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文档简介

8 4定积分的计算 微积分基本定理 一 按定义计算定积分 定积分的定义已经给出了计算定积分的方法 即任意分割t和任意选取 作积分和 再取极限 反之 如果已知函数f x 在 a b 可积 由于积分和的极限唯一性 可作 a b 特殊的分法t 如等分法等 在上选取特殊的取法 入选去左端点 右端点 中点等 作出积分和 然后再取极限 即把黎曼和的极限化为数列的极限 就是函数f x 在 a b 的定积分 例利用定义计算定积分 解 引言 我们从定积分定义出发 按照分割 代替 求和 取极限的方法和步骤 可以计算简单的定积分 但需要一定的技巧 而且计算也很繁琐 虽然在理论上可行 但在实际上往往十分困难 因此 需要从另外的途径解决定积分计算的一般方法 本节将给出定积分计算的基本公式 把计算定积分转化为不定积分 注意 二 积分上限函数 变限积分 定义 设函数 在区间 可积 根据 8 3定理5 函数 在 也可积 换成积分变量 以免与积分 将积分变量 上限相混淆 这是一个以积分上限x为变量的函数 称为积分上限函数 或称为变上限的定积分 类似地 又可定义积分下限函数 或变下限的定积分 积分上限函数的几何意义 如果 有 对 上任意 积分上限函数 是区间 上的曲边梯形的面积 定理 按连续定义 定理1 原函数存在定理 本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系 同时也证明了 连续函数必有原函数 这一基本结论 并以积分形式给出了f的一个原函数 正因为定理1的重要作用而被誉为微积分学基本定理 证明 由积分第一中值定理的推论得 i 解决了原函数的存在性问题 ii 沟通了导数与定积分之间的内在联系 iii 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据 精僻地得出 上的连续函数一定存在原函数 且 是的一个原函数这一基本结论 定理指出是的一个原函数 从而得到微积分基本公式 注意 对于连续函数来说 可积与存在原函数等价 但对于一般函数来说 可积与存在原函数没有关系 即 1 存在原函数 此函数不一定可积 例如 函数 补充 证 定理2 newton leibniz 公式 证明 基本公式表明 注意 求连续函数定积分问题转化为求被积函数原函数的问题 牛顿 莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系 例1 例2 四 定积分的分部积分法 证 例5 例6 例7证明定积分公式并计算 证明 这两个积分是相等的 积分关于下标
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