湖南省新化县第四中学高中数学《1.1正弦定理和余弦定理》课件 新人教A版必修5.ppt

1 1正弦定理和余弦定理 1 1 1正弦定理 第一章解三角形 高中新课程数学必修 第一课时 问题提出 3 对于直角三角形 我们可利用上述原理进行有关计算 对于一般三角形中边和角的关系 我们需要建立相关理论进行沟通 这是一个有待探究的课题 2 三角形是最基本的几何图形 许多与测量有关的实际问题 都要通过解三角形来解决 如船在航行中测量海上两个岛屿之间的距离 飞机在飞行中测量一座山顶的海拔高度 在地面上测量顶部或底部不可到达的建筑物的高度 测量在海上航行的轮船的航速和航向等 正弦定理 知识探究 一 正弦定理的形成 思考2 将上述关系变式 边长c有哪几种表示形式 由此可得什么结论 思考3 可变形为 在锐角 abc中 该等式是否成立 为什么 思考4 若 c为钝角 是否成立 若 a为钝角 是否成立 若 b为钝角 是否成立 思考5 在任意三角形中 同理可得 因此有该连等式称为正弦定理 如何用文字语言描述正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦之比相等 知识探究 二 正弦定理的向量证明 思考2 若 a为锐角 过点a作单位向量i 使i 则向量i与 的夹角分别是什么 思考3 由可得什么结论 思考4 若 a为钝角 上述推理过程有什么变化 所得结论如何 思考5 若证明 应如何作单位向量i 思考 一般地 把三角形的三个角和它们的三条对边叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形 我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢 知识探究 三 正弦定理的应用 可以解决两类解三角形的问题 一类是已知两角和一边解三角形 另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形 理论迁移 例1在 abc中 已知a 45 b 60 a 42cm 解三角形 题型一已知两角一边 求其它元素 题型二已知两边及其中一边的对角 求其它元素 理论迁移 例2在 abc中 已知a 2cm b cm a 45 解三角形 例3在 abc中 已知b cm c 1cm b 60 解三角形 小结作业 1 三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 2 正弦定理的外在形式是公式 它由三个等式组成即 每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系 3 利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题 一类是已知两角和一边解三角形 另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形 对于第二类问题 要注意确定解的个数 作业 p4练习 1 2 1 1正弦定理和余弦定理 1 1 1正弦定理 第二课时 第一章解三角形 问题提出 1 正弦定理的外在形式和数学意义分别是什么 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦之比相等 2 在解三角形中 利用正弦定理可以解决哪两类问题 已知两角和一边解三角形 已知两边和其中一边的对角解三角形 3 在正弦定理中 有什么几何意义 利用正弦定理可以得到哪些相关结论 这需要我们作进一步了解和探究 加深对正弦定理的理性认识 正弦定理的拓展 3 在正弦定理中 3 在正弦定理中 探究 一 正弦定理的几何意义 3 在正弦定理中 3 在正弦定理中 思考2 如图 作 abc的外接圆 你能构造一个一条直角边长为a 其对角大小为a的直角三角形吗 思考3 设 abc的外接圆半径为r 则等于什么 思考4 如图 若 a为钝角 上述结论还成立吗 若 a为直角呢 探究 二 正弦定理的变式拓展 思考1 在三角形中有 大边对大角 原理 如何利用正弦定理进行理论解释 思考2 利用等比定理 正弦定理可作哪些变形 思考3 利用正弦定理如何求三角形的周长 思考4 设 abc的外接圆半径为r 则其面积公式可以作哪些变形 思考5 在 abc中 设 a的平分线交bc边于点d 则 角平分线定理 你能用正弦定理证明这个结论吗 理论迁移 例1在钝角 abc中 已知ab ac 1 b 30 求 abc的面积 例2在 abc中 已知 sinb sinc 且 abc的面积为 求c边的长 例3在 abc中 已知acosb bcosa 试确定 abc的形状 等腰三角形 例4在 abc中 已知 求角a的值 120 小结作业 1 正弦定理是以三角形为背景的一个基本定理 它不仅可以用来求三角形的边角值 而且可以在三角变换中实现边角转化 是解决三角形问题的一个重要工具 2 正弦定理的应用具有一定的灵活性 在处理三角形的边角关系时 利用a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc 可达到化边为角的目的 3 正弦定理不是万能的 如已知三角形的三边长 利用正弦定理就不能求出三个内角 因此我们还需要建立新的理论 欲知后事如何 且听下回分解 作业 p10习题1 1a组 2 b组 2 1 1正弦定理和余弦定理 1 1 2余弦定理 第一课时 第一章解三角形 问题提出 1 正弦定理的外在形式是什么 其数学意义如何 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦之比相等 2 若已知三角形的两边及其夹角或已知三边 能否用正弦定理解三角形 3 对于上述问题 需要建立一个新的数学理论才能解决 这是我们要研究的课题 余弦定理 探究 一 余弦定理的推导 思考1 根据平面几何中两个三角形全等的判定定理 确定一个三角形可以是哪些条件 边 角 边 角 边 角 边 边 边 思考2 在 abc中 已知边a b和角c 从向量的角度考虑 可以求出什么 c 思考3 c边的长即为 向量与 有什么关系 思考4 如何将转化为c与a b c的关系 思考5 根据上述推导可得 此式对任意三角形都成立吗 思考6 如图所示建立直角坐标系 点a b的坐标分别是什么 根据两点间的距离公式可得什么结论 a bcosc bsinc b a 0 思考7 通过类比 a2 b2分别等于什么 思考8 上述三个等式称为余弦定理 如何用文字语言描述余弦定理 三角形中任何一边的平方 等于其他两边的平方和 减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍 探究 二 余弦定理的变式 思考2 已知三角形的三边a b c 求三内角a b c 其计算公式如何 思考3 上述三个公式是余弦定理的推论 如何通过三边的大小关系判断 a是锐角 直角还是钝角 思考4 若已知边a b和角a 能直接用余弦定理求边c吗 思考5 结合正弦定理 可作什么变形 理论迁移 例2 在 abc中 已知a b c 解三角形 例1 在 abc中 已知b cm c cm a 75 解三角形 例3在 abc中 已知a b b 30 求边长c的值 例4已知 abc的周长为20 a 30 a 7 求这个三角形的面积 理论迁移 理论迁移 小结作业 1 余弦定理及其推论 把用 边 角 边 和 边 边 边 判定三角形全等的原理 从数量化的角度进行了刻画 使其变成了可以计算的公式 2 余弦定理的主要作用是已知两边一角求边 或已知三边求角 所得结论是唯一的 同时 利用余弦定理也可以实现边角转化 3 余弦定理及其推论共有六个基本公式 应用时要注意适当选取 有时可结合正弦定理求解 作业 p8练习 1 2 1 1正弦定理和余弦定理 1 1 2余弦定理 第二课时 知识整理 1 余弦定理的外在形式和数学意义分别是什么 三角形中任何一边的平方 等于其他两边的平方和 减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍 2 在三角形的六个基本元素中 已知哪三个元素可以解三角形 3 针对上述类型 分别用哪个定理求解为宜 已知一边两角 正弦定理 已知两边及夹角 余弦定理 已知两边及对角 正弦定理 已知三边 余弦定理 一边两角 两边一角 三边 应用举例 例1在 abc中 已知 sina sinc sina sinc sinb sinb sinc 求角a的值 120 例2在 abc中 已知a c 2b b 30 面积为 求b的值 例3在 abc中 已知c 30 求的值 例4在 abc中 求证