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2003年第 8期数学通报 48 数学问题解答 2003年 7月号问题解答 (解答由问题提供人给出 ) 1441O为锐角 AB C的外心 ,A P BC于 P, O到 BC的距离为 d,且 CO = 2 d, ACO = ABC ,求证 : COP 1 +(y + 2) +(y + 4)+ +(y+ )2 m yy y 1 + 2 m = k+ 3.当 k+ 2 = 2 m-1时 ,(2)式左边等于 2 m-12 m-3 11 y +y+ +y+ + + 2 m-1 + yy 131 2 m-11 (y+ )+(y + 3)+ +(y + 2 m-1) yy y 2 m = k+ 3. 解因为, 0 , + + = 2则有 :sin2 + sin2 = 1 -12 (cos2 + cos2) = 1 -cos( + ) cos( -) = 1 -sincos( -) 1 -sin(等号仅当 = 时成立)同理 :sin2 + sin2 1 -sin sin2 + sin2 1 -sin三式相加得到 :sin2 + sin2 + sin2 23 1 (sin + sin + sin)2 (等号当且仅当 = = 时成立) sin+ sin+ sin -2 (sinsin+ sinsin + sinsin) 3 sin)+ 2 1 ) 2 25 =-( sin + sin + sin -+4 16因为 sin + sin + sin 3sin + + = 3 3 (当且仅当 = = 时取等号)2 明显地 ,有 :sin+ sin+ sin 41 ,因、 中至少有一角大于 6 .1 31 25所以(sin+sin+sin-4 )2 ( 2 -4 )2 = 161 25所以 -( sin + sin + sin -4 ) 2 + 16 0即 :sin + sin + sin 2 ( sinsin + sinsin + sinsin) 2003年 8月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1446设 x 0 ,a 0 ,求使不等式 2 1 +x 1 +x-x 2 a成立的最大的 a (宁波市甬江职高综合高中部邵剑波315000) 1447已知二次函数 f(x) = ax 2 + bx + c在m, (下转第 47页) 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 2003年第 8期数学通报 时后该城市开始受到台风的侵袭 ? (21)已知常数 a 0 ,在矩形 ABCD中 , AB = 4 ,BC = 4 a,O为 AB的中点 .点 F、G分别在 CD、DA上移动 ,且 BE CF DG = =,PBC CD DA 为 GE与 OF的交点 (如图 ).问是否存在两个定点 ,使 P到这两点的距离的和为定值 ?若存在 ,求出这两点的坐标及此定值 ;若不存在 ,请说明理由 . (22) 设 an是集合 2 t+ 2s 0 s t,且 s,t Z中所有的数从小到大排列成的= 6 ,a4 = 9 , 各项按照上小下大 ,左小右大的原则写成如下的三角形数表 3 56 91012 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数 ; 求 a100 . (本小题为附加题 ,如果解答正确 ,加 4分 ,但全卷总分不超过 150分)设 bn是集合 2 t+ 2s+ 2 r 0 rs 0 ,k为常数 ),求证 :抛物线 y = f(x)与直线 y = kx有两个不同交点 . (湖北谷城县第三高级中学贺斌441700) 1448设 a0 ,a1 ,a2 ,满足 a0 = 21 , ak+1 = ak+ 1 na 2 k(k = 0 ,1 ,2 , )其中 n是某个固定的正整(广东湛江师范学院 4991 #彭学龙524048) 1449线段 AC, BD交于点 O,AC+BC = AD+ BD.过 A作 AE BC交射线 BD于 E,过 B作 BF AD交射线 AC于 F,求证 :AE+BE = AF+BF. (湖南长沙一中罗欲晓 410005) 1450过 AB C内一点 M分别作 AM ,BM , CM的垂线 ,三条垂线分别与边 BC, CA ,AB (或延长线 )交于点 P, Q, R.求证 : P, Q, R三点共线 . 数 ,求证 :1 -1 n an 1.(贵州省台江民族中学邰圭 556300) 19