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文档简介

三角形全等的判定定理2SAS1.掌握“边角边”定理的内容.2.能初步应用“边角边”判定两个三角形全等.让学生探索三角形全等的条件,体验操作、归纳得出数学结论的过程.通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生观察分析图形的能力及运算能力,培养学生乐于探索的良好品质,以及发现问题的能力.【重点】“边角边”定理的理解和应用.【难点】指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件.【教师准备】多媒体课件,直尺、圆规和剪刀. 【学生准备】直尺、圆规和剪刀.导入一:【提出问题】(1)怎样的两个三角形是全等三角形?全等三角形的性质是什么?三角形全等的判定方法“SSS”的内容是什么?(2)如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等吗?此时应该有两种情况,一种是角夹在两条边的中间,形成两边一夹角,一种是角不夹在两边的中间,形成两边一对角,如图所示.设计意图复旧导新,激发学生的学习兴趣,为下面学习做好铺垫,让学生感知“两边一角”的两种情况,建立分类讨论的思想.导入二:如图所示,在湖泊的岸边有A,B两点,难以直接量出A,B两点间的距离.你能设计一种量出A,B两点之间距离的方案吗?说明你的设计理由. 设计意图这样设计既交代了本节课要研究和学习的主要问题,将数学问题与实际生活相结合,又能较好地激发学生求知与探索的欲望.同时让学生知道数学知识无处不在,应用数学无时不有.符合“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准要求.导入三:某同学不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成两块(如图所示),现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃.如果只准带一块碎片,那么应该带哪一块去?能试着说明理由吗? 利用今天要学的“边角边”知识可知带黑色的那块.因为它完整地保留了两边及其夹角,一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定下来了.设计意图通过现实生活中的实际问题,让学生感受数学知识在生活中的应用,从而产生探索知识的欲望,增强学生学习数学的兴趣,树立爱数学、学数学的良好情感.过渡语(导入一)刚才通过讨论我们知道两边一角有两种情况,首先我们先研究其中的两边一夹角.一、“边角边”定理的探究思路一1.先任意画一个ABC,再画一个ABC,使AB=AB,AC=AC,A=A.(即两边和它们的夹角相等)点拨:要画三角形,首先要确定三角形的三个顶点.解:如图所示,(1)画DAE=A;(2)在射线AD上截取AB=AB,在射线AE上截取AC=AC;(3)连接BC.肯定学生中好的画法,并让学生与教材中的画法进行比较,确定正确的画法.(进一步学习三角形的画法,从实践中体会两个三角形全等的条件)2.引导学生剪下三角形,看是不是与原三角形全等.【得出结论】两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”.也就是说,三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定了.用符号语言表示为:在ABC与ABC中,AC=AC,A=A,AB=AB,ABCABC(SAS).易错提示“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.3.问题:如果把“两边及其夹角分别相等”改为“两边及其邻角分别相等”,即“两边及其中一边的对角相等”,那么这两个三角形还全等吗?根据学生的讨论,教师应该及时点拨,必要时可以画反例图形.通过反例说明“已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”不一定成立.(让学生了解推翻一个结论可以通过举反例说明)思路二1.引导学生画一个三角形,使它的两条边分别是1.5 cm,2.5 cm,并且使长为1.5 cm的这条边所对的角是30.(小组交流后比较画出的图形是否全等,小组内选代表发言)如图所示,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出ABC,固定住长木棍,转动短木棍,得到ABD.这个试验说明了什么?教师让学生观察运动过程,并加以分析.指出:两个三角形的两条边和其中一条边的对角相等时,这两个三角形不一定全等.2.画一个ABC,使AB=3 cm,BC=4 cm,B=60.比较小组内成员所画的三角形是否全等.(让学生动手操作,提高学生的动手能力和小组合作学习的能力,从而使学生发现“边角边”定理)【提出问题】通过刚才的操作,你能得出什么结论?学生交流后得出基本事实,即“如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等,那么这两个三角形全等”.简记为“边角边”或“SAS”.二、例题讲解过渡语根据“SAS”我们可以判定两个三角形全等,在判定的时候要先确定相等的两组边和这两条边所夹的角.(教材例2)如图所示,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长至D,使CD =CA,连接BC并延长到点E,使CE =CB.连接ED,那么量出DE的长就是A,B的距离.为什么? 教师引导学生把实际问题转化为数学问题,观察图形中有没有全等的三角形.解析如果能证明ABCDEC就可以得出AB=DE.由题意可知ABC和DEC具备“边角边”的条件.证明:在ABC和DEC中,CA=CD,1=2,CB=CE,ABCDEC(SAS).AB=DE(全等三角形的对应边相等).【小结】从上例可以看出:因为全等三角形的对应边相等、对应角相等,所以证明线段相等或角相等时,可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.注意:三角形全等的条件中的相等的角必须是夹角,否则这两个三角形不一定全等,即有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.1.如图所示,已知ABCD,AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有() A.1对B.2对C.3对D.4对解析:ABCD,A=D,又AB=CD,AE=FD,ABEDCF(SAS),BE=CF,BEA=CFD,BEF=CFE,又EF=FE,BEFCFE(SAS),BF=CE,AE=DF,AE+EF=DF+EF,即AF=DE,ABFDCE(SSS),全等三角形共有三对.故选C.2.如图所示,在ABC和DEF中,AB=DE,B=DEF,补充下列哪一个条件后,能应用“SAS”判定ABCDEF() A.BE=CFB.ACB=DFEC.AC=DFD.A=D解析:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS).B的两边是AB,BC,DEF的两边是DE,EF,而BC=BE+CE,EF=CE+CF,要使BC=EF,则BE=CF.故选A.3.如图所示,已知AB=AC,AD=AE,欲证ABDACE,需补充的条件是() A.B=CB.D=EC.1=2D.CAD=DAC解析:已知AB=AC,AD=AE,B=C不是已知两边的夹角,A不可以;D=E不是已知两边的夹角,B不可以;由1=2得BAD=CAE,符合“SAS”,可以为补充的条件;CAD=DAC不是已知两边的夹角,D不可以.故选C.4.看图填空.如图所示,已知BCEF,AD=BE,BC=EF. 试说明ABCDEF.解:AD=BE,=BE+DB,即=.BCEF,=(两直线平行,同位角相等).在ABC和DEF中, ABCDEF(SAS).解析:由AD=BE,利用等式性质可得AB=DE,再由BCEF,利用平行线性质可得ABC=DEF,再加上BC=EF,利用“SAS”说明ABCDEF.答案:AD+DBABDEABCDEFAB=DE,ABC=DEF,BC=EF第2课时一、“边角边”定理的探究二、例题讲解例题一、教材作业【必做题】教材第39页练习第1,2题.【选做题】教材第43页习题12.2第2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,根据“SAS”,如果AB=AC,即可判定ABDACE.2.如图所示,已知1=2,要使ABCADE,还需条件() A.AB=AD,BC=DEB.BC=DE,AC=AEC.B=D,C=ED.AC=AE,AB=AD3.如图所示,BD,AC交于点O,若OA=OD,用“SAS”说明AOBDOC,还需() A.AB=DCB.OB=OCC.BAD=ADCD.AOB=DOC4.完成下面的证明过程.如图所示,已知:ADBC,AD=CB,AE=CF. 求证:D=B.证明:ADBC,A=(两直线平行,相等).AE=CF,AF=.在AFD和CEB中,AD=CB,A=C,AF=CE,AFDCEB(SAS),=.【能力提升】5.如图所示,在ABC和ABD中,AC与BD相交于点E,AD=BC,DAB=CBA,求证AC=BD. 【拓展探究】6.(1)如图所示,方格纸中的ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上,称为格点三角形.请在方格纸上按下列要求画图.在图(1)中画出与ABC全等且有一个公共顶点的格点三角形ABC;在图(2)中画出与ABC全等且有一条公共边的格点三角形ABC.(2)先阅读,然后回答问题.如图所示,D是ABC中BC边上一点,E是AD上一点,AB=AC,EB=EC,BAE=CAE,试说明AEBAEC.解:在ABE和ACE中,因为AB=AC,BAE=CAE,EB=EC,第1步所以根据“SAS”可知ABEACE.第2步请问上面解题过程正确吗?若正确,请写出每一步推理的依据;若不正确,请指出错在哪一步,并写出你认为正确的过程.【答案与解析】1.AD=AE(解析:AB=AC,A为两三角形公共角,又AD=AE,ABDACE(SAS).答案不唯一.)2.D(解析:1=2,1+EAC=2+EAC,BAC=DAE,A,B不是夹BAC和DAE的两对对应边,故错误;C.三个角对应相等,不能判定两三角形全等,故本选项错误;D是夹BAC和DAE的两对对应边,故本选项正确.故选D.)3.B(解析:还需OB=OC.OA=OD,AOB=DOC,OB=OC,AOBDOC(SAS).故选B.)4.C内错角CEDB5.证明:在ADB和BCA中,AD=BC,DAB=CBA,AB=BA,ADBBCA(SAS),AC=BD.6.解:(1)答案不唯一,如下图所示.(2)上面解题过程错误,错在第1步.在AEB和AEC中,AB=AC,BAE=CAE,EA=EA,AEBAEC(SAS).这节课是三角形全等判定的第二节课,目的是让学生掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法,经历探索“已知两边一角时”三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题,培养学生合作精神,通过画图、比较、验证,培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯.比较成功的地方有以下几处: (1)目标明确,重点突出;(2)方法得当,充分调动了学生学习的积极性;(3)关注每一位学生,知识落实好.1.学生作图的过程不够规范,有的学生作图不够认真,导致在观察比较的时候发生偏差.2.学生在探讨两边一对角的两个三角形不一定全等的时候,理解得不够好,教师指导点拨不到位.在探究“边边角”时,明确要求学生要用圆规和直尺来画,用圆规来确定第三个顶点时,很容易就能使学生发现有两种不同的情况,从而可以判定满足“边边角”的两个三角形不一定全等.在此可以适当少用些时间,这样可以给学生多留出一些练习的时间,让学生加深对定理的印象.练习(教材第39页)1.解:相等.因为在DAB和CAB中,AB=AB(公共边),BAD=BAC=90,DA=CA,所以DABCAB(SAS),所以DB=CB,所以C,D到B的距离相等.2.证明:因为BE=CF,所以BE+EF=EF+CF,即BF=CE.在ABF和DCE中,AB=DC,B=C,BF=CE,所以ABFDCE(SAS),所以A=D(全等三角形的对应角相等).(2014吉林中考)如图所示,ABC和DAE中,BAC=DAE,AB=AE,AC=AD,连接BD,CE,求证ABDAEC. 解析根据BAC=DAE可得BAD=CAE,再根据全等三角形的条件可得出结论.证明:BAC=DAE,BAC-B

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