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第二节 函数及其表示【知识结构完形】知识体系内容体系1函数的定义：一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的 对应关系 ，使对于集合A中的 任意一个数,在集合B中都有 唯一确定的数与之对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作其中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的 定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的 值域。2映射的定义：一般地，设A、B是两个非空集合，如果按照某一个确定的 对应关系，使对于集合A中的 任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称为从集合A到集合B的一个映射。3分段函数：在其定义域中，对于自变量 的不同取值范围，对应关系不同的函数叫做分段函数。分段函数是用几个不同的部分表示的一个 完整函数，分段函数中的分段是相对于定义域而言的，它的实质是将定义域分成几段，各段的对应法则不完全一样4相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数5映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射，其特殊性在于，在中，A、B必须是非空数集6是关于的函数，一般情况下是一个变量；的一个特殊值，表示当时的函数值，是一个常量7求函数解析式的常用方法：待定系数法、换元法、解方程组法考试说明：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用（2）了解映射的概念（3）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数（3）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域（4）了解简单的分段函数，并能简单应用知识结构对应关系对应定义一一映射定义域值域列表法图像法解析法函数及其表示映射函数的概念函数的表示法【复习指导】1近几年的高考考查情况（1）从全国高考情况来看，本节知识是函数部分的基础，主要以考查函数的定义域、解析式为主，以函数或分段函数为背景，结合方程、不等式等知识，考查学生处理综合问题的能力，题型主要是选择题和填空题，也有可能把定义一种新运算作为考查方式（2）观察近几年的山东高考题，这部分主要以分段函数为背景结合方程、不等式等知识，考查学生分类讨论的思想和运算求解的能力2复习要求 本节需要1个课时；重点掌握的内容是函数的概念（函数的定义域、解析式）和分段函数复习时要准确把握函数的概念并能灵活应用.掌握一些求解析式的常用方法，并会使用解析式求函数值.主要掌握的方法是：换元法、凑配法、待定系数法等【直击训练】一、基础题过关1（理）设集合A和B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象11的原象是 （ ）A 2 B 3 C 4 D 5 1C 解析：由题意得故选C2（文理）函数的定义域为 （ ）A B C D2C解析：由选C3(理)函数满足，则这样的函数个数共有 （）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个3C 解析：利用列举法满足条件的函数有如下三个： 选C2BCAyx1O345612344(文理)如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则_ 40 解析：由图知5（理）已知的解析式为_5解析：备选：1函数的图象与直线交点的个数为（ ）A必有一个 B1个或2个 C至多一个 D可能2个以上C 解析：由函数的定义知选C2已知函数，则函数的定义域是（ ）A B C DC 解析：选C3已知函数的定义域为，则的定义域为 （ ） A B C DD 解析：由题意知选D4若 2 解析： 二、能力培养题型一：映射与函数的概念例1：（文理）已知函数，分别由下表给出123131123321则的解集为 （ ）A B C D 【解析】【答案】 C【点评】(1)本题主要考查函数的概念，解题时注意两个问题：一是对应法则是什么？二是的含义；(2)函数的概念高考主要考查两个问题：一是根据函数的三要素判断两个函数是否为同一个函数；二是考查对函数符号、映射概念、函数概念的理解。准确理解函数概念是解决函数概念问题的关键，函数是一种特殊的映射，对应法则、定义域、值域是构成一个函数的三要素变式：（） B解析：题型二：求函数的定义域问题例2： （1）求函数的定义域 （2）若函数的定义域为，求及的定义域【解析】（1）（2）函数的定义域为，.函数的定义域为.又由得，函数的定义域为.【点评】（1）函数的定义域是高考常考的一个重要知识点，求以解析式给出的函数定义域问题实际是转化为一个解不等式或解不等式组问题；表达式未知的函数（我们也称之为抽象函数）的定义域问题，除了注意函数定义域的定义外，还要注意对应关系所作用的对象的取值范围是不变的；（2）求函数定义域应遵循以下几条原则：分式的分母不为零；偶次根号下被开方式非负；在中底数；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；若是由几部分构成的，则应采用交集法；实际问题结合变量的实际意义来确定，等等；（3）函数的定义域一般应用集合或区间形式表示，在用区间表示时，要弄清区间端点的归属问题变式1：(文理)已知函数，则的定义域是 解析： 变式2：（理）若函数f(x) = 的定义域为R，则的取值范围为_题型三：求函数的解析式问题 例3：已知定义域为R的函数满足 （I）若，求;又若，求; （II）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式 【点评】本题主要考查抽象函数求值和求函数解析式问题：解题的主要方法是赋值法。变式：定义在上的函数满足（），则_，=_. 【解析】令，令；令，再令得 变式2：题型四：分段函数例5：（文理）函数，若则的所有可能值为_【解析】【答案】【点评】（1）由于f(x)是分段函数，先求出f（2）的值，再根据x的范围表示出f(a),从而求出a.（2）分段函数一直是函数命题的一个热点，每年必考，多以选择题和填空题的形式出现，也有时出现在解答题中，并和方程、不等式等知识联系起来，综合考查学生的各种能力。（）由于自变量在不同的取值范围解析式不同，故分段函数把几个基本初等函数综合起来考查，也能很好地考查分类讨论的思想。变式1：设（ ）A 0 B 1 C 2 D 3 解析f（f（1）f（2）1，选B变式2：已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）A B C D C 解析：依题意，有0a1且3a10，解得0a，又三、测试训练1(理)对集合A=1，2，3，从A到A的映射的个数是 （ ） A 3 B 6 C 9 D 27 D 解析：因为对于A的每一个元素都有三种对应，而映射又可以有相同的象，故选D（文）集合映射满足那么映射的个数是（ ） 4 5 6 7 D.解析：分两类，一类是a,b,c皆与0对应，即，共一个；另一类是一一对应，共六个，两类加在一起可知满足条件的映射共有7个.2（文理）下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A B C DA 解析：、C、D定义域不同3（文理）设函数则关于x的方程解的个数为（ ）A1B2C3D4C 解析：4（文理）已知f()=，则f (x)=（ ） A (1)2 B(1)2 C21 D21C解析：5（理）函数的定义域是 （ ）A B C DB 解析：由，故选B.6(文理)已知则不等式5的解集是 解析：7（文理）若函数则_.7.解析：，.8（理）对定义域分别是、的函数、，规定：函数（1）若函数，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为的函数，及一个的值，使得，并予以证明【解析】（1）（2）当若其中等号当x=2时成立，若其中等号当x=0时成立，函数（3）解法一令则于是解法二令，则于是备选题1已知函数，则的值为（ ）A B C D1 D解析：2函数的定义域是 （ ）A. B. C. D. D 解析：由得 故选D3函数的定义域是 解析：4.已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) 的最大值为15；(3) 的两根立方和等于17则f(x)的解析式是 解析：由题意设，5.设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有，求=_. 解析：法1：由，设，得，所以法2：令，得即又将用代换到上式中得ABCD6. 在边长为2的正方形ABCD的边上有动点M，从点B开始，沿折线BCDA向A点运动，设M点运动的距离为x，ABM的面积为S（1）求函数S=的解析式、定义域和值域； （2）求ff(3)的值【解析】（1）当时，S=x；当时，S=2；当时，S=6-x； 定义域是（0，6），值域是（0，2） (2) 7.已知函数且a为常数）在区间上有意义，求实数a的取值范围.解析：要使函数有意义，则有，而，即当时，函数的定义域为，又函数在区间上有意义，结合知.故实数a的取值范围为. 说明：此题若改为“已知函数且a为常数）的定义域为，求实数a的值或其取值范围”，结果会发生怎样的变化呢？事实上，这时就只能，从而.【宽乘高】把直接或间接地调用自身的函数称为递归函数。递归函数