所以，|PM| |PF2| = |PM| |PN|d(M，l)，其中d(M，l)表示点M到准线l的距离易求得 d(M，l)= 所以，|PM| |PF2|的最小值为（此时点P为过点M且垂直于l的线段与椭圆的交点）（2）由椭圆的定义知|PF2|PF1|=2a=20，故 |PM|PF2| = |PM|PF1|201 |PM|PF1|MF1| =10，故 |PM|PF2|30（当且仅当P为有向线段的延长线与椭圆的交点时取“=”）；2 |PF1|PM|MF1| =10，故 |PM|PF2|=20（|PF1|PM|）10（当且仅当P为有向线段的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）综上可知，|PM|PF2|的取值范围为10，30点评 椭圆有两个定义，各有其用途如题中（）用第二定义，（）用第一定义进行在转化，利用数形结合求解，化繁为简例已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且，|BC|=2|AC| (1)求椭圆方程；(2)如果椭圆上两点P、Q，使PCQ的平分线垂直AO，是否总存在实数，使？请给出说明分析 （）中的条件说明ACBC，若再加条件|BC|=2|AC|，则OC=AC；（）中的条件说明解(1) 以O为原点，直线OA为x轴建立直角坐标系，则A(2，0)，由已知设椭圆方程，ACBC，又|BC|=2|AC| 又BC过椭圆中心O，C(1，1)将C(1，1)代入椭圆方程得，即椭圆方程为(2)依题意可设PC：y=k(x1)1，QC：y=k(x1)1 C(1，1)在椭圆上，x=1是方程(13k2)x26k(k1)x2k2k1=0的一个根 ，用k代换中的k得 又B(1，1)， ，因此总存在实数，使点评 第（）小题是一道探索结论存在性命题而处理存在性命题时，一般是在假设存在的基础上，探求结论，从而判断结论的存在性【知能集成】1椭圆的定义中条件是轨迹为椭圆的充要条件当=时，轨迹是线段；当2c，则轨迹不存在双曲线第二定义的条件一是定点F不在定直线L上，否则轨迹是两条相交直线（不包括两相交直线的交点F）；二是“到一定点的距离和到定直线距离的比”中两个距离的顺序不能颠倒且距离之比为常数e（e1）；三是定点F与定直线L是相对应的焦点与准线2双曲线的标准方程特指中心在原点，焦点在x轴或y轴上的双曲线方程否则，不是标准方程求双曲线方程常用待定系数法或定义法等，求出a、b有时也会把作为一个整体解出更简单些3双曲线的渐近线(1) 求双曲线的渐近线方程方法是：化成标准方程后，把等号右边的1换成0，分解因式即可如=1，令=0，即：bxay=0(2) 已知渐近线方程，求双曲线方程的一般方法是：设以bxay=0为渐近线的双曲线方程为=（）或=（0），再利用另一条件确定的值【训练反馈】1点P是以 F1、F2为焦点的双曲线上的一点，且|PF1|=12，则|PF2| =（ ）A2 B22 C2或22 D4或222如果表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距C的取值范围是（ ）A（1，）B（0，2）C（2，） D（1，2）3双曲线（a，b0）两焦点为F1、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F1作F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是（ ）A椭圆的一部分； B双曲线的一部分；C抛物线的一部分； D圆的一部分过点（7，6）与（2，3）的双曲线标准方程为 双曲线离心率为，则它的两条渐近线的夹角等于 个焦点为（，），相应的准线为y且离心率为的双曲线的方程是 与圆 和圆 都外切的圆的圆心 的轨迹方程为 双曲线两焦点为直径端点的圆与双曲线的四个交点连同双曲线的焦点恰好构成一个正六边形，则该双曲线的离心率为 知 、 、 ，椭圆过 、 两点且以 为其一个焦点，求椭圆另一焦点的轨迹双曲线的两个焦点分别是F1、F2，其中F1是抛物线y= (x1)21的焦点，两点A（3，2）、B（1，2）都在该双曲线上（）求点F1的坐标；（）求点F2的轨迹方程，并画出轨迹的草图； 第3课 抛物线【考点指津】掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；了解抛物线线的几何性质的应用【知识在线】设，则抛物线的焦点坐标为（ ）、(a，0)、(0，a)、(0，)、随a的符号而定顶点在原点，准线为y=4的抛物线方程为（ ）ABCD以抛物线的焦半径为直径的圆与y轴位置关系为（ ）、相交、相离、相切、不确定抛物线的焦点是（2，1），准线方程是xy1=0，则抛物线的顶点是（ ）A（0，0） B（1，0） C（0，1） D（1，1）已知P是抛物线y=2x21上的动点，定点A（0，1），点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是（ ）A、y=6x2B、x=6y2C、y=3x2D、y=3x216一动圆和直线相切，并且经过点，则圆心的轨迹方程是 【讲练平台】例（1）直线l过抛物线的焦点且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为6，求p的值（）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点（，）的抛物线的方程（）已知抛物线上一定点（，），及两动点、C，当点B在抛物线上移动时，求使得ABBC的点C横坐标的取值范围分析（）截得的线段为抛物线的通经，则其长为p，故p；（）对称轴是坐标轴，需要讨论是x轴，y轴两种情况；（）可由ABBC，建立点C横坐标关系式求横坐标的取值范围解（）p（）由于（，）在第四象限且坐标轴是对称轴，可设抛物线方程为或将点的坐标代入，得或所以所要求的抛物线的方程为或（）由于、在抛物线上，故可设ABBC，即，即解得点评 抛物线方程有四种标准形式，根据其焦点所在的坐标轴及开口方向选择其中之一例2抛物线的焦点F在x轴上，直线y与抛物线相交于点，求抛物线的标准方程分析 要求抛物线的标准方程，就是待求标准方程中的p解 设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为：，则由抛物线的定义得，又所以故所要求抛物线的方程为：点评 利用抛物线的定义及图形的性质求标准方程中待定的p值，往往可简化运算过程例如图，抛物线的弦交x轴于点Q，过、分别作x轴的垂线，垂足为M、N，求证是和的比例中项分析 要证明是和的比例中项，就是要证明，而、和分别是点、和的横坐标因此，证明这个等式的关键是求这三点的横坐标的关系式证明：设点、的坐标分别为、，则直线的方程为由于点是直线和x轴的交点，令y得点的横坐标为点和分别在x轴的上方和下方，不妨设点在x轴的上方，点在x轴的下方，则，代入，得，所以即证得是和的比例中项点评 抛物线上的点常可设成或的形式，这样易通过坐标解题例已知抛物线y2=4ax(a0)的焦点为A，以B（a4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点，若P为MN的中点（1）求a的取值范围；（2）求|AM|AN|的值；（3）问是否存在这样的a值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？分析 由圆与抛物线相交，得圆的方程与抛物线的方程组成的方程组有实数解，从而求a的取值范围|AM|、|AN|是抛物线上两点M、N与其焦点A的连线段的长，即为两点M、N的焦半径，从而用抛物线的焦半径公式求解（2），（3）两小题解 (1) 设M (x1，y1 )，N (x2，y2)，P (x0，y0 ) 则 x（a 4）2 y2 = 16 ( y0) 用y2 = 4ax (a0) 代入得x2 2 (a4)x 8a a2 = 0 由= ( a4)2 (8a a2) 0得：0 a 2|AP|，不存在实数a，使AM|,|AP|,|AN|成等差数列点评 （1）根据定义解题，能化难为易；（2）巧用平面几何和三角知识解题，能简化运算过程，简约思维过程【知能集成】1抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离（动点到焦点的距离与动点到准线的距离）的互化（常用定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，把焦点弦长转化为点到准线的距离）2抛物线有四种标准方程形式2px和2py（p0）其中“”决定图形开口（“”号代表朝正方向，“” 号代表朝负方向）3抛物线标准方程中p的几何意义是：焦点到准线的距离4抛物线2px（p0）上的点可设为（，y）或（2p，2pt）形式，二元转化为一元，方便解题【训练反馈】1、 顶点在原点，准线为y=4的抛物线方程为（ ）ABCD2、抛物线方程为，则焦点坐标为（ ） ABC D3、顶点为原点，抛物线对称轴为y轴，且过点（4，5），则抛物线的准线方程为 （ ）A B C D4、抛物线的焦点为F，过F且垂直抛物线轴的弦长为（ ）A1 B2 C3 D4、已知：为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为(1，1)，则PFPA的最小值为 （ ）A B2 C D、抛物线的焦点是（2，1），准线方程是xy1=0，则抛物线的顶点是（ ）A（0，0） B（1，0） C（0，1） D（1，1）、抛物线上一点横坐标为9，它到焦点的距离为10，这点的坐标为 8 已知抛物线C1：y=2x2与抛物线C2关于直线y=x对称，则C2的准线方程是 已知抛物线及定点是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为求证：当点在抛物线上变动时（只要存在且与是不同两点），直线恒过一定点，并求出定点的坐标1在直角坐标系中，已知点（p0）， 设点F关于原点的对称点为B，以线段FA为直径的圆与y轴相切（1） 点A的轨迹C的方程；（2） PQ为过F点且平行于y轴的曲线C的弦，试判断PB与QB与曲线C的位置关系（3） 是曲线C的平行于y轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M，试证明点M在曲线C上第4课 直线和圆锥曲线【考点指津】熟练运用圆锥曲线弦长公式进行计算及论证；善于运用数形结合、等价转化的数学思想方法，借助韦达定理、二次方程根的判别式，将直线与圆锥曲线的位置关系转化为一元二次方程的实根分布加以讨论【知识在线】1过点（2，4）作直线与抛物线有且只有一个公共点，这样的直线有（ ）一条两条三条四条直线与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是（ ）（，）（，）以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无交点，则此圆锥曲线是( )A不能确定 B椭圆 C双曲线 D抛物线设A为双曲线右支上一点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点 ( )A（）B（）C（4，0）D（）斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，若弦长，则 双曲线的左焦点为，点为左支下半支上的动点（异于顶点），则直线的斜率的范围是 【讲练平台】例讨论直线与双曲线的公共点的个数分析 直线与圆锥曲线公共点的个数问题的讨论实际上是相应方程组的解的问题解 联立直线与双曲线方程 消去y得，当时，当时，由得；由得；由得所以当时，直线l与双曲线相交于两点；当时，直线l与双曲线相切于一点；当时，直线l与双曲线相交于一点；当时，直线l与双曲线没有公共点，直线l与双曲线相离点评 该题讨论了过定（，）的直线系与等轴双曲线的位置关系按是否等于来分类讨论容易犯的两个错误一是不讨论二次项系数为零的情况，二是讨论判别式时，丢掉前提条件二次项系数不为零例在椭圆内，求通过点（，）且被这点平分的弦所在直线的方程分析 题中已知点是弦的中点，是直线与圆锥曲线的位置关系中的常见的“中点”问题用中点坐标公式与韦达定理求直线AB的斜率，从而求得弦所在直线的方程解法一：设所求直线的方程为，由消去y得由已知得解得因此，所要求的直线方程为即x4y5=0解法二：设，显然，因为AB都在椭圆上，所以有得将，代入得即直线的斜率为因此，所要求的直线方程为即x4y5=0点评 解法一的思想是通过设直线是点斜式方程，利用中点坐标公式和韦达定理求出斜率；这种解法中常见的问题是不考虑，而导致有时求出的直线不存在解法二采用“设而不求”的方法，设交点的坐标而不求，代入椭圆的方程作差，巧妙地利用条件求出直线的斜率例对称轴平行于y轴的抛物线，其顶点在直线xy=1上，焦点在直线xy=2上，且抛物线在x轴上所截得的线段长为求抛物线的方程分析 由题中条件可知，所求抛物线的方程不是标准方程，开口可以向上也可以向下，因此需设求顶点的坐标及p的值解 设抛物线的对称轴方程为x=a，由于顶点焦点在对称轴上，因此设其顶点，焦点，其方程为，其中2p=4(2a3)，因此抛物线的方程可化为又抛物线在x轴上所截得的线段长为设线段的两端点为则令中y=0得，整理得整理得，解得当时，所要求的抛物线的方程为；当时，所要求的抛物线的方程为点评 题中p的正负与抛物线的开口方向一致，p与常说具有几何意义的p仅相差一个正负号，这样设方程统一而较简单其顶点焦点的设法注意到尽量减少未知量的个数；对弦长通常采用“设而不求”“整体代入”例中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线xy1=0相交于两点、，且求椭圆的方程分析 若设，则由可知而点、的坐标是直线xy1=0与椭圆方程组成方程组的解解 设中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆方程为离心率e= a=2b椭圆的方程可化为设，由于点、都在直线xy1=0上，因此，即即将直线xy1=0与椭圆的方程联立消取y，得、是直线与椭圆的两交点，代入得解得，所要求的椭圆方程为分析 由e=得a=2b将椭圆方程化成，体现了“尽量减少未知量的个数”，使求解的目标非常明确【知能集成】讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y得关于x的方程，讨论得关于x的方程解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系一般注意以下三点：（）要注意与两种情况，只有时，才可用判别式来确定解的个数；（2）直线与圆锥曲线相切时，一定有；（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点；对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点2直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦当弦所在直线的斜率k存在时利用两点距离公式及斜率公式得弦长公式为：，或当弦所在直线的斜率k存在且非零时，弦长公式可表示为：【训练反馈】1 抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，若，则的值为 （ ）A5 B6 C8 D102若直线与椭圆有且只有一公共点，那么 （ ）平面内有一线段，其长为，动点满足，为的中点，则的最小值为（ ）直线l是双曲线=1(a0，b0)的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆，被直线l分成弧长为21的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（ ）ABCD已知方程，它们所表示的曲线可能是（ ）6已知双曲线中心在原点且一个焦点为M、N两点，MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是 （ ）A B C D7过原点的直线l，如果它与双曲线相交，则直线l的斜率k的取值范围是 8过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若，则 设双曲线(0，0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于A(1)若直线FA与另一条渐近线交于B点，且线段AB被 左准线平分，求离心率;(2)若直线FA与双曲线的左右支都相交，求离心率e 的取值范围直线y=kx1与双曲线3x2y2=1相交于两点AB，(1)当k为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点;(2)是否存在实数k，使AB关于直线y=2x对称?若存在，求出k;若不存在，说明理由第5课 曲线与方程，轨迹问题【考点指津】学会根据条件，选择适当的方法求轨迹方程并能充分利用图形，运用数形结合的思想方法求轨迹方程【知识在线】1方程的曲线是（ ）A一条直线和一条双曲线 B两条双曲线 C两个点 D以上答案都不对2点M到定点F（0，4）的距离比它到直线y=5的距离少1，则点M的轨迹方程是（ ） A B C D3曲线关于点M（3，5）对称的曲线方程是（ ）A B C D4动点A、B在直线x=上移动，设P(4，0)，APB=，则APB外心的轨迹是 （ ）A圆 B椭圆 C抛物线位于y轴的左侧部分 D双曲线的左支5由圆上任意一点向x轴作垂线，求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程【讲练平台】例1求到两不同定点距离之比为一常数（0）的动点的轨迹方程分析 因题没有直角坐标系，故需按建系、设点、列式、代换、化简、证明直接来求轨迹方程解 以两不同定点A，B所在的直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系设（x，y）是轨迹上任一点，A(a，0)，B(a，0)，（a）由题设得，即，当时，方程x=0表示一条直线当时，方程为，表示一个圆所以当时，点的轨迹是一条直线；当时，点的轨迹是一个圆点评 题中没有坐标系，因此要根据条件建立坐标系，一般要利用题中的有关定点、定直线、和图形的对称性来建立例 已知ABC的两个顶点坐标分别是A（2，0）、B（0，2），第三个顶点C在曲线上移动，求ABC的重心轨迹方程分析 可设重心坐标为（x，y），顶点C的坐标为（，），根据已知条件将、用x，y表示，再代人曲线的方程，求轨迹方程解 设C点坐标为（，），ABC重心坐标为（x，y），依题意有 解得 因点C（x，）在上移动，所以，整理得为所求ABC重心轨迹方程点评 本题是用转移代人法求轨迹方程若动点M随着已知曲线上的动点作有规律的运动，又可将点P的坐标表示为，则需要将代入已知曲线的方程，整理便得所要求的轨迹方程例3 已知动圆过点相外切，求动圆圆心的轨迹方程分析 根据已知条件动圆与定圆相外切则两圆心之间的距离等于两圆的半径之和，又动圆过定点根据双曲线的定义，可直接判断动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，从而求得动圆圆心的轨迹方程解 因为所以定圆圆心为，半径为6设动圆圆心为，半径为r由双曲线定义，的轨迹是双曲线的一个分支故所求轨迹方程为：点评 由条件及圆锥曲线的定义能判断所求轨迹是什么曲线，再利用圆锥曲线的标准方程来求轨迹方程是一个简化的过程例4 已知点P(3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足（1） 当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；（2） 设轨迹C的准线为l，焦点为F，过F作直线m交轨迹C于G，H两点，过点G作平行于轨迹C的对称轴的直线n，且nl=E，试问点E，O，H（O为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由分析 动点M的轨迹是由点A在y轴上移动而得，因而用动点M的坐标来表示点A的坐标，再根据点A满足求点M的轨迹C的方程解 （1）设点M的坐标为(x，y)，则由得A(0，)得(3，)=0y2=4x所求动点M的轨迹C的方程：y2=4x(2) 轨迹C的焦点为F（1，0），准线为l：x=1，对称轴为x轴，设直线m的方程为x=ty+1，代入y2=4x，得y24ty4=0设H、G的坐标分别为()，()，则y1y2=4nl=E(1，y2)y2)， （1y1）（y2）=y1（）y1=y1y2=0，E，O，H三点共线点评 本题是用向量的知识方法来处理求动点M的轨迹C的方程，并用向量的知识来证明E，O，H三点共线所以要求具有较强分析问题和处理问题的综合能力【知能集成】求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等求圆锥曲线的轨迹方程问题，用定义解题能简化解题过程多个动点的轨迹方程问题，用相关点法，参数法求解解决轨迹问题要注意曲线上的点和方程的解之间的关系，曲线上的点的范围或解的范围既不能缩小也不能扩大 【训练反馈】1P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作F1PF2外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线2圆心在抛物线（）上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（ ）A BC D3求抛物线上各点和点(10，0)所连的线段中点的轨迹方程4已知动点P到定点(3，0)的距离比它到直线的距离大2，求动点P的轨迹方程5已知三点A(2a，0)，P(2a，t)，F(a，0)，其中a为大于零的常数，t为变数，平面内动点M满足=0，且=2（1）求动点M的轨迹；（2）若动点M的轨迹在x轴上方的部分与圆心在C(a4，0)，半径为4的圆相交于两点S，T，求证：C落在以S、T为焦点过F的椭圆上6已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为（1）求动点的轨迹方程； （2）若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围第6课 圆锥曲线的应用（一）【考点指津】在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上，学会有关圆锥曲线的知识的内在联系和综合应用【知识在线】1 方程表示的曲线是（ ）A 直线 B双曲线 C椭圆 D抛物线2已知椭圆=1与双曲线=1（m，n，p，qR）有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|PF2|= 3函数y=2abcosx的最大值为7，最小值为1，则曲线的离心率为 4设圆过双曲线的一个顶点和焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离等于 5以椭圆上的点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为 【讲练平台】例设点，求抛物线上的点到点的距离的最小值分析建立点到抛物线上的点的距离的目标函数，然后求函数的最小值解 设点为抛物线上的任意一点，则若时，则当时，即；若时，则当时，即点评 设抛物线上的点，建立点到点到抛物线上点的距离目标函数，用代数的方法求距离的最小值这是几何中求最值的常用数学思想方法例过定点作直线与椭圆相交于、两点，为原点，求面积的最大值分析 设过定点作直线方程后，与椭圆联立，写出面积关于直线的斜率的函数解析式，利用基本不等式求解解 设直线的方程为，则由方程组消去y，得又点到直线的距离，则当且仅当即时，面积的最大值的最大，其最大值为若直线与y轴平行时，可求面积为故面积的最大值为点评 求圆锥曲线内接几何图形面积的最值中，点到直线的距离，弦长公式等常常用到例已知动圆与圆F1：x2y26x40和圆F2：x2y26x360都外切（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；（II）若直线L被轨迹C所截得的线段的中点坐标为（20，16），求直线L的方程；（）若点P在直线L上，且过点P的椭圆C以轨迹C的焦点为焦点，试求点P在什么位置时，椭圆C的长轴最短，并求出这个具有最短长轴的椭圆C的方程分析 由两圆相外切及圆锥曲线的定义判断动圆圆心的轨迹C的形状而求其方程；已知直线L过点（20，16），故求其的方程只需求得其斜率便可；椭圆C的长轴即为直线L上的点到轨迹C两焦点的距离之和，此和的最小值可借用平面几何中知识，作对称点来求解解（）圆F1：（x3）2y2=5 ， 圆F2：（x3）2 y2=45设动圆半径为r，圆心为M，则由已知得： |MF2|MF1|=2动圆圆心的轨迹C为以F1，F2为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，易得其方程为：（x0）（）设L方程为：y16=k（x20），并设L与轨迹C交点坐标为（x1，y1），（x2，y2）则由已知得：， 即x1x2= 40由 消去y得：（45k2）x210k（20k16）x5（20k16）220=0x1x2= 由、得：= 40k=1所求直线L的方程为y=x4（） yPQxF2F1O椭圆的长轴长等于|PF1|PF2|要求长轴最短，只需在直线L上找一点P，使点P到F1、F2的距离之和最小由平面几何知识知：作F1关于L的对称点Q，连结QF2交直线L于点P，则点P即为所求点，坐标为（），此时长轴2a=|PF1|PF2|=|PQ|PF2|=|QF2|=5 从而a2=，c=3b2=a2c2=椭圆C的方程为：点评 此题是一道综合题，要求具有综合分析和解决问题的能力（I）中求动圆圆心的轨迹C的方程，用到两圆相外切的条件和双曲线的定义；（II）中求直线L的方程，用到韦达定理求直线的斜率；（）椭圆C的长轴最短时判断点P在直线什么位置，用到数形结合的数学思想方法，通过作对称点，找直线上的点到两定点的距离和最小例 设双曲线C的中心在原点，以抛物线y2=2x4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线 （）试求双曲线C的方程； （）设直线l:y=2x1与双曲线C交于AB两点，求|AB|； （）对于直线y=kx1，是否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点AB关于直线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由分析（）由已知条件判断双曲线C的焦点在x轴上，然后求双曲线标准方程中的a，b；（）利用弦长公式求|AB|；（）假设存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点AB关于直线y=ax(a为常数)对称求k值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点AB关于直线y=ax(a为常数)对称解（）由抛物线y2=2x4，即y2=2 (x)，可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=在双曲线C中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，双曲线c的方程3x2y2=1（）由|AB|=2（）假设存在实数k，使AB关于直线y=ax对称，设A(x1，y1)B(x2，y2)，则由 由，有a(x1x2)=k(x1x2)2 由知：x1x2=代入整理得ak=3与矛盾，故不存在实数k，使AB关于直线y=ax对称点评 两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上【知能集成】解析几何中最值问题是典型的综合性问题，涉及较多的数学知识和数学思