第9讲.尖子班.例题详解.doc

9加 法 原 理分类讨论问题中加法原理的应用1阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【分析】 解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人从四年一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任意选一名男生当升旗手的方法有：种21995的数字和是问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个? 【分析】 小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其余三位数字和是23因为十位、个位数字和最多为，因此，百位数字至少是5于是 百位为5时，只有1599一个； 百位为6时，只有1689，1698两个； 百位为7时，只有1779，1788，1797三个； 百位为8时，只有1869，1878，1887，1896四个； 百位为9时，只有1959，1968，1977，1986，1995五个；根据加法原理，总计共个31、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号)，可以得到多少个不同的乘积?【分析】 按插入乘号的个数进行分类：若插入一个乘号，4个数字之间有3个空当，选3个空当中的任一空当放乘号，所以有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：， 若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从3个空档中选2个空当插入乘号有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：， 若插入三个乘号，则只有1个插法，可以得到l个不同的乘积，枚举如下： 所以，根据加法原理共有种不同的乘积4某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？【分析】 分两类情况讨论：都会的这1人被挑选中，则有：如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有 3种方法，再选2名电工也有3种方法；所以有种方法同样，这人做电工，也有9种方法都会的这一人没有被挑选，则从3名钳工中选2人，有3种方法；从3名电工中选2人，也有3种方法，一共有种方法所以，根据加法原理，一共有种方法5把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人，每人至少1支，问有多少种方法？【分析】 (一)甲最少分到一支，最多分到5支，因此可以分为5类：第一类：5种第二类：4种第三类：3种甲乙丙甲乙丙甲乙丙115214313124223322133232331142241151第四类：2种第五类：1种甲乙丙甲乙丙412511421所以一共有种分法(二)将铅笔排成一排，用两块挡板将这一排铅笔隔开成三份，然后分与甲、乙、丙，挡板可插入的位置一共有个，6个位置中安插两个不分次序的挡板一共有种方法处理分东西的问题用隔板(挡板)法可以顺利解决6三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？【分析】 方法一：把14分为三个不小于3的整数和，有以下分类：3，3，8；3，4，7；3，5，6；4，4，6；4，5，5第，种分法中，都有重复数字出现，以为例，我们可以先从三所学校中选出一所出8个节目，有3种选法，这样另外两所一定是各出3个节目，即在的条件下，三所学校演出节目数的不同情况有3种，同理，也各有3种第，种分法中，没有重重数字出现，三个学校各对应一个节目数，并且这些数字是不相同的，每种分法各包含种不同的情况利用分类计数原理，共有种不同的情况方法二：由于每校至少演出3个节目，所以可以由每所学校先分别出2个节目，剩下的8个节目再由3所学校分，也就是在8个物体间插入2个挡板，8个物体一共有7个间隔，这样的话一共有种方法标号、图示法在加法原理中的应用7在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从到的最短路线有多少种？ 【分析】 因为在的右下方，由标号法可知，从到的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和有积水的街道不可能有路线经过，可以认为积水点的走法数是0接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数如右上图，从到的最短路线有22条8从北京出发有到达东京、莫斯科、巴黎和悉尼的航线，其他城市间的航线如图所示(虚线表示在地球背面的航线)，则从北京出发沿航线到达其他所有城市各一次的所有不同路线有多少？【分析】 第一站到东京的路线有10条：同理，第一站到悉尼、巴黎、莫斯科的路线各有10条，不同的路线共有条加法原理与简单递推9一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【分析】 登上第10级台阶，只有两种可能：可以从第9级一步跨上去，或者从第8级一步跨上去由加法原理可知，如果登上第9级和8级分别有种和种走法，则登上第10级有种走法，也就是说，登上第级台阶的走法总数，等于登上第级台阶和第级台阶的走法总数之和因此，只要知道登上第一级和第二级台阶有几种走法，就可以依次反推出登上各级台阶的走法总数例如登上一级台阶有1种走法，登上第二级台阶有2种走法(一步走两级或者走两步每步走一级)；由此得出登上第三级台阶的走法数为种又知道走上第四级台阶的走法总数也等于登上第三级和第二级台阶的走法总数之和，又可以算出登上第四级台阶共有种方法，依此类推：1级2级3级4级5级6级7级8级9级10级123581321345589所以，登上第10级台阶的走法数为8910有一堆火柴共12根，如果规定每次取13根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【分析】 取1根火柴有1种方法，取2根火柴有2种方法，取3根火柴有4种取法，以后取任意根火柴的种数等于取到前三根火柴所有情况之和，以此类推，参照上题列表如下：1根2根3根4根5根6根7根8根9根10根11根12根124713244481149274504927取完这堆火柴一共有927种方法 魔幻数学树林里的正方形这天，小空和猪坚强他们护送师傅走到了一片树林里，树林里阴风阵阵，很是吓人。小空从树林中跳到天上，四下张望，却没有发现妖怪的踪迹。可是等他再跳下来时，发现师傅不见了，猪坚强还在一边站着，好像什么都没发生一样。“喂，猪头，师傅呢？不会是被你给看丢了吧？”小空有点着急地问。“哪能啊，师傅走到树林里以后兴致大发，自己下马去树林里闲逛了，也不让我跟着，说是怕我打搅了他的雅兴”果然，不一会儿师傅就自己走了回来。小空一看师傅两眼放光的样子，就知道他又想到什么题目迫不及待要出给他们了“小空呀，你看，这是我刚才走到这片森林正中央时看到几棵树的分布示意图。”师傅说着像变魔术一样从口袋里掏出了一张纸。纸上画着一副示意图，上面密密麻麻地画了个黑点，代表棵树：“那小空，今天为师就以这幅图出道题考考你。”“说吧，师傅！”“问题很简单，就是问这个图里一共有多少个以四棵树为顶点的正方形。”“这还不简单！数正方形的题目就是按照大小分情况讨论嘛！这个图里面的正方形有个，没有或者更大的正方形，所以一共就有个正方形！”“这猴子粗心大意的老毛病又犯了”猪坚强一脸鄙视地想。“小空啊，你再好好想想看除了这些正方形就没有别的形状的正方形了吗？以前我总是提醒你，做计数问题一定要确保不重复、不遗漏，当时你不听我的你看你现在这么一道数正方形的题又出错了吧。与其当初不听我的还不如当初听我的这样的话你现在这道题也就能做对了那么你也就会开心一点我也就会开心一点我们大家都会开心一点”“完了，师傅又开始唠叨了。”猪坚强想着，忙出来打圆场：“师傅啊，其实