从上海各地高考数学模拟数列压轴题谈谈高考命题趋势

从2009年上海各地高考模拟试题数列压轴题谈谈2010高考命题趋势2009年上海高考已经结束，2010届的高考的号角即将吹响，很多考生一头埋进全国高考试题里去研究，我们不妨停下脚步，从各地的模拟试题当中掘金呢。模拟试题是各大市名师或学科带头人的智慧的结晶，那我就从2009年上海各地模拟试题谈谈自己的看法吧。首先看一道比较基础的压轴题：选自2009.4闸北区模拟题将数列中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数， ，构成数列 （）设，求的值；（）若，对于任何，都有，且求数列 的通项公式； （）对于（）中的数列，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为的等比数列，且，求上表中第（）行所有项的和解（）由题意，（）由 ，令得，且即， 所以因此，将各式相乘得 （）设上表中每行的公比都为，且因为，所以表中第1行至第9行共含有数列的前63项，故在表中第10行第三列， 因此又，所以则 【思考】第二问中为什么不用数学归纳法呢，我们姑且先猜猜。由且知，因此，可猜测（） 将，代入原式左端得左端即原式成立，故为数列的通项经验探究看到第二问中比较复杂的式子，我们应该想想，是不是可以先猜猜他的结果，如果猜中了，但是不会做，我还可以得一分，高考有时一分就决定一个人命运呀。如果猜出结果，想想数学归纳法，因为答案上有很多方法很妙的，在考场中很难想到，我们换种思维，就能寻找解题的捷径。很多出题人很喜欢在压轴题中混合上很多的知识点，而且混合上的每一个知识点都有些难度。向量与数列的综合再也普通不过了，但是最后一问来点数论的知识，题目档次就上去了，让我们来看看2009.4长宁区的一道题目。设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点列、分别满足下列两个条件：且；且.（1）求及的坐标，并证明点在直线上；（2）若四边形的面积是，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的自然数，对一切都有成立？若存在，求；若不存在，说明理由解， 所以，它满足直线方程，因此点在直线上。 （2） 。设直线交轴于， 则， 等即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切都有M成立. 思考 这道题目其实难度不大，但是许多考生容易做懵，为什么呢，没耐心呗。当时我在监考的时候，我发现考场很多考生这道题目空在那儿，倒把下面一道比较难的解析几何题目解出来了，后来我问这个学生原因，学生说太烦了，而且弄不好就错，与其花那么多力气做错一题，不如先做下面一题。我可以明确的告诉每位考生，高考繁琐的计算，易错的陷阱题肯定有的，平时训练就要耐心做下去。数列中对奇偶数的讨论往往是压轴题目的难点所在，稍微有些错误就会前功尽弃，下面看看2009.4崇明县的模拟试题：已知数列中的相邻两项, （）是关于x的方程的两个根，且 (). （1）求的值；（2）求数列的通项；（3）求数列的前项的和.解：（1）由可知方程两根为， ， （2）（理）当，即时， 当，即时， （3）（理）当，即时，）当为偶数时， ）当为奇数时，+ 当，即时，）当为偶数时， ）当为奇数时，+ 【思考】其它各省市对数列中奇偶数的讨论已经淡化了，但是2008，2009上海卷中依旧有奇偶数讨论的影子，讨论作为一种思想方法，是不会但出高考舞台的，这需要我们一定的耐心和信心。其实最具代表性奇偶讨论的题目是2009年南京一模的第20题， （2009南京一模）在数列中，已知，且，（1） 若数列为等差数列，求的值。（2） 求数列的前项和解：（1）设数列的公差为，则， 依题得：，对恒成立。即：，对恒成立。所以，即：或，故的值为2。（2） 所以， 当为奇数，且时，。 相乘得所以 当也符合。 当为偶数，且时， 相乘得所以 ，所以 。因此 ，当时也符合。所以数列的通项公式为。当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， 所以 【思考】本道题目当中引入了字母计算，这就使题目抽象多了，题目抽象没关系，只要你有耐心一定能迎刃而解，我们再看看扬州中学2009.2的月考试题，这上面的奇偶讨论就比较刁钻了：（2009扬州中学2月月考）已知为实数，数列满足，当时， （）；(5分)（）证明：对于数列，一定存在，使；(5分)（）令，当时，求证：(6分)解:（）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而= (3分) =. (5分) （）证明：若,则题意成立(6分)若,此时数列的前若干项满足,即.设,则当时,.从而此时命题成立 (8分)若,由题意得,则由的结论知此时命题也成立.综上所述,原命题成立(10分)（）当时，因为, 所以=(11分)因为0,所以只要证明当时不等式成立即可.而(13分)当(15分)当时,由于0,所以综上所述,原不等式成立(16分)【思考】虽然很刁钻，但是上海卷很喜欢出这种刁钻的题目，说难也只不过如此，就是考生在考场里愿不愿意做，肯不肯做，能不能静下心来把思路理清楚。有些地方的奇偶讨论还要来点分类讨论，你不能含糊，含糊了你自己做着做着就糊涂了，下面我们看看2009.4奉贤区的一道试题：已知点集，其中，点列在L中，为L与y轴的交点，等差数列的公差为1，。（1）求数列的通项公式；（2）若，令；试用解析式写出关于的函数。（3）若，给定常数m(),是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。（1）y (2xb)(b1)2x1 -(1分)与轴的交点为，所以； -(1分)所以，即， -(1分)因为在上，所以，即 -(1分)（2）设 （），即 （） -(1分)（A）当时， -(1分)=，而，所以 -(1分)（B）当时， -(1分)= =， -(1分)而，所以 -(1分)因此（） -(1分)（3）假设，使得 ，（A）为奇数（一）为奇数，则为偶数。则，。则，解得：与矛盾。 -(1分)（二）为偶数，则为奇数。则，。则，解得：（是正偶数）。 -(1分)（B）为偶数（一）为奇数，则为奇数。则，。则，解得：（是正奇数）。 -(1分)（二）为偶数，则为偶数。则，。则，解得：与矛盾。 -(1分)由此得：对于给定常数m()，这样的总存在；当是奇数时，；当是偶数时，。 -(1分)【思考】听奉贤区教改主任说，这道题目整个区的得分率就很低，不得不调细评分细则，尽量给分，很多学生做着做着就摸不清东西南北了，糊涂了，全糊在里面了，如果给考生两个小时，静下心来好好做这一道题目，那么我可以保证很多人能多得10分。【预测】这几年上海高考数学的数列压轴题都很难，有些题目的方法很妙，但是我们说在现在基础上提高58分还是有可能的，数