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两个平面垂直问题例析两个平面垂直问题是直线与平面的重要内容（1）平面与平面垂直定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直（2）平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直此定理表明：欲证平面与平面垂直可转化为证线面垂直（3）线面平行与垂直的关系若直线平面，直线平面，则平面平面（4）面面平行与垂直的关系若平面平面，平面平面，则平面平面线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以相互转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理，应当灵活应用这些定理证明问题例1 如图1，为正三角形，平面，且，是的中点，求证：（1）；（2）平面平面；（3）平面平面分析：（1）要证明，只须证明；（2）注意为的中点，可取的中点，先证明点在平面内，再证明平面经过平面的一条垂线即可；（3）只需证明平面经过平面的一条垂线即可证明：（1）取的中点，连结，易知，在和中，故（2）取的中点，连结，则，即点在平面内平面，又，平面在平面内，平面平面即平面平面（3），平面，平面又平面，平面平面说明：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明平面是关键从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直线面垂直面面垂直的转化途径进行例2 已知平面平面，平面平面，且，求证：证法1：如图2所示，在内取一点，作于，于，则， 又，证法2：在上任取一点（），作于，又，同理可证，即为与的交线证法3：在上取一点，在内作垂直于的交线于，在平面内，作垂直于与的交线于，过平面外一点，作这个平面的垂线是惟一的，重合，则它既包含于，又包含于说明：此题是线线、线面、面面垂直转化的典型题，多解题，对综合运用知识和方法，开拓解题思路是有益的本题证法用了同一法同一法的一般步骤：不从已知入手，而另作图形使之具有求证结论之特点；证明所作图形的特征与已知条件吻合；由于已知条件和求证的结论所指的事物都是惟
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