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第2讲、函数与方程及函数的应用【高考解读】1.本讲主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.2.函数的零点主要是以填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现，属中、高档题【主干知识梳理】1 函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标(3)零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.(2)函数的零点个数是_ (1)(2012天津改编)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是_(2)已知函数f(x)axxb的零点x0(n，n1)(nZ)，其中常数a、b满足2a3,3b2，则n_.考点二、函数与方程的综合应用例2已知函数（1） 若有零点，求m的取值范围；（2） 确定m的取值范围，使得有两个相异实根。变式训练2、已知函数。如果函数）在区间上有零点，则实数a的取值范围为 考点三函数模型及其应用例3省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)|a|2a，x0,24，其中a是与气象有关的参数，且a0，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)(1)令t，x0,24，求t的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ 某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足ymf(x)，其中f(x)当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化(1)如果投放的药剂质量为m4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值第2讲、函数与方程及函数的应用作业1、已知幂函数的图象过点，则 2、若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_3、(2013天津改编)函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为_4、根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是_5、在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 。6、某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为(12x)2万件(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(a)7、如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由x（千米）y（千米）O答案：答案(1)2(2)3解析(1)2a3，f(x)logaxxb为定义域上的单调函数f(2)loga22b，f(3)loga33b.lg 2lg alg 3，3，b3，2b1，loga22b0，即f(2)0.1，3b4，13b0，f(3)0，即f(2)f(3)0时，在同一个直角坐标系中分别作出yln x和yx22x(x1)21的图象，可知它们有两个交点；当x0时，作出y2x1的图象，可知它和x轴有一个交点综合知，函数yf(x)有三个零点 (1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有函数零点值大致存在区间的确定；零点个数的确定；两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零函数的零点也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标 (1)(2012天津改编)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是_(2)已知函数f(x)axxb的零点x0(n，n1)(nZ)，其中常数a、b满足2a3,3b2，则n_.答案(1)1(2)1解析(1)因为f(x)2xln 23x20，所以函数f(x)2xx32在(0,1)上递增，且f(0)10210，所以有1个零点(2)f(x)axxb的零点x0就是方程axxb的根设y1ax，y2xb，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当x1时，y1log32y21b1log32，1x00)，若点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”，则有所以log3x0cos x0，即x0是方程log3xcos x的根在同一个直角坐标系中画出函数ylog3x与ycos x的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f(x)的图象的“镜像点对”共有3对考点三函数模型及其应用例3省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)|a|2a，x0,24，其中a是与气象有关的参数，且a0，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)(1)令t，x0,24，求t的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ (1)分x0和x0两种情况，当x0时变形使用基本不等式求解(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)|ta|2a，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)解(1)当x0时，t0；当0x24时，x2(当x1时取等号)，t(0，即t的取值范围是0，(2)当a0，时，记g(t)|ta|2a，则g(t)g(t)在0，a上单调递减，在(a，上单调递增，且g(0)3a，g()a，g(0)g()2(a)故M(a)即M(a)当0a时，M(a)a2显然成立；由得a，当且仅当0a时，M(a)2.故当0a时不超标，当a时超标 (1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等(2)对函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式法及导数法(3)本题中的函数与方程思想：在求t的范围时，把t看作是x的函数，在求M(a)时，把综合放射性污染指数看作是t的函数在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想 某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足ymf(x)，其中f(x)当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化(1)如果投放的药剂质量为m4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值解(1)由题意，得当药剂质量m4时，y当04时4，解得4x16.综上0x16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天(2)由ymf(x)得当0x4时，y2m在区间(0,4上单调递增，即2m4时，y0，函数在区间(4,7上单调递减，即y3m，综上知，y3m，为使4y10恒成立，只要4且3m10即可，即m.所以应该投放的药剂量m的最小值为.1 函数与方程(1)函数f(x)有零点方程f(x)0有根函数f(x)的图象与x轴有交点(2)函数f(x)的零点存在性定理如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使f(c)0.如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间a，b上是一个单调函数，那么当f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a，b)内有零点时不一定有f(a)f(b)0.2 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决3 应用函数模型解决实际问题的一般程序与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.1 已知函数f(x)()xlog2x，实数a，b，c满足f(a)f(b)f(c)0(0abc)，若实数x0为方程f(x)0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是_(填序号)x0b；x0c.答案解析函数f(x)()xlog2x在其定义域(0，)上是减函数，0abf(b)f(c)又f(a)f(b)f(c)0，则f(a)0，f(b)0，f(c)0，f(b)0，f(c)0.若f(a)0，f(b)0，f(c)0，则x00，f(b)0，f(c)0，则bx0c不可能成立，故填.2 若f(x)1，当x0,1时，f(x)x，若在区间(1,1内，g(x)f(x)mxm有两个零点，则实数m的取值范围是_答案(0，解析设x(1,0)，则x1(0,1)，f(x)11，画出f(x)在(1,1上的图象(如下图)，g(x)f(x)mxm在(1,1上有两个零点，即f(x)m(x1)有两个不同根，即yf(x)与ym(x1)有两个不同交点如上图，当过(1,0)的直线处于l与x轴之间时，满足题意，则00，所以f(x)是增函数，由条件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解之得0a3.3 (2013天津改编)函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为_答案2解析当0x1时，f(x)2xlog0.5x12xlog2x1，令f(x)0得log2xx，由ylog2x，yx的图象知在(1，)上有一个交点，即f(x)在(1，)上有一个零点，故有2个零点4 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是_答案60,16解析因为组装第A件产品用时15分钟，所以15，所以必有40成立，则实数x的取值范围_答案解析由ax2(a2)x20得(x2x)a2(x1)0.令f(a)(x2x)a2(x1)方法一(补集法)由题意得即解得1x，所以所求范围为该集合的补集，即为x.方法二(直接法)由题意得f(1)0或f(3)0，解得6 若关于x的方程4cos xcos2xm30恒有实数解，则实数m的取值范围是_答案0,8解析设cos xt1,1，则t24t3m0，得mt24t3在1,1上是单调递减的，所以m0,87 设定义域为R的函数f(x)则关于x的函数y2f2(x)3f(x)1的零点的个数为_答案7解析由y2f2(x)3f(x)10得f(x)或f(x)1，如图画出f(x)的图象，由f(x)知有4个根，由f(x)1知有3个根，故共有7个零点8 已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析画出函数yf(x)与yax的图象，如图所示，所以a1.9 (2013辽宁改编)已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB_.答案16解析f(x)x(a2)244a，g(x)x(a2)2124a，在同一坐标系内作f(x)与g(x)的图象(如图)依题意知，函数H1(x)的图象(实线部分)，函数H2(x)的图象(虚线部分)H1(x)的最小值Af(a2)44a，H2(x)的最大值Bg(a2)124a，因此AB(44a)(124a)16.二、解答题10(2012陕西改编)设函数fn(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)设n2，b1，c1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n2，若对任意x1，x21,1，有|f2(x1)f2(x2)|4，求b的取值范围(1)证明b1，c1，n2时，fn(x)xnx1.fnfn(1)10，fn(x)在上是单调递增的，fn(x)在内存在唯一零点(2)解当n2时，f2(x)x2bxc.对任意x1，x21,1都有|f2(x1)f2(x2)|4等价于f2(x)在1,1上的最大值与最小值之差M4.据此分类讨论如下：当1，即|b|2时，M|f2(1)f2(1)|2|b|4，与题设矛盾当10，即0b2时，Mf2(1)f224恒成立当01，即2b0时，Mf2