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初三数学寒假课程第一讲 二次函数的认识与待定系数法、配方法【问题探索】某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子(1)假设果园增种棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(2)如果果园橙子的总产量为个，那么请你写出与之间的关系式答案：（1）共有棵橙子树，平均每棵树结个橙子；（2）与之间的关系式为：化简得：。【新课引入】提问：1、在式子中，是的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？答案：根据函数的定义，可知是的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想是什么函数，并说出该函数的式子特征。一次函数（）反比例函数（）未知项的最高次数是未知项的最高次数是未知项最高次数是（其中）答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是含两个变量（自变量）、（因变量）；式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是次。总结：一般地，形如(是常数，)的函数叫做的二次函数. 注意：定义中只要求二次项系数不为零（必须存在二次项），一次项系数、常数项可以为零。因此，最简单的二次函数形式是举例：和都是二次函数我们以前学过的正方形面积与边长的关系，圆面积与半径的关系等，都是二次函数3、是二次函数吗？答案：是，因为化简能变成（）的形式。4、通过二次三项式的配方，改变函数的表示形式。答案：，它反过来也能变成（）的形式，因此，它还是二次函数。这个式子可以让我们之间看出的最大值或最小值。如：中，当时，有最大值。5、一次函数、反比例函数都有图象，二次函数有图象吗？怎么画出它的图象呢？答案：二次函数也有图象，画二次函数的图象应该列表；描点；连线。6、请画出（、）的图象，观察图象的形状是什么？观察图象与轴、轴的交点坐标，以及图象的最高点（顶点）坐标。答案：图象是抛物线，与轴交点（-100,0）、（120,0），与轴的交点（0,60000），顶点（10,60500），同一个函数可以有三种表达形式，从解析式可以分别看出图象的哪些特征？【总结归纳】一、二次函数图象上点的横坐标、纵坐标分别与函数中的、对应也就是说：1、 二次函数图象上点的坐标满足二次函数的函数关系式，即代入解析式两边相等；2、 满足二次函数解析式的每一组的实数对，也对应着一个点，这些点就组成了二次函数的图象，解析式与图象的一些特征点对应关系如下图所示。二、二次函数的三种表达形式以及它们之间的转化关系图像与轴交点交点式因式分解图像与轴交点一般式图像的顶点配方法顶点式 三、待定系数法求函数关系式1、已知图象上三个普通点的坐标，设一般式，解三元一次方程组可求解析式中的待定系数；2、已知图象的顶点坐标和一个普通点的坐标，设顶点式，解二元一次方程组可求待定系数；3、已知图象与轴的两个交点坐标和一个普通点的坐标，设交点式，解方程可求待定系数。4、后面学过二次函数图象特征和性质之后还有待定系数法的其他解法。四、配方法其实就是二次三项式的配方，配方依据是“完全平方”公式。配方法在如下几个方面使用较多：1、 用于求二次三项式的最值；2、 用于解一元二次方程；3、 用于二次函数解析式变形，变一般式为顶点式，方便找图象的顶点和函数的最值。【精选例题】（一）二次函数的概念例1、（1） 函数y=（m2）x2x1是二次函数，则m= （2）下列函数中是二次函数的有（ ）y=x；y=3（x1）22；y=（x3）22x2；y=xA1个 B2个 C3个 D4个解析：（1）中，只有二次项系数时，才是二次函数，故答案为；（2）中未知项的最高次数都是1次，不是2次，因此不是二次函数；通过化简成一般形式，发现它们符合且，所以答案为B。前思后想：一个函数是不是二次函数，关键看两个方面，最高次项为2次，化简后符合一般形式；二次项系数不等于0.牛刀小试：1已知函数y=ax2bxc（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数2当m 时，y=（m2）x是二次函数3下列不是二次函数的是（ ）Ay=3x24 By=x2 Cy= Dy=（x1）（x2）答案：1、，； 2、； 3、C.（二）根据等量关系列二次函数关系式例2 1、正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式解析：等量关系：增加的面积=新正方形面积原正方形面积，则整理得前思后想：根据实际情境列函数关系式，跟方程应用题一样，先找等量关系，再用代数式分别表示各个量，根据等量关系即可列出函数关系式。变式：1、 已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式2、 已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式3、已知正方形的边长为x，若边长增加5，求面积y与x的函数表达式牛刀小试：1、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套据市场调查发现，这种服装售价每提高1元，销量就减少5套，如果商场将售价定为x元，请你得出每天销售利润y（元）与售价x（元）的函数表达式2、如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QPAP交DC于Q，如果BP=x，ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y答案：1、化简得；2、先证得，在根据面积公式得。（三）画二次函数图象例3. 画出函数y2x23x的图象，并说出它与坐标轴的交点坐标以及顶点坐标.解析：列表：x0y00描点并连线：前思后想：1、 列表：画二次函数的图象，必须先配方找到顶点，再将取五个数，正中取顶点，向两边平均取点；2、 描点：根据表格中每个的实数对，在坐标系中描出相应的点；3、 连线：按照从左到右的顺序沿着各点用平滑的线连起来。牛刀小试：1、画出下列函数的图象（1）； （2）2、画函数yx2x4的图象，并写出它与坐标轴的交点及顶点坐标。答案：略（四）利用配方法把函数解析式配成顶点式例4. 把y=x2+3x-4化成顶点式；解析： 例5.把 y=2x2-8x+6配成顶点式；解析： 例6把yx2x1配成顶点式；解析： 例7把y=x2+3x-2配成顶点式。解析： 前思后想：以上四道配方题可以看出配方的过程：把二次项和一次项添上括号，提取二次项系数；在括号内把二次项和一次项添加一个常数项配成完全平方式，里面添了项，外面就要减去添的项，注意括号外的系数；把括号内写成平方形式即可。牛刀小试：1、把Q=(50x)2 (50x)308配成顶点式；2、把y3x26x8配成顶点式；3、把y=2x2-8x+1配成顶点式。答案：1、配方得2、3、（五）用待定系数法求二次函数解析式例8. 已知二次函数的图象过(1，0)，(1，4)和(0，3)三点，求这个二次函数解析式。解析：设二次函数解析式为 （），因为图象过三点，则 解得：，。所以二次函数的解析式为：。例9. 已知二次函数的图象经过原点，且当x1时，y有最小值1，求这个二次函数的解析式。解析：因为二次函数当x1时，y有最小值1，所以，设，由于图象过原点，所以，。故二次函数为。例10. 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=3，x2=1，且与y轴交点为(0，3)，求这个二次函数解析式。解析：因为函数图象与x轴相交于（-3,0），（1,0）两点，故设二次函数为由于图象与y轴交于点（0，-3），所以，即。二次函数为前思后想：三道例题分别反映了待定系数法求函数关系式的三种方法：知道三点，设一般式；知道顶点，设顶点式；知道与x轴交点，设交点式。牛刀小试：1、根据下列条件求二次函数解析式（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，1），B（1，0），C（1，2）；（2）已知抛物线顶点P(1，8)，且过点A(0，6)；（3）二次函数图象经过点A（1，0），B（3，0），C（4，10）；（4）已知二次函数的图象经过点（4，3），并且当x=3时有最大值4；（5） 已知二次函数图象经过一次函数yx+3图象与x轴、y轴的交点，且过(1，1)；（6）已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8；2、二次函数的图象经过点A（0，-3），B（2，-3），C（-1，0）（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点P坐标。答案：1、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；2、（1）； （2），所以顶点；【课后作业】1、下列函数中，二次函数是（ ）Ay=6x21 By=6x1 Cy=1 Dy=12、函数y=（mn）x2mxn是二次函数的条件是（ ）Am、n为常数，且m0Bm、n为常数，且mnCm、n为常数，且n0Dm、n可以为任何常数3、在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R，通过的电流强度为I，则导线在单位长度时间所产生的热量Q=RI2若某段导线电阻为05欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位长度时间产生的热量Q= 4、已知二次函数的图象顶点是（1，-3）且经过点P（2，0），则该函数的解析式为 ；5、已知二次函数图象经过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点，求这个二次函数的解析式；6、已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式；7、已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点，那么这个二次函数的解析式是_；8、已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式是 ；9、已知二次函数yx2pxq的图象的顶点是(5，2)，那么这个二次函数解析式是_；10、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围11、已知：如图，在RtABC中，C=90，BC=4，AC=8点D在斜边AB上，分别作DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，得四边形DECF设DE=x，DF=y（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式12、如图所示，求二次函数的关系式。分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。13、二次函数yax2bxc与x轴的两交点的横坐标是，与y轴交点的纵坐标是5，求这个二次函数的关系式。14、行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：刹车时车速（km/h）010203040506070刹车距离（m）0112439567596119（1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为264 m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由15、m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？16、已知二次函数y=ax2bxc，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1求a、b、c，并写出函数解析式17、把下列函数化成顶点式.（1）yx2x（2）（3）y2x22x （4）y2x24x818、你能画出下列函数的图象吗？并写出图象与坐标轴的交点坐标以及它的顶点坐标.（1）yx2x（2）yx22x4（3）yx22x（4）y3x22x答案：1、A； 2、B； 3、12.5； 4、； 5、； 6、； 7、； 8、； 9、； 10、； 11、（1）；（2）；（3）；12、；13、；14、（1）图象（略）；（2）；（3），解得，因为120 0时，随的增大而减小。例2、抛物线开口，当时，有最值，是。当时，随的增大而增大。解析：，开口向上； 方法一：直接套用顶点公式 当时，有最小值，最小值为； 当时，随的增大而增大。 方法二：用配方法，将二次函数关系式转化为顶点式由上可知：当时，有最小值，最小值为； 当时，随的增大而增大。所以，抛物线开口向上，当 时，有最小 值，是。当时，随的增大而增大。前思后想：1、 根据二次函数关系式得出图象的性质，可以直接套用二次函数顶点坐标公式；2、 用配方法，将二次函数关系式转化为顶点式。牛刀小试：1、分别说出下列函数图象的开口方向、顶点坐标与对称轴 （1） ； （2） ； （3）2、填空：（1）对于函数，当时函数值随自变量的增大而_；当_时，函数有最_ 值，最_ 值是_；（2）对于函数，当时函数值随自变量的增大而_；当_时，函数有最_ 值，最_ 值是_；3、填空：（1） ； （2）；（3）； （4）。答案：1、（1）：开口方向向上、顶点坐标（0，0）、对称轴为轴；（2） ：开口方向 向下、顶点坐标 、对称轴为轴；（3） ：开口方向 向下、顶点坐标 、对称轴过点且平行于轴的直线。2、填空：（1）对于函数，当时函数值随自变量的增大而 减小 ；当 = 0 时，函数有最 大 值，最 大 值是 0 ；（2）对于函数，当时函数值随自变量的增大而 增大 ；当 = -1 时，函数有最 小 值，最 小 值是 -2 ；3、填空：（1） ； （2）；（3）； （4）。（二）知道二次函数图象的性质求抛物线解析式例3、若抛物线开口向下，求的值和抛物线的关系式解析： 是抛物线 ，解得， 抛物线的开口向下， 将代入 得，抛物线的关系式为。前思后想：根据图象的性质求抛物线解析式或是求待定系数。牛刀小试1、已知原点是抛物线的最高点，则的取值范围是（）A. 1B. 1C. 1D. 22、若抛物线中，当时随的增大而减小，则。3、一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式。答案：1、A2、 是抛物线，解得，。 当时随的增大而减小，抛物线的开口向下。3、设新抛物线为。因为抛物线开口方向为向上，对称轴为轴所在的直线，所以 又因为新抛物线顶点纵坐标是-2，所以 所以，且抛物线经过点（1，1），得，即 所以。（三）二次函数的平移技巧例4.抛物线经过平移得到，平移方法是 （ ）A、 向左平移1个单位长度长度，再向上平移3个单位长度长度B、 向右平移1个单位长度长度，再向上平移3个单位长度长度C、 向左平移1个单位长度长度，再向下平移3个单位长度长度D、 向右平移1个单位长度长度，再向下平移3个单位长度长度解析：二次函数通过配方可变形为，其顶点坐标为（1，3），抛物线的顶点坐标为（0，0），抛物线与的形状相同，只是位置不同，把（1，3）先向左平移1个单位长度长度，再向下平移3个单位长度长度，可得到点（0，0）的位置。故选C 。例5. 已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把轴，轴分别向上、向右平移2个单位长度长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）解析：因为抛物线不动，把轴，轴分别向上、向右平移2个单位长度长度， 根据相对平移的方法，轴向上平移2个单位长度长度，相当于是把抛物线向下平移了2个单位长度长度；轴向右平移2个单位长度长度，相当于是把抛物线向左平移了2个单位长度长度。 所以，新坐标系下抛物线的解析式是，即选B前思后想：二次函数图象的平移实际上是顶点的平移，只要确定出平移前抛物线顶点的坐标和抛物线平移后的顶点坐标，根据二者之间的位置关系即可判断平移情况。牛刀小试：1、在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位长度长度，所得图象的解析式为（ ）A B C D2、抛物线y=20x2可以看作抛物线y=_沿y轴向_平移_个单位长度长度得到的3、 抛物线yx2bxc的图象向左平移2个单位长度长度。再向上平移3个单位长度长度，得抛物线yx22x1，求：b与c的值。4、 在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线答案：1、选B 2、 3、抛物线yx22x1，配方得 由题抛物线的图象向左平移2个单位长度长度。再向上平移3个单位长度长度，得到，可知向右平移2个单位长度长度。再向下平移3个单位长度长度，得到，即，整理成一般式为。 所以。4、画图略；由抛物线图象向下平移2个单位长度长度得到抛物线。（五）根据二次函数图象判断的正负符号例6. 如右图所示二次函数图象，则判断的符号。解析：由图可知，抛物线的开口方向向上，所以； 由对称轴在轴的右侧，可知，又，所以； 抛物线与轴交于负半轴，所以。例7、已知二次函数的图象如图所示，对称轴是，则下列结论中正确的是（） 解析：由图可知，抛物线的开口方向向上，所以； 由对称轴在轴的右侧，可知，又，所以，所以B错误； 抛物线与轴交于正半轴，所以。 由上可知，则A错误；因为，所以，所以，则C错误；由对称轴为直线，可知，则D正确答案：例8、下列图象中，当ab0时，函数yax2与yaxb的图象是( ) 解析：因为ab0，所以同号。A图中抛物线开口向上，则，直线经过一、三、四象限，所以，故A错；B图中抛物线开口向上，则，直线经过一、二、四象限，所以，故B错；C图中抛物线开口向下，则，直线经过一、三、四象限，所以，故C错；D 图中抛物线开口向下，则，直线经过二、三、四象限，所以，故D正确。所以选D。前思后想：1、解决此类问题要运用数形结合的方法，解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状、对称轴、特殊点的关系。2、总结的正负符号，的符号看抛物线开口方向；的符号，可以通过对称轴和的符号来确定，对称轴在轴的右侧异号，对称轴在轴的左侧同号；的符号，看图象与轴的交点在正负半轴。牛刀小试：1、已知二次函数的大致图象如图所示，那么函数图象不经过（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限第3题图第2题图第1题图2、如图所示是二次函数图象的一部分，图象过A点（3,0），二次函数图象对称轴为，给出四个结论：；，其中正确结论是 （ ） A、 B、 C、 D、3、如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为直线x1给出四个结论：b24ac；2ab=0；abc=0；abc0其中正确结论是（）A、B、C、D、OxyOxyOxyOxyABCD4、在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）答案：1、选A 2、选B 3、选B 4、选A【课后作业】1.填表:函数开口方向顶点坐标对称轴函数的最值当x= 时,y最( )值= 当x= 时,y最( )值= 当x= 时,y最( )值= 当x= 时,y最( )值= 当x= 时,y最( )值= 2.抛物线的对称轴是_3.抛物线的顶点坐标 （）（6，1）、（-6，1）、（6，-1）、（-6，-1）4.已知二次函数的与的部分对应值如下表：013131则下列判断中正确的是（ ）A抛物线开口向上 B抛物线与轴交于负半轴C当4时，0 D方程的正根在3与4之间5.请选择一组你喜欢的的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：开口向下，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小这样的二次函数的解析式可以是6、抛物线可以由抛物线向 方向平移 个单位长度，再向 方向平移 个单位长度得到。7抛物线的图象开口_，对称轴是_，顶点坐标为_，当x=_时，y有最_值为_8、用配方法把化为的形式为y ，其开口方向_，对称轴为_，顶点坐标为_。9若二次函数的图象如图1所示，则a的值是_图1图2 10如图2，解析式为（ ）A、 B、 C、 D、11函数与y=（a0）在同一直角坐标系的图象可能是（ ）12二次函数y=mx2+m2的图象的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范 围 Am2 Bm2 C0m2 Dm013.抛物线与轴交于点（1）求出的值并画出这条抛物线；（2）求它与轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）取什么值时，抛物线在轴上方？（4）取什么值时，的值随值的增大而减小？14、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位长度，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标。15、已知抛物线与直线相交于点（1）求抛物线的解析式；（2）请问（1）中的抛物线经过怎样的平移就可以得到的图象？（3）设抛物线上依次有点，其中横坐标依次是，纵坐标依次为，试求的值参考答案：1、填表:函数开口方向顶点坐标对称轴函数的最值向下（0，0）轴所在的直线当x= 0 时,y最(大)值= 0 向上（0，-2）过点（0，-2）且平行于轴的直线当x= 0 时,y最(小)值= -2 向下（-2，0）过点（-2，0）且平行于轴的直线当x=-2 时,y最(大)值= 0 向上（1，-2）过点（1，-2）且平行于轴的直线当x= 1 时,y最(小)值= -2 向下(1，1)过点(1，1)且平行于轴的直线当x= 1 时,y最最(大)值= 1 2、 3、D 4、D 5、答案不唯一，只要满足对称轴是，6、左；5；上；2. 7、向下；轴所在的直线 ；（0，-3） ；0 ；大 ；-3。8、 ；向下 ；过点（1，）且平行于轴的直线。9、-1 10、C 11、A 12、B13、（1）由抛物线与轴交于，得抛物线为图象略（2）由，得抛物线与轴的交点为，抛物线顶点坐标为（3）由图象可知：当时，抛物线在轴上方（4）由图象可知：当时，的值随值的增大而减小14、（1）设二次函数解析式为，因为顶点为，所以又因为二次函数图象过点，所以，解得，所以该二次函数的解析式（2）将该二次函数图象向右平移3个单位长度，可使平移后所得图象经过坐标原点； 平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标为（2，0）。15、（1）点在直线上，把代入，得求得抛物线的解析式是（2）顶点坐标为把抛物线向左平移3个单位长度长度得到的图象，再把的图象向下平移1个单位长度长度得到的图象来源:学+科+网（3）由题意知，的横坐标是连续偶数，所以的横坐标是，纵坐标为所对应的纵坐标依次是第三讲 二次函数与一元二次方程【问题探索】王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中（m）是球的飞行高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m（1）请求出球飞行的最大水平距离。（2）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式答案：（1）令，得： 解得：， 球飞行的最大水平距离是8 m （2）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10 m抛物线的对称轴为，顶点为 设此时对应的抛物线解析式为 又点在此抛物线上， 解得： 【新课引入】提问：1、二次函数与轴的交点坐标是什么？答案：二次函数与x轴的交点坐标。令，即 解得：所以二次函数与x轴的交点坐标为和2、一解元二次方程答案： 解： 解得，由此可知：当时，即，也就是说，是一元二次方程的一个根。 同样，当时，即，也就是说，是一元二次方程的另一个根。总结：一般地，如果二次函数的图象与轴有两个公共点、，那么一元二次方程有两个不相等的实数根、。 反之也成立。【总结归纳】一、二次函数图象与一元二次方程的关系一般地，二次函数的图象与一元二次方程的根有如下关系： 1、如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根； 2、如果二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点，那么一元二次方程有两个相等的实数根； 3、如果二次函数的图象与x轴没有公共点，那么一元二次方程没有实数根；二、二次函数与一元二次方程的关系 决定抛物线与x轴交点的个数 1、 抛物线与x轴有两个交点； 2、 抛物线与x轴只有一个交点；3、 抛物线与x轴没有交点。三、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 关系图表所示如下：判别式二次函数一元二次方程一元二次不等式或的解集图象与轴的交点坐标抛物线与x轴交于两点，且一元二次方程有两个不相等的实数根的解集为的解集为的解集为的解集为抛物线与x轴相切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两个相等的实数根的解集为的所有实数不等式无解不等式无解的解集为所有实数抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）的解集为所有实数的解集为所有实数不等式无解的解集为所有实数【精选例题】（一）二次函数与一元二次方程的关系例1、（1）抛物线与轴有个交点，因为其判别式0，相应二次方程的根的情况为（2）关于的二次函数的图象与轴有交点，则的范围是（）且且解析：（1）；没有实数根。（2）前思后想：在二次函数中，令，就得到一元二次方程的标准形式，所以一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点坐标。牛刀小试：1、关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时。2、函数（是常数）的图象与轴的交点个数为（）0121或2 3、已知二次函数（1） 若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围。（2） 若抛物线的顶点在x轴上，求k的取值。4、已知函数（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点；（2）若函数有最小值，求函数表达式答案：1、一；4 。 2、3、在一元二次方程中，（1）=当k5时，抛物线与x轴有两个不同的交点。（2）=，k=5时，抛物线的顶点在x轴上。4、（1），不论为何值时，都有，此时二次函数图象与轴有两个不同交点（2），或，所求函数式为或。（二）二次函数图象和一元二次方程的关系yxO图1例2. 二次函数的图象如图1所示，则的取值范围是（）A、3 B、3C、03D、03解析：观察图1，抛物线与轴有两个不同的交点根据二次函数与一元二次方程的转化关系，得一元二次方程有两个不相等的实数根0解得3又抛物线开口向上，0图2xyO13的取值范围是03，选D例3、已知二次函数的部分图象如图2所示，则关于的一元二次方程的解为解析：由图象得，抛物线对称轴是过点（1，0）且平行于轴的直线抛物线与轴一个交点的横坐标3设抛物线与轴另一个交点的横坐标为每对对称点到对称轴的距离相等，解得-1根据二次函数与一元二次方程的转化关系，得一元二次方程的解为-1和3前思后想：二次函数的图象与轴的交点个数可转化为一元二次方程的解的个数求解。牛刀小试：1、函数的图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ）A、 B、C、两根之和为负 图3D、两根之积为正 2、如图4所示，函数的图象与轴只有一个交点，则交点的横坐标图43、函数的图象如图所示，那么关于的一元二次方程的根的情况是（）3有两个不相等的实数根有两个异号的实数根有两个相等的实数根没有实数根答案：1、D2、3、（三）抛物线与直线的交点例4、已知关于的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与轴交于A、B两个不同的点。（1） 试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点；（2） 若A点坐标为，试求B点坐标；（3） 在（2）的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当取何值时，的值随值增大而减小？解析：（1） 对于关于的二次函数， 由于， 所以此函数的图象与轴没有交点。对于关于的二次函数，由于， 所以此函数的图象与轴有两个不同的交点。故图象经过A、B两点的二次函数为。（2） 将A（-1,0）代入，得。 整理得， 解得，或。 当 时，。令，得。解得。此时B点坐标是B（1，0）。 当时，。令，得。解得。此时B点坐标是B（3，0）。（3）时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为，所以当时，函数值随的值增大而减小； 时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为，所以当时，函数值随的值增大而减小。前思后想：1、 由来判断二次函数与轴是否有交点；2、 把A点坐标代入解析式，求出m，再解方程；3、 利用二次函数的性质，先找出对称轴。牛刀小试1、若抛物线与轴的一个交点是（-2，0），则另一个交点坐标是_。2、已知抛物线和直线，当m为何实数时，抛物线与直线有两个交点？答案：1、（4，0）2、令，整理得， 当抛物线与直线有两个交点时， 即， 所以m取任意实数，抛物线与直线都有两个交点（四）用图象法求一元二次方程的近似根例5.根据下列表格的对应值：x3.233.243.253.26y=0.060.020.030.09判断方程(a0，a，b，c为常数)一个解x的范围是（ ）.A3x3.23 B.3.23x3.24 C.3.24x3.25 D.3.25 x3.26 解析：本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系.由于二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的一个根,所以本题实际上确定抛物线与x轴交点横坐标的范围,观察表格的数据变化可知3.24x3.25时,抛物线与x轴有一个交点,所以方程(a0，a，b，c为常数)一个解x的范围是3.24x3.25. 选C。前思后想：本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解决问题的思路是通过表格观察函数值在什么范围内由负变正，这个范围就是对应的方程的根的范围.例6.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解解析：（1） 作图：作出抛物线和直线；（2） 判断：左边交点横坐标在-1与-2之间，另一个点横坐标在3与4之间；（3） 利用计算器进行探索：是方程的近似解；（4） 用求根公式来验证一下：对于方程，整理得，。 ，因而利用图象求得方程的近似解。前思后想：判断一元二次方程的解的范围,实质是判断相应的二次函数的图象与x轴交点的范围，正确理解二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键.牛刀小试：1、利用二次函数图象求一元二次方程的近似根。（精确到0.1）2、根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（）6.176.186.196.203、下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项中正确的是（）1.61.82.02.22.4-0.8.-0.54-0.200.220.72A、1.61.8 B、1.82.0 C、2.02.2 D、2.22.4答案：1、画图略，；2、本题以图表的形式给出信息，探求一元二次方程的一个解的范围，根据表格提供的信息，在6.18到6.19之间一定有一个x的值，使0，因为一元二次方程的解是二次函数图象与x轴交点的横坐标，所以方程的一个解的范围是，故答案为C。3、C（五）二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系例7. 解不等式。解析：解法一： 设， 它大致图象如右图所示，观察图象可知：当时，抛物线在轴下方，即， 所以不等式的解集时。 解法二：由原不等式得 设， 在同一坐标系中它们的大致图象如右图所示 得交点坐标为A（-1,1），B（2,4） 观察图象可知：当时，抛物线在直线下发，即， 所以不等式的解集时。前思后想：1、 用构造二次函