互斥事件有一个发生的概率典型例题

互斥事件有一个发生的概率典型例题例1 今有标号为1、2、3、4、5的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率 分析：至少有两封信与信封的标号配对，包含了下面两种类型：两封信与信封标号配对；3封信与信封标号配对；4封信与信封标号配对，注意：4封信配对与5封信配对是同一类型现在我们把上述三种类型依次记为事件 ，可以看出 两两互斥，记“至少有两封信与信封标号配对”为事件 ，事件 发生相当于 有一个发生，所以用公式 可以计算 .解：设至少有两封信配对为事件 ，恰好有两封信配对为事件 ，恰有3封信配对为事件 ，恰有4封信（也就是5封信）配对为事件 ，则事件 等于事件 ，且 事件为两两互斥事件，所以 5封信放入5个不同信封的所有放法种数为 ，其中正好有2封信配对的不同结果总数为 正好有3封信配对的不同结果总数为 正好有4封信（5封信）全配对的不同结果总数为1，而且出现各种结果的可能性相同，说明：至少有两封信与信封配对的反面是全不配对和恰好有1封信配对，但是配对越少，计算该结果的所有方法总数越困难，即计算该事件的概率越不方便现在把问题改为计算“至多两封信与信封标号配对”的概率是多少？我们转化为求其对立事件的概率就简单得多，它的对立事件为“3封信配对或4封信（即5封）配对”，得到其结果的概率为 ，在计算事件的概率时有时采用“正难则反”的逆向思维方法，直接计算事件的概率比较难，而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法例2 袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1） 3只全是红球的概率，（2） 3只颜色全相同的概率，（3） 3只颜色不全相同的概率，（4） 3只颜色全不相同的概率分析：有放回地抽3次的所有不同结果总数为 ，3只全是红球是其中的1种结果，同样3只颜色全相同是其中3种结果，全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它们的概率“3种颜色不全相同”包含的类型较多，而其对立事件为“三种颜色全相同”却比较简单，所以用对立事件的概率方式求解3只颜色全不相同，由于是一只一只地按步取出，相当于三种颜色的一个全排列，其所有不同结果的总数为 ，用等可能事件的概率公式求解解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为：3只全是红球的概率为 3只颜色全相同的概率为 “3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”故“3只颜色不全相同”的概率为 “3只颜色全不相同”的概率为 说明：如果3种小球的数目不是各1个，而是红球3个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？首先抽3次的所有不同结果总数为 ，全是红球的结果总数为 ，所以全是红球的概率为 ，同样全是黄球的概率为 ，全是白球的概率也是 ，所以3只球颜色全相同的概率为上述三个事件的概率之和， ，“三种颜色不全相同”为“三种颜色全相同”的对立事件，其概率为 “3只小球颜色全不相同”可以理解为三种颜色的小球各取一只，然后再将它们排成一列，得到抽取的一种结果，其所有不同结果总数为 （种），所以“3只小球颜色全不相同”的概率为 例3 有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？分析：与倒2中取球方式不同的是，从中取出两球是不放回的取出处理上，例2是分步取球，先取哪个后取哪个是有区别地对待，而本例中，只要搞清是取的什么球，直接用组合数列式取出两个同色球可以分成下面几个类型：两个红球；两个黄球；两个白球解：从10个小球中取出两个小球的不同取法数为 “从中取出两个红球”的不同取法数为，其概率为 “从中取出两个黄球”的不同取法数为，其概率为 “从中取出两个白球”的不同取法数为，其概率为 所以取出两个同色球的概率为： 说明：本题求取出两个同色球的概率，对结果比较容易分类，如果换上“取出3个球，至少两个同颜色”，这样的问题分类相对就比较复杂，在此我们不一一列出，但考虑其反面，对立事件为“取出3个球，颜色全不相同”，对立事件的概率比较容易算出取出3个球，颜色全不相同的所有不同取法数为 （种），对立事件的概率为 ，所以“取出3个球，至少两个同颜色”的概率为： 例4 在 9个国家乒乓球队中有 3个亚洲国家队，抽签分成三组进行比赛预赛求：（1）三个组各有一支亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲国家队在同组的概率分析：9个队平均分成三组的所有不同的分法总数为 ，其中每个队有一支亚洲国家队的分法数为 ，用等可能事件的概率公式可求其概率至少有两支亚洲国家队在同一小组可分成两类：恰好有两支亚洲国家队在同一组；三支亚洲国家队在同一组分别计算它们的概率然后相加此外，我们也可以先计算其对立事件的概率，而其对立事件为“3支亚洲国家队不在同一组”，实际上两小题的事件互为对立事件解：（1）所有的分组结果是等可能的，9支队平均分成3组的不同分法数为：（种）其中三个组各有一支亚洲队，可以看成其它6支队中任取2支队与第1个亚洲队合为一组，剩下4支队任取2支与第2个亚洲队一组，最后2支队与第2、3支亚洲队一组，所有不同的分法数为 （种）。所以“三个组各有一支亚洲队的概率为 （2）方法1：“至少有两支亚洲队在同一组”分为两类：“恰好两支亚洲国家队在一组”，概率为 “三支亚洲国家队在同一组”的概率为 方法2：“至少有两支亚洲在同一组”的对立事件为“三个组各有一支亚洲队”。由（1）可得，“至少有两支亚洲队在同一组”的概率为：习题精选一、选择题1两个事件对立是这两个事件互斥的（ ）A充分但不是必要条件B必要但不是充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件2今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（ ）ABCD 3打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射一个目标，则他们都中靶的概率是（ ）ABCD 4某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（ ）A0.99B0.98C0.97D0.96二、填空题5乘客在某电车站等待26路或16路电车，该站停靠16，22，26，31四路电车假定各路电车停靠的频率一样，则乘客期待电车首先停靠的概率等于6今有一批球票，按票价分类如下：10元票5张，20元票3张，50元票2张，从这10张票中随机抽出3张，票价和为70元的概率是_7某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛甲乙两队夺取冠军的概率分别是 则该市足球队夺得全省冠军的概率是_.三、解答题8在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分别求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率9在房间里有4个人间至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少？10从1，2，3，100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的概率参考答案1A； 2C； 3A； 4D； 5 ； 6 ； 7 ；8解：以12个球中任取3个，共有 种不同的取法，故全是同色球的概率为 ，全是异色球的概率为 9解：由于事件A“至少有两个人的生日是同一个月”的对立事件 是“任何两个人的生日都不同月”因而至少有两人的生日是同一