《固体物理学》房晓勇-习题01第一章 晶体的结构.doc

第一章 晶体的结构第一章 晶体的结构1.1试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。解：我们知体心立方格子的基矢为：根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：同理由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。我们知面心立方格子的基矢为 同理由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子；所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。2.2在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成1200的共面轴上的截距为，第四个指数表示该晶面在六重轴c上的截距为。证明：并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：证明：林鸿生1.1.4 王矜奉1.2.3如图所示，某一晶面MN与六角形平面基矢轴上的截距且有即代入和，有得，两边同乘（hki）并移项得得证（2）由上可知，h，k，i不是独立的，中各i等于，即得1.3如将等体积的硬球堆成下列结构，求证能占据的最大体积与总体积之比为：（1）简单立方；（2）体心立方；（3）面心立方（4）六角密积；（5）金刚石解：设N为一个晶胞中的刚性原子数，R表示刚性原子的球半径，V表示晶胞体积，立方晶格的边长为a，则致密度为：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则体心立方的致密度为：（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则面心立方的致密度为：（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则六角密积的致密度为：（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则金刚石的致密度为：1.4设某一晶面族的面间距为d，三个基矢的末端分别落在离原点距离为的晶面上，试用反证法证明：是互质的。解：参考王矜奉1.2.4设该晶面的单位法向矢量为，由已知条件可得假定不是互质的数，则有公约数p，且p1；设为互质的三个数，满足则有今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为由于必定为整数而且得即因为上式左边是整数，而右边是分数，显然是不成立的。要式成立，必须满足p=1。而此时是互质的。1.5证明：在立方晶系中，面指数为和的两个晶面之间的夹角满足解：三个晶轴相互垂直且等于晶格常数a，则晶胞基矢为其倒格子基矢为倒格子矢量为代表晶面族的法线方向。晶面族的法线方向对应倒格矢晶面族的法线方向对应倒格矢设两法线之间的夹角满足1.6有一晶格，每一晶格上有一个原子，基矢（以nm为单位）分别为，。试求：（1） 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？（2） 原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？（3） 该晶体的倒格子基矢；（4） 密勒指数为（121）晶面族的面间距；（5） 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？（6） 111与111晶列之间的夹角余弦为多少？解：参考徐至中1-5，中南大学1.17（1）按基矢在空间作重复平移，就可得到它的布喇菲格子，因为此晶体是简单格子，因此晶体中原子位置可以认为与格点重合。由右图可见，它是体心立方布喇菲格子，属于立方晶系。（2）原胞体积 晶胞体积 因为，知该晶体属于立方晶系；参考王矜奉1.2.6我们可以构造新的矢量对应体心立方结构. 满足选作基矢的充分条件.可见基矢为, ， ,的晶体为体心立方结构.（3）由倒格子基矢的定义可知：（4）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为 以上是参考中南大学的，有些不妥，因为密勒指数是对晶胞基矢定义的，虽然固体物理学式（1-18）也适合计算相应面间距，但此时的倒格子基矢也应是对应的。从体心立方晶格的特点，结合图，易知，倒格基矢（5）由于面密度，其中是面间距，是体密度。对布喇菲格子，等于常数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为，则该晶面族的面间距应为最大值，所以有 由此可知，对面指数为（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面间距，因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。（6）111与111晶列之间的夹角余弦为 1.71.8六角晶胞的基矢为 求倒格子基矢。 解：参考王矜奉1.2.8，中南大学1.2.13根据倒格子基矢的定义可知：=1.9矢量，构成正交系。证明晶面族的面间距为 解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：由此可求得其倒格子基矢为：根据倒格子矢量的性质有： 1.10 证明：晶面、和属于同一晶带的条件是证明：参考王矜奉1.2.12，徐至中1-7相交于同一直线的二个或多个晶面就构成一个晶带，晶面相应倒格矢可以写为假定三晶面属于同一晶带（交线为晶带轴，此即为晶带轴的方向指数），带轴的方向矢量为因为倒格矢与晶面垂直，因而也必须与带轴垂直，即满足因为得同理有有解的条件即为即证。1.11证明：一个晶体不可能有5重旋转对称轴。参考王矜奉1.2.16，教材1.7.3五边形沿竖直轴每旋转（72）恢复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴。证法2：如图所示，AB是同一晶列上O格点的两个最近邻格点如果绕通过O点并垂直于纸面的转轴顺时针旋转角则A格点转列入点若此时晶格自身重合，点处原来必定有一格点如果再绕通过O点的转轴逆时针旋转角，则晶格又恢复到末转动时的状态但逆时针旋转角，B格点转到处，说明处原来必有一格点可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列上，由图可知，晶列与AB晶列平行平行的晶列具有相同的周期，若设该周期为a则有其中m为整数，由余弦的取值范围可得于是可得因为逆时针旋转分别等于顺时针旋转，所以晶格对称转动所允许的独立转角为上面的转角可以统一写成称n为转轴的度数，由此可知，晶格的周期性不允许有5度旋转对称轴。1.12 试求面心立方和体心立方晶格中粒子密度最大的晶面。解：参考王矜奉1.2.10.11设布赖菲格子的体密度（单位格点数）为，在某一晶面族中，取面间距为d的两相邻晶面为底面，（底面积取为1单位面积）做一个圆柱体，则该圆柱体内的格点数等于这些格点分布在上下底面上，但属于该圆柱体的只有一个底面，故晶面的面密度D=d。123因为是常数，所以的越大，面密度D也越大。1.面心立方设面心立方的晶格常数为a，则其晶胞的体积为a3，晶胞中含有四个格点，因此面心立方结构体密度为选取面心晶体结构的固体物理学原胞，其基矢为 其倒格子基矢为根据固体物理学式（1-14）和（1-18）与晶面族正交的倒格子矢量为则晶面族的面间距为显然，上式中分母越小，d越大，故面指数最简单的晶面族面间距最大，面密度最大。2.体心立方设体心立方的晶格常数为a，则其晶胞的体积为a3，晶胞中含有二个格点，因此面心立方结构体密度为选取体心晶体结构的固体物理学原胞，其基矢为 其倒格子基矢为与晶面族正交的倒格子矢量为则晶面族的面间距为显然，上式中分母越小，d越大，故面指数最简单的晶面族其面间距最大，面密度最大1.13电位移矢量与外电场的关系为，式中，为介电常数张量。试用根据晶体的对称性证明，对于简单六角晶体，有，解：参考王矜奉1.2.17晶体宏观对称性是用对称操作来描述的，即通过旋转。反演等，晶体自身重合，这个几何变换都是正交变换（保持两点距离不变的变换），所对应的变换矩阵为，且有，是转置矩阵，是逆矩阵。晶体介电常数是二阶张量，表示为。在坐标变换下，二阶张量的变换规律为对称操作后，晶体还原，有。以六角晶系主轴为c轴，轴如图：有一个过轴和c轴的镜面，所以得到所以六角晶系有一个6度轴，所以所以1.14证明：三角布赖菲格子的倒格子仍为三角布赖菲格子，并且倒格矢基矢间的夹角和基矢长度b分别满足XYZ式中，a和分别为正格矢的长度和基矢间的夹角。证明：参考王矜奉1.2.18，陈金富8.16对于三角晶系，其三个基矢量大小相等，而且它们相互间的夹角也相等，即，根据正倒格矢的性质设，则有比较两式得类似可以证明，得又因为所以三角晶系的倒格子也属于三角晶系。且式中通过如下计算出，如图，而，因此如图所示得因为所以分别垂直于正点阵初始晶胞的平面，且有相同的长度，根据对称性，彼此间应有相同的夹角，设夹角为，因为, 得解法（二）设，；XODBCAYZ有, ,，, , 1.15用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布喇格角如下序号12345（）19.61128.13635.15641.15647.769已知钽为体心立方结构，试求：（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；（2）上述各晶面族的面间距；（3）利用上两项结果计算晶格常数a。解：参考王矜奉1.2.20，徐至中1-18，韦丹3.25（1）在用X射线衍射方法确定晶体结构时，采用晶胞而不是固体物理学原胞。因此面指数用密勒指数表示（h，k，l）,对于体心立方结构根据布喇格公式对于体心立方晶系，衍射面指数的和为偶数出现衍射极大。因此，对衍射角由小到大的晶面族是，而在误差允许范围内很好符合。因而，对应的晶面族是（2）（3）1.16铁在不同的温度下可能是体心立方结构（-Fe）或面心结构（-Fe）。用x射线束照射铁晶体，当温度为20时，得到最初的三个衍射角为812，1138，1418；当温度为1000时，衍射角为755，99，1259。试求：（1）在20和1000时，铁各属于什么结构？（2）若在20时，铁的密度为7.86gcm-3,求其晶格常数和X射线的波长。解参考林鸿生1.1.21，王矜奉1.2.21（1）在X射线衍射方法决定晶体结构时，常采用晶胞而不是固体物理学原胞。因此决定散射波强度在空间分布时，先是根据晶体所属的晶体，按照晶系的布喇格格子，由布喇格反射条件决定衍射加强方向；其次在这些衍射加强方向上的散射波强度则由几何结构因子及原子散射因子决定，所以在晶体X射线衍射实验中，要在衍射角方向上观察到衍射斑点，首先必须满足布喇格反射定律铁金属属立方结构，如图所示，这是简立方格子晶胞，正格矢基矢为其倒格子基矢为倒格子矢量为代表晶面族的法线方向，其晶面族的间距为置换布喇格公式中，得到表明衍射角正弦与衍射面指数的方均值成正比。上面的推导可以看出，对应三个最小衍射角要求三个最小最简单的晶面指数；但晶格面指数的选择还要考虑到，尽管这个选择满足X射线衍射理论的布喇格反射公式，在衍射角方向上衍射光是加强的，但由于晶胞内不同坐标上原子的散射波之间干涉也会相互抵消，在这些方向上的衍射强度仍可能为零，而看不到衍射斑点，这就说必须满足晶体的几何结构因子，立方晶系有体心和面心结构。首先计算体心结构的结构因子，这时每个晶胞中有两个原子，其坐标为和则因此当衍射面指数之和为奇数时，反射消失。只有当为偶数时，才会见到衍射斑点。取n=1，则对应最小三个衍射角的最简单的面指数依次为，这三个衍射角的衍射面指数的方均根之比为现在把这一数据与铁在20和1000时实验测得的最小三个衍射角的正弦值之比相比较，来确定铁在20和1000下是否属于体心立方结构。 实验测得当温度为20时，得到最初的三个衍射角正弦值之比实验测得当温度为1000时，得到最初的三个衍射角正弦值之比比较看出，体心立方结构情况下三个衍射面指数的方均根之比与铁在实验测得当温度为20时，得到最初的三个衍射角正弦值之比非常接近，所以铁在20下是否属于体心立方结构。其次，在面心结构中，这时每个晶胞中有四个原子，其坐标为，和则显然，当奇偶相异时，I=0，衍射消失，但当全为奇数或全为偶数时，衍射极大，取n=1，则对应最小三个衍射角的最简单的面指数依次为，这三个衍射角的衍射面指数的方均根之比为比较看出，面心立方结构情况下三个衍射面指数的方均根之比与铁在实验测得当温度为1000时，得到最初的三个衍射角正弦值之比非常接近，所以铁在1000下是否属于面心立方结构。（2）设铁原子质量为m，晶格常数为a，铁在20时为体心立方结构，一个晶胞有2个铁原子，则铁的质量密度，于是铁的结构常数a等于，1mol铁质量为一个铁原子的质量，1.17证明：在晶体的X射线衍射中：（1）如果X射线的波长改变了，反射线束将偏转一个角度式中为布喇格角；（2）当晶体发生体膨胀时，反射线束将偏转一个角度，式中，是晶体的体胀系数。证明：（1）布喇格反射定律两边求导得，即（2）布喇格反射定律两边求导设线膨胀系数为，有，即。证法（二）对两边求导得温度升高时, 由于热膨胀, 面间距 逐渐变大. 由布拉格反射公式 可知, 对应同一级衍射, 当X光波长不变时, 面间距 逐渐变大, 衍射角 逐渐变小.所以温度升高, 衍射角变小.当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角 随之变大.1.18 设由原子A和B组成的一维双原子晶体中，原子A和B的散射因子分别为fA和fB,A和B之间的距离为a/2，X射线垂直原子线入射，试证明：（1）干涉条件是 式中，是衍射光速与原子线间的夹角；（2）当n为奇数时，衍射强度；当n为偶数时，衍射强度。AAABBBa/2a/2LPQ证明：参考林鸿生1.1.19，王矜奉1.2.26AAABBBa/2a/2O（1）如图所示，复式格子对X射线的衍射，可以归结为晶体内各原胞散射波之间的相互干涉，因为晶体是由各原胞在空间周期性排列而成，而它的排列情况完全可由布喇格格子来表示，因此各原胞之间相互加强条件即是布喇格格子中被格点散射加强条件。因此本题可看做是一个相距为a一维布喇格晶体光栅，如图所示，其中每一个格点代表了原子A和B，各格点（原胞）散射波之间相互加强条件由期中任两束散射波的光程差来决定，当光程差等于入射X射线波长整数倍时，散射相互加强，即这与布喇格公式不同，原因是这