浙教版八年级上《第2章特殊三角形》习题含答案.doc

第2章特殊三角形21图形的轴对称01基础题知识点1轴对称图形及其性质1（余杭区仁和中学期末）下列图形是轴对称图形的是（ A ） ABC D2下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（ A ）A B C D3如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列说法错误的是（ B ）AAMBMBAPBNCMN垂直平分线段ABDANMBNM知识点2轴对称及其性质4如图，ABC和ABC关于直线MN成轴对称的是（ B ） A B C D5如图，若ABC与ABC关于直线MN对称，BB交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是（ B ）AACACBABBCCAAMNDBOBO知识点3画轴对称图形6如图所示，已知ABC和直线MN.求作：ABC，使ABC和ABC关于直线MN对称（不要求写作法，只保留作图痕迹）解：如图所示知识点4轴对称的应用7如图所示，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN外，且与点A在MN的同一侧，BC交MN于点P，则（ C ）ABCPCAP BBCPCAP CBCPCAP DBCPCAP8如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？解：略 视频讲解02中档题9如图，在直角ACB中，ACB90，A25，D是AB上一点，将直角ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B处，则ADB等于（ D ）A25 B30 C35 D40 第9题图第10题图10如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在图示位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（ A ）A B C D11如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为8cm2. 第11题图 第12题图12如图所示，直线l是四边形ABCD的对称轴，ADBC，现给出下列结论：ABCD；ABBC；ABBC；AOOC，其中正确的结论是（填序号）13在44的方格中，有五个同样大小的正方形如图所示摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图案是一个轴对称图形，请给出三种不同的画法解：如图所示：14如图，P是AOB内任一点，以OA，OB为对称轴分别画出点P经轴对称变换后的点P1，P2，连结P1P2，分别与OA，OB相交于点C，D.若P1P28 cm，求PCD的周长解：根据轴对称变换的性质，可知PCP1C，PDP2D，PCD的周长为PCCDPDP1CCDP2DP1P28 cm.03综合题15如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将ABC沿着DE折叠压平，A与A重合（1）若A75，则12150；（2）若An，则122n；（3）由（1）（2）探索A与12之间的数量关系，并说明理由解：122A.理由如下：AEDAED，ADEADE，又AEDAED1180，ADEADE2180，122（AEDADE）360.122（180A）360.122A.2.2等腰三角形01基础题知识点1等腰（等边）三角形及相关概念1若ABC的三边a，b，c满足关系式（ab）2 （bc）20，则ABC是（ C ）A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D锐角三角形2等腰三角形的周长是16，底边长是4，则它的腰长是（ B ）A4 B6C7 D83如图，在ACD中，若ADDC，则腰是AD，DC，底角是DAC，DCA；若ABBDBC，则图中除了ABC是等腰三角形外，还有ABD，BCD是等腰三角形 第3题图第4题图4如图，等边ABC的边长如图所示，那么y35在活动课上，小红已有两根长分别为4 cm，8 cm的小木棒，她打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒的长是8cm.6如图所示，在ABC中，ABAC，D是AC上一点，ADBDBC，则图中有几个等腰三角形？分别指出它们的顶角、底角、腰和底边解：有三个等腰三角形，它们分别是ABC，DAB，BCD.在ABC中，AB和AC是腰，BC是底边，A是顶角，ABC和ACB是底角；在DAB中，AD和BD是腰，AB是底边，ADB是顶角，DAB和ABD是底角；在BCD中，BC和BD是腰，CD是底边，CBD是顶角，BCD和BDC是底角知识点2等腰（等边）三角形的轴对称性7等腰三角形的对称轴是（ D ）A顶角的平分线B底边上的高C底边上的中线D底边的垂直平分线所在的直线8（嘉兴期末）等腰三角形的对称轴有（ D ）A1条 B2条 C3条 D1条或3条9在等边三角形、角、正方形这三个图形中，对称轴最多的是正方形，有4条对称轴，最少的是角，有1条对称轴，剩下的图形有3条对称轴10已知：如图，在ABC中，C90，请以AC为底边上的高，利用轴对称，将ABC补成一个等腰三角形解：如图所示知识点3等腰三角形的作图11如图，已知线段a，b，请用直尺和圆规作出一个以线段a长为腰，线段b长为底的等腰三角形解：图略02中档题12（萧山区期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9 cm和12 cm两部分，则等腰三角形的底边长为（ D ）A9 cm B5 cmC6 cm或5 cm D5 cm或9 cm13（莱芜中考）已知ABC中，AB6，AC8，BC11，任作一条直线将ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（ C ）A3条 B5条C7条 D8条 14在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ C ）A6 B7 C8 D915已知在ABC中，AB3，BCa2，AC7.若ABC为等腰三角形，求这个三角形的周长解：ABC为等腰三角形，a23或a27.a1或a5.又当a1时，AB3，BC3，AC7，此时这三边长不能构成三角形，a1.ABC的周长为37717.16如图，已知C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，ABED，ABCE，BCED.问：ADC是等腰三角形吗？请说明理由解：ADC是等腰三角形，理由如下：ABED，BE.在ABC和CED中，ABCCED（SAS）ACCD.ADC是等腰三角形03综合题17如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，求线段DE的长解：DE是BC边上的垂直平分线，BECE，BDCD.EDC的周长为24，EDDCEC24.ABC与四边形AEDC的周长之差为12，（ABACBC）（AEEDDCAC）（ABACBC）（AEDCAC）DE12.BEBDDE12.BECE，BDDC，得DE6.2.3等腰三角形的性质定理第1课时等腰三角形性质定理1及其推论01基础题知识点1在同一个三角形中，等边对等角1在ABC中，ABAC，B40，则C（A）A40 B70 C100 D100或402如果等腰三角形的底角为50，那么它的顶角为（D）A50 B60 C70 D803（南宁中考）如图，在ABC中，ABADDC，B70，则C的度数为（A）A35 B40 C45 D50 第3题图 第4题图4（湘西中考）如图，等腰ABC中，ABAC，BD平分ABC，A36，则1的度数为（C）A36 B60 C72 D1085如图，在ABC中，ABAC，A40，则ABC的外角BCD110 第5题图第6题图6如图，ABCD，CP交AB于点O，AOPO，若C50，则A25度7如图，在ABC中，ABAC，D是ABC内一点，且BDCD.求证：ABDACD.证明：ABAC，ABCACB.BDCD，DBCDCB.ABCDBCACBDCB，即ABDACD.8如图，在ABC中，ADBDBC，若DBC28，求ABC和C的度数解：设Ax.ADBD，ABDAx.BDC2x.BDBC，CBDC2x.DBC28，BDCCDBC180，2x2x28180.x38.C76，ABCABDDBC382866.知识点2等边三角形的各个内角都等于609等边三角形的两条角平分线所夹的锐角的度数为（C）A30 B45 C60 D9010如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中的度数是（C）A180 B220 C240 D30002中档题11如图，在ABC中，ABAC，A30，DE垂直平分AC，则BCD的度数为（D）A80 B75 C65 D45 第11题图 第12题图12如图，EAF15，ABBCCDDEEF，则DEF等于 （C）A90 B75 C60 D4513三个等边三角形的位置如图所示，若350，则12130习题解析 第13题图 第14题图14如图，M、N是ABC的边BC上的两点，且BMMNNCAMAN，则BAN9015（萧山区期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为63或2716如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AECD，AD与BE相交于点F.（1）求证：ABECAD；（2）求BFD的度数解：（1）证明：ABC为等边三角形，BAEC60，ABCA.在ABE和CAD中，ABECAD（SAS）（2）ABECAD，ABECAD.BFDABEBAD，BFDCADBADBAC60.03综合题17如图，在ABC中，ABAC，1ABC，2ACB，BD与CE交于点O，BOC的大小与A的大小有什么关系？若1ABC，2ACB，则BOC与A的大小有什么关系？若1ABC，2ACB，则BOC与A的大小有什么关系？解：ABAC，ABCACB.1ABC，2ACB，BOC180（12）180（ABCACB）180（180A）90A.当1ABC，2ACB时，BOC180（12）180（ABCACB）180（180A）120A.当1ABC，2ACB时，BOC180（12）180（ABCACB）180（180A）180A.微课堂第2课时等腰三角形性质定理201基础题知识点1等腰三角形的“三线合一”1如图，在ABC中，ABAC，ADBC，下列结论中不正确的是（A）AAB2BD BBCBAD平分BAC DBDCD 第1题图第2题图2如图，在ABC中，ABAC，D为BC中点，BAD35，则BAC的度数为（D）A35 B45 C55 D703如图是人字形屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且ABAC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是（D）AAB和BC及焊接点BBAB和AC及焊接点ACAB和AD及焊接点ADAD和BC及焊接点D4如图，在ABC中，ABAC，AD平分BAC，若CD4，则BC8 第4题图第5题图5如图，ABC是等边三角形，ADBC，DEAC，若AB8，则BD4，CDE306（北京中考）如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E.求证：CBEBAD.证明：ABAC，ABC是等腰三角形AD是BC边上的中线，ADBC，BADCAD.CADC90.BEAC，CBEC90.CBECAD.CBEBAD.7如图，在等腰ABC中，ABAC，AD是BC 边上的中线，ABC的平分线BG分别交AD，AC于点E，G，EFAB，垂足为F，求证：EFED.证明：ABAC，AD是BC边上的中线，ADBC.BG平分ABC，EFAB，EDBC，EFED.知识点2用尺规作等腰三角形8已知：线段a，b，求作：ABC，使ACCBa，ABC的高为b.解：图略02中档题9如图所示，在ABC中，ABAC，E在CA延长线上，AEAF，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由解：垂直理由：在ABC中，ABAC，AD是高，BADCAD.AEAF，EEFA.BACEEFA2EFA，EFABAD.EFAD.ADBC，EFBC.故EF与BC的位置关系为垂直10（上城区期中）如图，ABC是等边三角形，BDAC，AEBC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连结DE.（1）判断CDE的形状，并说明理由（2）若AO12，求OE的长解：（1）CDE是等边三角形理由：ABC是等边三角形，且BDAC，AEBC，C60，CEBC，CDAC.BCAC，CDCE，CDE是等边三角形（2）由（1）知AE、BD分别是ABC的中线，AO2OE.AO12，OE6.11在ABC中，ABAC.（1）如图1，若BAD30，AD是BC上的高，ADAE，则EDC15；（2）如图2，若BAD40，AD是BC上的高，ADAE，则EDC20；（3）思考：通过以上两题，你发现BAD与EDC之间有什么关系？并给予证明解：BAD2EDC（或EDCBAD）理由如下：ADAE，AEDADE.ABAC，BC.AEDCDEC，ADCBBAD，BBADCDECCDE，即BAD2CDE.03综合题12如图所示，ABC中，ABBC，DEAB于点E，DFBC于点D，交AC于F.（1）若AFD155，求A的度数；（2）若点F是AC的中点，求证：CFDB.解：（1）AFD155，DFC25.DFBC，FDC90.C902565.ABBC，AC65.（2）证明：连结BF.ABBC，且点F是AC的中点，BFAC，ABFCBFABC.CFDBFD90，CBFBFD90.CFDCBF.CFDABC.2.4等腰三角形的判定定理01基础题知识点1在同一个三角形中，等角对等边1在ABC中，其两个内角如下，则能判定ABC为等腰三角形的是（B）AA50，B60BA30，B75CA20，B100DA40，B602如果一个三角形的一内角平分线与对边垂直，那么这个三角形一定是（A）A等腰三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形3（永嘉县校级期中）如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点F，过点F作EGBC分别交AB、AC于点E、G，若BECG18，则线段EG的长为（C）A16B17C18D194在ABC中，A100，当B40时，ABC是等腰三角形5如图，在ABC中，ABAC，DEBC，交AB于点D，交AC于点E，ADE也是等腰三角形吗？为什么？解：ADE是等腰三角形理由：ABAC，BC.又DEBC，ADEB，AEDC.ADEAED.ADAE.ADE是等腰三角形6（襄阳中考）如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBODCO；BECD；OBOC.（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程解：（1）；.（2）选，证明如下：OBOC，OBCOCB.EBODCO，且ABCEBOOBC，ACBDCOOCB，ABCACB.ABAC.ABC是等腰三角形知识点2等边三角形的判定定理7在ABC中：若ABBCCA，则ABC为等边三角形；若ABC，则ABC为等边三角形；有两个角都是60的三角形是等边三角形；一个角为60的等腰三角形是等边三角形上述结论中正确的有（D）A1个 B2个 C3个 D4个8已知ABC中，AB60，且AB10 cm，则BC10cm.9（绍兴中考）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，如图1，衣架杆OAOB18 cm，若衣架收拢时，AOB60，如图2，则此时A，B两点之间的距离是18cm.10如图所示，锐角ABC中，A60，它的两条高BD，CE相交于点O，且OBOC，求证：ABC是等边三角形证明：在EOB和DOC中，OEBODC90，EOBDOC，OBOC，EOBDOC.EBODCO.OBOC，OBCOCB.EBCDCB.ABAC.又A60，ABC是等边三角形02中档题11（陕西中考）如图，在ABC中，A36，ABAC，BD是ABC的角平分线若在边AB上截取BEBC，连结DE，则图中等腰三角形共有（D）A2个B3个C4个D5个12已知AOB30，点P在AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（D）A直角三角形 B钝角三角形C等腰三角形 D等边三角形13已知，如图，延长ABC的各边，使得BFAC，AECDAB，顺次连结D，E，F，得到DEF为等边三角形求证：（1）AEFCDE；（2）ABC为等边三角形证明：（1）BFAC，ABAE，FAEC.DEF是等边三角形，EFDE.又AECD，AEFCDE（SSS）（2）AEFCDE，FEAEDC.BCAEDCDECFEADECDEF60.同理可证BAC60.ABC是等边三角形14如图，已知ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动设运动时间为t s，当t2时，判断BPQ的形状，并说明理由 视频讲解解：BPQ是等边三角形理由：当t2时，AP212（cm），BQ224（cm），BPABAP624（cm）BQBP.又B60，BPQ是等边三角形03综合题15（江山期末）课本中有一探究活动：如图1，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10，20，150；乙三角形内角分别为80，25，75.你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数（1）小明按要求画出了图1中甲图的分割线，请你帮他作出图1中乙图的分割线；（2）小明进一步探究发现：能将一个顶角为108的等腰三角形分成三个等腰三角形请在图2中用两种不同的方法画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种方法）解：（1）按要求作图如图：（2）按要求作图如图：或（视为同一种）；2.5逆命题和逆定理01基础题知识点1命题与逆命题1下列命题的逆命题为真命题的是（C）A如果ab，那么a2b2B平行四边形是中心对称图形C两组对角分别相等的四边形是平行四边形D内错角相等2（萧山区期中）写出“对顶角相等”的逆命题相等的角是对顶角3写出下列命题的逆命题，并判断其真假性（1）命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题；（2）命题：“在三角形中有两个角是锐角，则另一个角一定是钝角”的逆命题为：在一个三角形中有一个角是钝角，则另两个角一定是锐角，是真命题；（3）命题：“质数都是奇数”的逆命题为：所有的奇数都是质数，是假命题；（4）命题：“绝对值相等的两个数一定是相反数”的逆命题为：互为相反数的两个数的绝对值一定相等，是真命题；（5）命题：“全等三角形的对应边相等”的逆命题为：对应边相等的两个三角形是全等三角形，是真命题4已知命题“若ab，则a2b2”（1）此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；（2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例解：（1）假命题反例：a2，b3，有ab，但a2b2.（2）逆命题：若a2b2，则ab.假命题，反例：a3，b2.知识点2定理与逆定理5下列定理中，有逆定理的是（D）A四边形的内角和等于360B同角的余角相等C全等三角形的对应角相等D线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等6如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理知识点3线段垂直平分线的性质定理的逆定理7如图，ACAD，BCBD，则有（A）AAB垂直平分CD BCD垂直平分AB CAB与CD互相垂直平分 DCD平分ACB8如图，ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.（1）求证：PAPBPC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？解：（1）证明：点P是AB，BC的垂直平分线的交点，PAPB，PBPC.PAPBPC.（2）点P在边AC的垂直平分线上，结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点02中档题9写出符合下列条件的一个原命题：（1）原命题和逆命题都是真命题；（2）原命题是假命题，但逆命题是真命题；（3）原命题是真命题，但逆命题是假命题；（4）原命题和逆命题都是假命题解：答案不唯一，如：（1）原命题：若a1，则a1；逆命题：若a1.（2）原命题：若ab0，则 a0，b0；逆命题：若a0，b0，则ab0.（3）原命题：若a0，b0，则ab0；逆命题：若ab0，则 a0，b0.（4）原命题：若a1，b2，则ab4；逆命题：若ab4，则 a1，b2.10如图，点D，E在ABC的边BC上，连结AD，AE.ABAC；ADAE；BDCE.以此三个等式中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：；.（1）以上三个命题是真命题的为，；（直接作答）（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）解：选择.证明：ABAC，BC.在ABD和ACE中，ABDACE.ADAE.11如图，AF平分BAC，P是AF上任意一点，过P向AB、AC作垂线PD、PE，D、E分别为垂足，连结DE.求证：AF垂直平分DE.证明：AF平分BAC，PDAB，PEAC，BAFCAF，ADPAEP90，DPEP.ADPAEP.ADAE.点A、P在DE的垂直平分线上，即AF垂直平分DE.03综合题12如图，四边形ABCD中，ADBC，E是CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：CFAD；（2）若AD2，AB8，当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？解：（1）证明：ADBC，ADCFCE.E是CD的中点，DECE.在ADE和FCE中，ADCFCE，DECE，AEDFEC，ADEFCE（ASA）CFAD.（2）当BC6时，点B在线段AF的垂直平分线上，理由如下：AD2，CFAD，CF2.BFBCCF628.ABBF.点B在AF的垂直平分线上2.6直角三角形第1课时直角三角形的性质01基础题知识点1直角三角形的两个锐角互余1下列性质中，直角三角形具有而等腰三角形不一定具有的是（C）A两边之和大于第三边B有一个角的平分线垂直于这个角的对边C有两个锐角的和等于90D内角和等于1802如图，AD是RtABC的斜边BC上的高，则图中与B互余的角有（B）A1个 B2个C3个 D4个 第2题图第3题图3如图，RtABC中，ACB90，DE过点C，且DEAB，若ACD50，则B的度数是（B）A50 B40C30 D254直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（B）A150 B135C120 D120或1355如图所示，在ABC中，A60，BD，CE分别是AC，AB上的高，H是BD，CE的交点，求BHC的度数解：BD，CE分别是AC，AB上的高，ADBBEH90.ABD90A906030.BHE90ABD60.BHC180BHE120.知识点2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半6（北京中考）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为（D）A0.5 km B0.6 km C0.9 km D1.2 km7在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，则以下判断正确的是（D）ACD2AB BCDAC CCDBC DCDADBD8如图，在ABC中，BC，AD是中线，E为AB的中点，AC6，则DE（B）A2 B3 C4 D6 第8题图 第9题图9如图所示，PAOA，PBOB，垂足分别是A和B，点D是OP的中点，则DA与DB的长度关系是相等02中档题10如图，在RtABC中，B90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知BAE30，则C的度数为（C）A50B60C30D4011如图，在RtABC中，ACB90，A50，将其折叠，使点A落在边CB上的A处，折痕为CD，则ADB（D）A40 B30 C20 D10 第11题图第12题图12如图，BE、CF分别是ABC的高，M为BC的中点，EF5，BC8，则EFM的周长是 （D）习题解析A21B18C15D1313如图，在MNP中，MNP45，H是MNP的高MQ和高NR的交点求证：HNPM.证明：MQPN，MNP45，MQNQ.HMRMHRQNHQHN90，MHRQHN，HMRQNH.在MQP和NQH中，MQPNQH90，MQNQ，HMRQNH，MQPNQH（ASA）HNPM.14（萧山区期中）如图，在ABC中，点D在边AC上，BDBA，点E是AD的中点，点F是BC的中点（1）求证：EFBC；（2）过点C作CGEF，交BE的延长线于G，求证：BCG是等腰三角形证明：（1）BDBA，E是AD的中点，BEAD.EBC为直角三角形F是BC的中点，EF是直角三角形斜边上的中线EFBC.（2）CGEF，GFEB.EFBCBF，FEBCBE.GCBE.GCBC.BCG是等腰三角形03综合题15如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值解：（1）不变理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变（2）当AOB的斜边上的高h等于中线OP时，AOB的面积最大理由：若h与OP不相等，则总有hOP，故根据三角形面积公式，当h与OP相等时，AOB的面积最大此时，SAOBABh2aaa2，所以AOB的最大面积为a2.第2课时直角三角形的判定01基础题知识点有两个角互余的三角形是直角三角形1已知A37，B53，则ABC为（C）A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D以上都有可能2（温州八中月考）在下列条件：ABC；ABC234；A90B；ABC中，能确定ABC是直角三角形的条件有（C）A1个 B2个C3个 D4个3把等边ABC的边AB延长一倍到点D，则ADC是（D）A等腰三角形 B等边三角形C等腰直角三角形 D直角三角形4如图，ABC中，CD是AB边上的高，若2ACB3B6A，则BCD305如图，点E是ABC中AC边上的一点，过E作EDAB，垂足为D.若12，则ABC是直角三角形吗？为什么？解：ABC是直角三角形理由如下：EDAB，ADE90.1A90.又12，2A90.ABC是直角三角形6如图，已知ABCD，BEF与DFE的平分线相交于点G，EFG是直角三角形吗？请说明理由解：是理由：ABCD，BEFDFE180.又EG、FG为角平分线，FEGBEF，EFGDFE.FEG EFG90.EFG是直角三角形02中档题7如图，等腰RtOAB中，AOB90，等腰RtEOF中，EOF90，连结AE，BF.求证：（1）AEBF；（2）AEBF.证明：（1）OAB与EOF是等腰直角三角形，AOBO，OEOF，AOE90BOEBOF.AEOBFO.AEBF.（2）延长AE交BF于D，交OB于C，则BCDACO，由（1）知，OACOBF，BCDOBF90.ADB90.AEBF.8.如图，在等腰ABC与等腰ADE中，ABAC，ADAE，且BADE.（1）如图1，当点D为BC中点时，求证：EDCBAC；（2）如图2，连结CE，当ECBC时，求证：ABC为等腰直角三角形证明：（1）点D为BC中点，ABAC，ADBC，BADBAC.ADBADC90.BADB90，ADEEDC90.又BADE，EDCBADBAC.（2）ABAC，ADAE，BADE，BACDAE.BACBADDAC，DAEDACCAE，BADCAE.在BAD和CAE中，BADCAE（SAS）BACEACB.ECBC，ACBACE45，B45.ABC为等腰直角三角形9如图所示，在ABC中，BAC2B，AB2AC.求证：ABC是直角三角形证明：作线段AB的垂直平分线，垂足为D，且与BC相交于点E，连结AE.ADAB2ACAC，EAEB.BEAD.BAC2B，EADEACBAC，EACEAD.在AEC和AED中，AEAE，EACEAD，ACAD，AECAED.CEDA90.ABC是直角三角形03综合题10已知：ABC中，A90，ABAC，D为BC的中点（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BEAF，求证：DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BEAF，其他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论解：（1）证明：连结AD，ABAC，BAC90，D为BC的中点，ADBC，BDAD.BDAC45.又BEAF，BDEADF（SAS）EDFD，BDEADF.EDFEDAADFEDABDEBDA90.DEF为等腰直角三角形（2）DEF仍为等腰直角三角形证明：连结AD，ABAC，ABC为等腰三角形BAC90，D为BC的中点，ADBD，ADBC.DACABD45.DAFDBE135.又AFBE，DAFDBE（SAS）FDED，FDAEDB.EDFEDBFDBFDAFDBADB90.DEF仍为等腰直角三角形2.7探索勾股定理第1课时探索勾股定理01基础题知识点1勾股定理1在RtABC中，A90，a13 cm，b5 cm，则第三边c为（B）A18 cm B12 cmC8 cm D6 cm2在RtABC中，斜边长BC3，AB2AC2BC2的值为（A）A18 B9C6 D无法计算3（萧山区期中）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（C）A49B25C12D14在ABC中，C90，A、B、C的对边分别是a、b、c.（1）若b2，c3，求a的值；（2）若ac35，b32，求a、c的值解：（1）a2b2c2，a.（2）设a3x，c5x，a2b2c2，（3x）2322（5x）2.解得x8.a24，c40.知识点2在数轴上表示无理数5如图，长方形ABCD中，AB3，AD1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（C）A2 B.1 C.1 D.知识点3勾股定理的实际应用6（杭州期中）如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小琴从A角走到C角，至少走（B）A90米 B100米C120米 D140米 第6题图第8题图7如果梯子的底端离建筑物9 m，那么15 m长的梯子可以到达建筑物的高度是（C）A10 m B11 m C12 m D13 m8如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”他们仅仅少走了4步路（假设2步为1米），却踩伤了花草9中华人民共和国道路交通安全法规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30 m处，过了2 s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m这辆小汽车超速了吗？解：这辆小汽车超速了依题意得AB50 m，AC30 m，由勾股定理，得BC40（m）小汽车速度为40220（m/s）72（km/h）小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70 km/h，