黑龙江高二数学二项式系数的性质教案

2006年黑龙江省高二数学二项式系数的性质教案教学目标：1、德育渗透：介绍杨辉三角，加强爱国主义教育。2、知识目标：掌握二项式系数的性质,进一步认识组合数、组合数的性质.会应用二项式系数的性质解决一些简单问题。运用函数观点分析处理二项式系数的性质.3、能力目标：通过对问题的尝试、探究加强对学生观察、归纳、发现能力的在培养。教学重点：二项式系数的性质教学难点：二项式系数的性质2教学过程：教师的教学及活动学生的思维与活动媒体应用一、设疑（提出问题）提 问:请同学观察这个图表的结果，有哪些规律？1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1 提 问:为什么会有这些性质？介 绍:这个图表我们把它叫做二项式系数表。在我国它又被叫做杨辉三角。这里还流传一个美丽动人的故事。在国外，这个表被称为帕斯卡三角。认为是法国数学家帕斯卡在 17 世纪最早发现这一规律的。而在我国，早在 13 世纪，杨辉在他的详解九章算法中就不仅有了这个的图表，还清楚地写着贾宪用此术。贾宪是我国 11 世纪的数学家，这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年，也说明了古代中华民族就在数学上有着辉煌的成就。但是，杨辉，贾宪的成就只有详解九章算法中有记载而此书早已失传，仅在永乐大典中抄录了部分内容，这是证明杨、贾两人成就的唯一证据。永乐大典是极其珍贵的国宝， 然而1900 年，八年联军侵占北京，把翰林院中的永乐大典残本掠走，运往英国。后来，中国数学家李俨的外国朋友在英国见到永乐大典残本，拍下了记载杨辉三角内容的文字，并把照片寄给李俨，这段历史才得以证实，我们今天的数学课本中也才能堂堂正正地写上杨辉三角。但是可惜的是，永乐大典的残本至今未能回到祖国的怀抱。二、尝试：（提出问题尝试解决）杨辉三角既然是二项式系数表我们就可以用杨辉三角来研究二项式系数的性质。提 问：还可以用什么方法研究它的性质。提 问： 如何来做图象。提 问：观察图象有何性质？为什么会有这种性质。提 问：能否用语言总结一下？提 问：能否证明？提 问：下面我们继续观察图象，还可以发现哪些问题？提 问：有最大值吗？提 问：能再具体一些吗？是哪些项二项式系数最大？提 问：目前我们已经发现了二项式系数的两个性质，二项式系数还有没有其它规律呢？我们看杨辉三角： 和为1 1 21 2 1 221 3 3 1 231 4 6 4 1 241 5 10 10 5 1 251 6 15 20 15 6 1 26 提 问：可以发现什么规律呢？提 问：如何来证明呢？定义：这种方法我们叫赋值法，是解决与二项展开系数有关问题的重要手段提 问：我们已经发现并证明了二项式系数的三个性质，可以发现什么规律呢奇数项和为 偶数项和为1 1 1 12 1 2 1 222 1 3 3 1 2223 1 4 6 4 1 2324 1 5 10 10 5 1 2425 1 6 15 20 15 6 1 25 提 问：如何来证明呢？强调：我们得到了奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数才相同提 问：可有没有发现其他规律呢？1 7 21 35 21 7 11 8 28 56 56 28 8 1。定义：这种方法我们叫递推法，我们可以无限得到下面的行的结果。三、归纳：时间关系，我们今天这堂课就研究到这里。本节课关键是利用杨辉三角形直观性发现并证明二项式系数的性质教师归纳：我们可以把第一个性质简记为二项式系数对称规律，性质2简记为最大二项式系数规律，3、4两个性质所采取的方法赋值法。性质5用了递推法。赋值法解决与二项展开系数有关问题的重要手段递推法是我们数学归纳法的基本思想。四、反馈发现了这些性质对解题的帮助体现在哪儿呢？我们来看几组练习：（一）基础练习：1、（a+b）6展开式中的倒数第三项的二项式系数2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则n=？3、分别指出（a+b）20与（x+5y）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并分别求出其最大的二项式系数（用组合数表示）4、已知（a+b）n的展开式中第十项和第十一项的二项式系数最大，求n的值 5求（a+b）10的展开式中的各项的二项式系数和及奇数项的二项式系数和（二）尝试练习：1.(1+x)+(1+x)2+(1+x)n的展开式的各项系数和是（ ）A.2n+1-2 B.2n+1-1 C. 2n+1 D. 2n+1+1（三）作业：P 111 4、8、五、板书设计： 10.4 二项式定理（3）性质1 对称性 性质2证明 性质2 先增后减 性质3证明 性质3 二项式系数和 2n 性质4 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和为2n1。性质5 递推法 学生思考后总结：（学生可以讨论、研究无须顺序总结）1）两边的数都是1。2）具有对称性。3）除1以外每个数都是肩上两个数的和。4）中间数最大。学生讨论后得出结论：这些数都是前面讲过的二项式系数。由学生翻阅材料介绍（通过古中国数学成就的介绍，加强对学生的爱国主义教育。）学生预习得出：函数图象可以形象，直观反应性质，我们还可以用函数图象来研究二项式的系数。学生讨论后回答：Cnr可以看成以r为自变量的函数f（r），其定义域是0,1,n。当n=6时，它的图象如图。观察图表及图象得出：对称性。这是二项式系数的性质1。学生总结：生：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等。学生证明：有组合数性质Cnr=Cnn-r得到。回答：它的值先增后减。回答：有，中间位置可能最大学生活动：（这里让学生讨论研究，尝试证明。让学板演，可以多种方法证明，让学生充分体会成功的喜悦。教师还可以让学生对不完善的证明加以补充。）（学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，积极参与）n为偶数时，中间一项二项式系数最大，中间一项是第 项；n为奇数是，中间两项二项式系数最大，中间两项是第项。（学生语言未必简捷，只要正确就要鼓励他往下说，以免打消学生的积极性）思考得出：（计算每行和）二项式系数和为2n （学生讨论，尝试证明并板演）可以多种方法。如（1+x）n中令x=1，或（a+b）n中令a=1，b=1。思考得出：奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和为2n1。既Cn）+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5学生证明：（由于有例1的铺垫，学生很容易想到赋值法）（1+x）n中令x=-1，或（a+b）n中令a=1，b=-1。思考得出：由两边的数都是1。及除1以外每个数都是肩上两个数的和。可以向下接着写出下一行.1、7、21、35、21、7、1。学生总结：（由学生叙述这五个性质）学生练习：（可以请一些基础较差的学生回答，使他们也体会成功的喜悦，完成基本教学要求。也可以分组抢答，激发学生的学习兴趣）学生讨论研究练习：（这两道题难度较大，给基础较好的学生一个提高的机会，体现了分层教学的思想）多媒体给出图表，显示学生的总结（可以设计跳转）多媒体给出有关介绍及图片多媒体给出图象给出学生的确定函