二项式定理第一课时教案

二项式定理 第一课时教案一、教材分析1、地位和作用：二项式定理的内容实际上是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式-二项式的乘方的展开式这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用学习本小节的意义主要在于：（1） 本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识（2） 由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识（3） 基于二项展开式与多项式乘法的联系，本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用（4） 二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法2、教学目标（1）知识教学点：使学生理解和掌握二项式定理及二项式系数的性质，准确写出通项公式，并能运用通项公式解决有关问题，能区分某项的二项式与某项系数这两种说明，并能运用于计算或证明一些简单的问题（2）能力训练点：通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广和提出二项式定理的推导过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力（3）美育渗透：通过二项式定理的学习感受数学的对称美、和谐美与符号应用的简洁美3、教学重点与难点重点是二项式定理、二项式系数的性质及展开式的通项公式会利用二项展开式及通项公式解有关问题难点是二项式定理猜想及应用二、学法指导观察、概括、总结、归纳、类比联想是学法指导的重点让学生观察、思考后，总结、概括、归纳的知识更有利于学生掌握；为了加深知识理解、掌握和更灵活地运用，运用类比联想去主动的发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习三、教学过程：1. 复习引入引例：4个容器，每个容器中放标有“a”、“b”的球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有多少种结果？每种结果有多少种取法？分析：取法及取法种数：取四个a球（即不取b球）：；取三个a球、一个b球（取一个b球）：；取二个a球、二个b球（取二个b球）：；取一个a球、三个b球：；取四个b球：2. 由联想展开后，它的各项是什么呢？容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：在上面4个括号中：每个都不取b的情况有1种，即 种，所以 的系数是 ；恰有1个取b的情况下有 种，所以 的系数是；恰有2个取b的情况下有种，所以 的系数是；恰有3个取b的情况下有种，所以 的系数是；4个都取b的情况下有种，所以 的系数是；因此 评述：求的展开式是本课的难点之一. 在二项式教学中，它起到承上启下的作用. 在这里，通过设计学生比较熟悉的“取球”问题，联系、类比到的展开式，既分解了难度，又为二项式定理教学打下基础3. 猜想二项式定理二项展开式各项由系数和字母组成，下面分别探究它们的规律由 系数 ， 系数 ，你能猜想展开式的系数吗？ ， 关于字母及其幂指数的规律：同学们通过观察展开式，能否发现、的结构规律？的指数由4逐一减少到0；而的指数内0逐一增加到4. 每一项、的指数和都是4，即，.据此，请说出的展开式.那么在的展开式中，大家能猜想出、的指数规律吗？、的指数规律的指数，从逐一减少到0，且等于组合数的下标上标；的指数，从0逐一增加到，且等于组合数的上标. 每一项的指数与的指数之和等于.猜想：.一般地，对于任意正整数，上面的关系式也成立，即有.这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式其中各项的系数叫做二项式系数式中的叫做二项展开式的通项，为展开式的第项在这里，教师指出，上面的定理严格来说是必须证明的，由于知识的局限，以后再证明评述：认识事物的规律，遵循由特殊到一般的归纳过程. 在这里，考察二项展开式的系数和字母结构，猜想二项式定理，就是这样的认识过程. 归纳思想是一个重要的数学思想，提高学生的归纳能力，是本课教学的一个重点. 4.二项展开式有以下特征：（1）共有项（2）各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止每一项里a、b的指数和均为n（3）二项式系数：，即，与首末等距离的两项的二项式系数相等. 但二项式系数与二项展开式系数是有区别的（4）对通项要注意以下几点：它表示二项展开式中的任意项，只要n 和r 确定，此项也随之确定公式表示二项展开式中的第r+1 项，而不是第r 项公式中a、b的位置不能颠倒，它们的系数和一定为n 另外，要注意展开式的第r+1 项的二项式系数 与第r+1 项的系数是不同的概念5. 公式的初步应用例1 .不展开；写出该二项展开式的通项公式；求展开式中的第三项；求倒数第二项；求常数项；项的系数； 项的二项式系数；例2.展开例3. 求的展开式的系数思考题：求展开式中的系数四、总结提炼引导学生小结： 1.知识方面：本课我们用由特殊到一般，又由一般到特殊的归纳演绎的方法学习二项式定理二项式定理的规律突出表现在二项式系数的规律和字母的规律2.能力方面：掌握了研究问题的一般方法主要方法有：观察、发现、归纳、总结、类比等数学思想和方法