初三几何”圆“复习课(第1课时)——如何测算圆的半径

如何测算圆的半径初三几何“圆”复习课(第1课时)教学设计福建省永春华侨中学 谢雅礼一、教学目标进一步巩固圆的有关知识(概念、性质和判定)、勾股定理、三角形全等的性质和判定定理、解直角三角形的有关知识,提高综合运用知识解决问题的能力. 渗透数学的思想方法,通过一题多变和一题多解,提高学生思维的灵活性、广阔性和深刻性. 引导学生观察发现、操作实验、联想构造,让学生体验研究数学的思想方法,品尝探究发现成功的喜悦,通过实际问题的解决,让学生认识到数学知识大有用场,从而激发学习研究数学问题的热情,培养良好的学习习惯.二、学情分析优势方面：所任教的班级学生基础很好,能力较高。在前面的学习中,已经熟悉掌握了等腰三角形、直角三角形、相似三角形、锐角三角函数、圆的有关知识(性质与判定),具备一定的发现提出问题及独立思考的能力、合作交流的意识,有科学探究的欲望、一定的合作研究问题的能力,渴望进行更深一步探究. 不足方面：学生的语言表达能力、自主发现提出新问题的能力较薄弱,思维品质不高,有待加强培养和提高.三、重点难点：启导学生独立发现问题、思路和方法; 培养学生灵活、综合运用知识解决问题的能力.四、教学理念：面向全体,巩固所学知识,建立有效的知识系统,形成良好的认知结构,提高发现、提出、分析、综合运用知识解决问题的能力和科学素养,培养交流合作、应用意识、创新精神和实践能力,发展思维能力和个性品质,激发学习兴趣,树立学习自信心,掌握科学的学习方法,养成良好的学习习惯. 一堂优质高效的数学复习课,既是学生回顾并应用所学知识,又是学生对数学知识认知的深化,更是方法的提炼与总结、数学思想的升华、思维能力的发展、数学素养的提高.五、教学过程开头语：同学们,圆具有许多独特的性质,是最优美、最匀称的图形,在自然界和生活中随处可见.请欣赏一组图片(图片略).如果一个圆形的物体不知其半径,能否用所学知识测算出来?前面已叫大家去思考这个问题,今天我们来交流研究成果,探讨和解决存在的有关问题.测算方法1利用圆的周长公式师：请一个同学介绍自己的测算方法,指出所用知识和适用范围，其他同学进行分析、评价和改进. 生1：测出圆的周长,利用圆的周长公式算出圆的半径,适用范围是能测出圆的周长. 师：你是怎样测量圆的周长的? 生1：(动手演示)用一条绳子绕圆一周,用刻度尺量出圆的周长；或者在圆上取一点做上记号,从这点开始在平面上无滑动径直滚动一周(几何画板动画演示),再量出运动一周的路程. 生2：这种方法很简单,读小学的时候就懂,但适用范围太小,大多数圆形物体都难以测出周长. 评注：虽然利用圆的周长公式求出半径不是本章的教学目标,但学生的想法必须受到尊重(让其展示)!测算方法2根据圆周角的性质 师：请坐!如果无法测出圆的周长,有没有其它的办法? 生3：根据90的圆周角所对的弦是直径,用一块三角板就可以确定一条直径,再量出其长度,适用范围是能用三角板测出90的圆周角(动手操作、图1);师：此法非常简单,有没有新的想法? 生4：圆周角不一定要90,其它度数也行。如圆周角A=,所对的弦BC=a(图2),也能求出半径.师：请大家思考怎样求出半径?一个同学上来展示. 生5：板演(作直径,构造直角三角形,用正弦函数求出半径,图2). 师：由此可见,一条弦及其所对的圆周角就可确定一个圆,从而求出半径。请继续交流! 测算方法3根据不共线的三点确定一个圆即三角形有且只有一个外接圆生6：根据不共线的三点确定一个圆即任意一个三角形有且只有一个外接圆,先选定圆的一个内接三角形,由三角形全等的判定定理,测出两角和一边或两边和夹角或三边,这个三角形就确定,其外接圆就确定!师：这样如何求出半径? 生6：已知两角和一边(图3)求出第三个角后就转化为前面的问题,已知两边和夹角(图4)用勾股定理求出第三边后也可以转化为前面的问题,但已知三边怎样求出半径,我还没有想好. 师：很好!为简便起见我们令AB=15,BC=14,AC=13,请大家思考如何求出ABC的外接圆半径.生7：要求圆的半径就必须连半径或作直径,因为直径所对的圆周角是直角,所以作直径可以直接产生直角三角形,更好; 师：这样能求出半径吗? 生7：还有E=B,可以构造相似三角形; 师：这两个三角形(指图5中的两个钝角三角形)相似行吗? 生7：不行,这样半径求不出来!必须利用直角这个条件构造直角三角形相似. 师：怎样构造? 生7：作ABC的高AD(图6)! 师：好!请大家把过程写出来，一个同学上来展示.师：作直径和高构造两个直角三角形相似是求半径常用且重要的方法!还有没有其它不同的方法?测算方法4利用圆的对称性生8：我的方法更简单,把圆片对折(动手操作),折痕就是直径,但适用范围较小,因为许多圆形物体都无法进行对折;也可以画一条弦,再作其中垂线,得到一条直径,量出其长度(图7).师：对此大家有何想法? 生9：适用范围很小! 如果这个圆很大,或者只是圆的一部分,无法作出直径, 怎么办? 生8：也可以解决! 作弦AB,取中点M,作MCAB交弧AB于C,量出AB和MC,用相交弦定理或勾股定理就可求出半径(图7). 师：M一定要中点吗? 若M不是中点, 如MA=8, MB=4, MC=2, 能求出半径吗? 请大家试一试,一人上来展示. 生10：板演,连出(图7)的辅助线后求不出半径. 师：(图7)为什么求不出半径?怎么办? 生11：因为图中没有相似三角形,也没有直角三角形,可以作弦心距产生直角三角形. 生10：再连出图7(4)的辅助线后求出半径. 师：看来“弦心距”是一条很重要的辅助线!测算方法5利用圆的切线的性质师：刚才这些方法都需要作圆的弦和圆周角,如果无法作圆的弦或圆周角,比如下面这个圆柱形物体,人不能进入内部,一部分又被其它物体遮住,在圆形物体外部能测算它的半径吗?在圆的外部且与半径有关的知识是什么?生11：在圆的外部而且与半径有关的知识是圆的切线.只要作圆的3条互相垂直的切线就可直接量出半径(上台板演图8) 师：对此方法你们有何建议? 生12：可以省1条,只要作2条互相垂直的切线(图9)即可. 师：好! 但两条切线一定要垂直吗? 生13：可以把问题一般化两条切线不必垂直(图10),夹角BAC=,AB=AC=a,也能求出半径. 师：很好!请大家写出计算半径的过程,一个同学上来展示. 师：有一种叫“曲尺”的工具,两边成直角且有刻度,可直接看出圆的半径(动手演示).但如果这个圆很大,只能一边和圆相切,另一边和圆相交,这样能求出半径吗?全班：能! 请大家根据图中的数据求出半径.生14：板演(如图12). 师：有没有不同方法的? 生15：上台作出如图13的辅助线, 生6：上台作出如图14的辅助线. 师：从这三种方法发现：过切点的半径或直径是重要的辅助线! 师：能把这个问题变一下吗? 生16：若这个角不是90呢? 比如60,能求出半径吗(图15)?师：好!假设C=60,AC=16,BC=6,请大家思考如何求出半径,添上辅助线即可. 生17：上台作出如图16的辅助线. 师：请大家看黑板(图16),易求MB=26,AM=16,但要求半径有点难,怎么办? 生18：交点M的位置不好! 由60可想到构造直角三角形,可过B点作AC的垂线(图17). 师：有道理! 这样就转化成前面的问题了. 还有什么想法? 生19：刚才有画两条切线的、一条与圆相切另一条与圆相交的,能否两条都与圆相交(图18)? 生20：ABC与圆的关系不密切,无法确定圆的大小! 师：很好,请坐!小结师：同学们,数学来源于生活,又运用于生活,数学不但可以创造美,而且可以解决许多实际问题!测算圆的半径主要是根据：圆的对称性、垂径定理、不共线的三点确定一个圆、圆周角和切线的性质,连结半径或作直径,构造相似三角形、直角三角形,利用勾股定理、三角函数等计算出来,各种方法各有优缺点和适用范围,应根据实际情况灵活选用。大家还有没有什么问题和想法? 生21：刚才这些都是可以接触到的圆形物体,但对人无法到达,比如挂在空中的圆形物体,特别是太阳、月亮等的半径如何测算出来?师：请坐!说实话,我也不太清楚科学家是怎样测算出地球、太阳、月亮的半径的,这个问题有待我们去共同探究,建议大家借助网络上网查询相关资料。本节课就研究到这里,课后请大家总结一下本节课的研究成果,以测算圆的半径的方法为题目,写一篇小论文(可以24人合作),一周后交上.六、教学设计说明数学复习课是重要且最难上的一种课型,目前大多是知识点的简单再现和面面俱到地讲解大量的类型题,这种题型复习法走入“对号入座、机械模仿”的误区,造成教师辛苦,学生痛苦、高分低能、厌恶数学等不良后果。笔者采取“精心设计开放性问题、巧妙引导学生探究”的探究式复习法,打造出优质高效的数学复习课,有效改变了传统题型复习法“只为考试而复习”的教学现状,在实践中取得显著成效. 本节课围绕一个主题,以生活素材为载体,以问题研究和学生活动为中心,通过：创设思维情境启导学生自然地联想到圆的有关知识,独立发现解题的思路;一题多解和一题多变;师生合作交流;鼓励学生提问题;让学生总结和反思,撰写小论文等把圆的有关知识融入到一个开放性问题的解决过程中,为学生的发展搭建了一个广阔的舞台,学