2012数学建模.doc

第 17 页 共 17 页摘 要在本模型中，我们通过分析火车上盒饭和方便面的销售情况，对实际火车上快餐销售进行模拟，引入微观经济学的理念由于提高价格会降低购买意欲，对于本题，一.由于午餐和晚餐一样，计算一餐的即可，以午餐为例，先找出盒饭和方便面销售量与价格之间的函数关系。设和分别为价格上涨时，盒饭和方便面的销售量减少率，和是盒饭和方便面的成本价，根据微分方程模型，得到盒饭销售量与价格的函数关系：，同理，亦可得出方便面销售量与价格的函数关系：。故午餐总收入为： 由于盒饭和方便面的销售量减少率和是未知的，首先假设和是固定值，可以根据总收入的函数公式求出一个最大利润。而根据实际情况，价格较低时，销售量减少率较小；然后随着价格的增大，销售量减少率也增大，直到价格增大到一定程度时，销售量减少率趋于稳定，由此利用一个分段函数表示出价格与销售量减少率之间的关系。根据该分段函数与总收入的函数，最终确定收入和价格的函数关系：，从而得出合适的盒饭价格为12元，方便面价格为5元，最大利润为537.3331元。同理计算早餐可得收入和价格的函数关系：从而得出合适的早餐价格为9.5元，最大利润为336.6331元关键词：火车快餐、微分方程、供求理论、销售量减少率一问题的重述长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。尤其是提供三餐。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以K237次太原到广州的长途列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格15元；中午及晚上为盒饭，价格一律20元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价5元的方便面卖10元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客1500人，其中750人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给300人；另外，车上还可提供每餐200人的方便面。（1）请你根据实际情况设计一个价格方案， 使列车在用餐销售上效益最大。（2）在你设计的价格方案基础上，进一步分析春运期间三餐价格的制定方案，使得列车的用餐销售效益最大化二、问题分析根据需求的定义以及我们自然的认识，商品价格越低，人们的需求量越大，因此，我们可以把需求函数近似的看作向右下方倾斜的曲线，也就是价格与需求量之间存在着反向变动的关系，即，在其他条件不变的情况下，需求量随着价格的上升而减少，随着价格的下降而增加。火车提供快餐只是火车的次营业务，因此火车运行商不可能把精力都投放到快餐的供给上来，而且火车车厢容量有限，这样火车快餐供给量基本上是稳定的。但是火车乘客的数量较大，他们对快餐的需求量大大超过了火车快餐的供给量。这样在市场价格情况下，就造成了火车快餐的供不应求。人们对火车快餐的需求量大于其供给量，如果火车快餐保持原价的话，就会出现争抢的局面，而且不利于火车运营商获取超额利润。在这种情况下，火车运营商一方面为了获取超额利润，另一方面为了火车平安稳定的运行，他都要将价格提高。随着价格的慢慢提高，从收入低的旅客们开始慢慢地减少对火车快餐的需求。火车快餐价格提的越高，人们的需求量越小，直到达到供给与需求的均衡点，这样就造成了火车上快餐的价格远远的高于市场上快餐的价格。而选择消费火车快餐的群体一般是那些收入较高或中等收入的群体。 尤其到春运期间火车上乘客量较大，火车上三餐销售量也会增加，根据国家有关部门调查，由于春运的人员超载现象有时会达到100%，这样就使得就餐人数超过所提供的食物，故在提高价格的基础上，因价格升高而减少率满足，。但是由于国家对春运的重视，要求火车上食品价格不可以太高，又要保持较高的食品质量。这样就会火车的食品运营成本也会加大，所以可以在原有的基础上加入部分因在食品管理制作上的运营成本。 三模型的假设1饭菜质与量不变且不影响人们购买欲。2每餐后早饭、盒饭、方便面卖不完的按成本价出售完。3乘务员服务态度不影响乘客购买欲，饭菜分量相同，且一份饭成年人吃后不必再买泡面吃，吃泡面一样，不再买盒饭。4个人是否购买不受其他人影响。5早餐由早餐和方便面组成，午饭和晚饭由盒饭和方便面组成。6. 平常火车快餐每餐的成本是固定不变的。 7.春运期间 火车快餐每餐的成本是有所提高的。8.火车上的价格都为0.5元的整数倍。四、符号说明单个盒饭的价格单袋方便面的价格单份早餐的价格盒饭价格上涨时，销售量减少率方便面价格上涨时，销售量减少率盒饭价格为时，每餐盒饭销售量方便面价格为时，每餐方便面销售量总收入固定成本五模型建立与求解5.1午餐和晚餐的最大收益模型因为在火车上，餐饮量不会受到外界太多影响，所以每餐的餐饮销售量不会有太大偏差，午餐和晚餐提供的都是盒饭和方便面，所以只考虑一顿饭的总收入；且每餐成本稳定为，这样要求午餐和晚餐最大收益只需考虑一顿饭的最大收入即可。1、首先找出销售量与价格之间的函数关系：当盒饭的价格由上涨到时，销售量的减少量为 对上式整理得： 当为盒饭成本价时，因为此时需求量大于供应量，故而所有的盒饭都卖光，此时x(c)=300，于是建立方程组：解方程组（1.3）得盒饭销售量与价格之间的函数关系：大体图像如下： 图1盒饭价格与销售量的关系同理，可以求得方便面销售量与价格之间的关系：当为方便面成本价时，于是有：上式的图像大致为：图2 方便面价格与销售量的关系注：（1.4）和（1.6）式中的和分别表示盒饭和方便面的成本价，在此假设，。则固定成本。2、求出销售量与价格之间的函数关系后再求一顿饭的总收入。总收入=价格销售量将（1.4）和（1.6）式代入（1.7）式得：要想求总收入的最大值可以分别求出盒饭、方便面的收入最大值和。因为不同的消费者对于商品价格的承受能力是不同的，即不同的价格对应的销售量减少率是不同的。所以下面讨论价格与减少率之间的关系。要确定价格上涨时对销售量减少率的影响，就要考虑消费者的需求和购买行为及价格上涨时消费者的承受能力。由于价格较低时，可以承受的消费者人数较多，此时减少率较小；而当价格慢慢上升超出大部分消费者承受价格的范围，人数减少的速度增快，即减少率增大；当价格增大到一定程度时，消费者的所能承受能力基本稳定，减少率趋于稳定。根据分析可画出减少率与价格的大致图像：图3价格与减少率的关系假设价格与减少率之间存在函数关系：根据实际假设当盒饭价格为成本价时，盒饭全部卖出，则盒饭的销售量减少率;当盒饭价格时，减少率达到最大值；当时，将稳定不再发生变化，如下图：图4 盒饭价格与减少率的关系从而得,所以同样假设当方便面价格为成本价时，方便面全部卖出，则方便面的销售量减少率；当方便面价格时，减少率达到最大；当时，将稳定不再发生变化，如下图：图5 方便面价格与减少率的关系从而得：， 所以将（2.1）式代入（1.9）式得： 将（2.2）式代入（1.10）得：用MATLAB读的当c=12时取得最大值，W1=3323.5元，运用MALAB软件（程序详见附录一）画出盒饭总收入与价格曲线： 图6 盒饭总收入与价格的关系同理对 用MATLAB计算的当c1=5元时，W2取得极大值813.8331元。运用MALAB软件（程序详见附录二）画出方便面总收入与价格曲线： 图7 方便面总收入与价格的关系总收入，最大利润元。5.2早餐的最大收益模型：由于假设早餐提供量与盒饭数量相同为可供给300人，所以其计算方法与盒饭相似，所以早餐收入最大值为W3,根据实际假设当早餐价格为成本价时，早餐全部卖出，则早餐的销售量减少率;当早餐价格时，减少率达到最大值；当时，将稳定不再发生变化，如下图：图8 早餐价格与减少率的关系从而得,所以将（2.6）式代入（2.5）式得： 运用MALAB软件（程序详见附录三）画出早餐总收入与价格曲线：对 用MATLAB计算的当=9.3元时，W3取得极大值2550.6元。图9 早餐总收入与价格曲线的关系 由于火车上所卖东西都是0.5元的整数倍所以=9.5元，对应w3=2546.8元总收入，总成本最大利润元。5.3春运期间最大收益模型： 由于考虑到春运期间成本的增加，则由上可知早餐，盒饭，方便面所对应的销售量减少率盒饭=0.12，=0.15，=0.3， 成本价对应的分别假设为8.5元.10.5元3.5元。同理可推得方程式为：早餐销售数：同理对 用MATLAB计算的当= 11.1元时，取得最大值 2979.3 元。当= 11元时为2978.5元运用MALAB软件（程序详见附录四）画出早餐总收入与价格曲线：图10 早餐总收入与价格的关系运用MALAB软件（程序详见附录五）画出盒饭总收入与价格曲线：图11 盒饭总收入与价格的关系同理对 用MATLAB计算的当C= 12.9 元时，W1取得最大值 3529.3 元。所以取c1=13元，W2=3528.9元运用MALAB软件（程序详见附录六）画出方便面总收入与价格曲线：图12 方便面总收入与价格的关系同理对 用MATLAB计算的当c1= 6.5 元时，W2取得最大值 1025.7元早餐：总收入，总成本最大利润元。午饭：总收入，总成本最大利润元。六、 结果分析与检验:1）平常时盒饭、方便面、早餐的价格分别为12元、5元、9.5元；春运时盒饭、方便面、早餐的价格分别为13元、6.5元、11元；2）通过计算各价格都没有超出市场价格的3倍，并且能使所提供（早餐除外）的卖完.并从中获取最大的效益；3）算出的这些结果，消费者应当能够接受的；4）该模型算出的价格跟列车的实际价格相差不多，说明它是合理的；5）该模型中的建模与求解的过程已对它检验过了，深入地检验有待实践去完成；七、模型的评价：优点：是通过建立微分方程得到价格与销售量之间的关系，再根据收入=价格销售量，得到收入与销售量减少率及价格之间的函数关系。该模型的销售量减少率假设为稳定值，可以通过市场调查得出。考虑到销售量减少率可能会随着价格的变动而改变。先求出销售量减少率与价格的变动关系，然后将减少率函数代回函数，得出总收入与价格的函数关系。 缺点：没有考虑到对没有卖出的快餐进行降价销售的情况，而且也没考虑到火车上还提供其他的食物。改进方向： 将敏感度问题精确化，进一步的接近于现实；函数可以尝试用更高层次富于变化的；推广新思想：建立数学模型必须从多方面去思考，它的最终目的是使复杂问题简单化、实际问题数学化；数学问题又生活化；但这些都有一个前提：必须要有严密的数学法则，数学理论为基础；八、参考文献：1罗守权、卓岩.经济学原理.北京：首都经济贸易大学出版社，2004，第一版2高希均、林祖嘉.经济学的世界.北京：生活.读书.3陈仲常、蒲艳萍.经济学理论与实践.重庆大学出版社.2002，第一版4 熊伟.运筹学M，武汉.武汉理工大学 5 姜启源等.数学模型M，北京.高等教育出版社 九、附录8.1附录一：c=10:0.1:40;W11=300.*c.*exp(0.02.*c-0.2).*(10-c);W12=300.*c.*exp(0.2.*(10-c);W1=(c=10).*W11+(c20&c40).*W12;plot(c,W1)y,x1=max(W1)c1=c(x1)8.2附录二：c=3:0.1:20;W21=200.*c.*exp(0.0514.*c-0.154).*(3-c);W22=200.*c.*exp(0.36.*(3-c);W2=(c=3).*W21+(c10&c20).*W22;plot(c,W2)y,x1=max(W2)c1=c(x1)8.3附录三：c=5:0.1:30;W31=300.*c2.*exp(0.03.*c2-0.24).*(7-c);W32=300.*c.*exp(0.2.*(7-c2);W3=(c2=8).*W31+(c215&c230).*W32;plot(c2,W3)y,x1=max(W3)c1=c(x1)8.4附录四：c=5:0.1:30;W31=300.*c.*exp(0.018.*c-0.157).*(8.5-c);W32=300.*c.*exp(0.12.*(8.5-c);W3=(c=8.5).*W31+(c15&c30).*W32;plot(c,W3)y,x1=max(W3)c1=c(x1)8.5附录五：c=5:0.1:30;W11=300.*c.*exp(0.016.