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第2课时正 余弦定理在三角形中的应用 1 掌握三角形的面积公式 2 会用正 余弦定理计算三角形中的一些量 1 本节的重点是三角形中的几何计算 2 利用正 余弦定理及三角函数公式解决一些综合题 在 ABC中 若已知AB的长度和AB边上的高 可以计算三角形的面积 若已知AB AC及角A 能计算 ABC的面积吗 三角形面积公式 acsinB bcsinA 答案 B 答案 B 3 在 ABC中 若A 60 b 16 S ABC 64 则c 答案 16 4 在 ABC中 已知角A B C的对边分别为a b c 且满足sinA tanB a b 1 cosA 求证 A C 题后感悟 求三角形的面积 要充分挖掘题目中的条件 转化为求两边及夹角正弦问题 要注意方程思想在解题中的应用 由题目可获取以下主要信息 要证明等式的左边是三角形的边的关系式 右边是三角形角的关系式 解答本题可通过正弦定理 余弦定理化边为角或化角为边 即可证明 题后感悟 三角形中的有关证明问题基本方法同三角恒等式的证明 但要注意灵活地选用正弦定理或余弦定理使混合的边 角关系统一为边的关系或角的关系 使之转化为三角恒等式的证明 或转化为关于a b c的代数恒等式的证明 并注意三角形中的有关结论的运用 2 在 ABC中 求证 c acosB bcosA a2 b2 在 ABC中 a b c分别为内角A B C的对边 且2asinA 2b c sinB 2c b sinC 若sinB sinC 1 试判断 ABC的形状 1 由正弦定理把角转化为边 由余弦定理求角 2 由正弦定理把边转化为角 求角 题后感悟 此类问题常以三角形为载体 以正 余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查 因此要掌握正 余弦定理 掌握三角函数的公式和性质 3 若本例中条件不变 问题改为 求sinB sinC的最大值 1 解三角形问题的几种类型在三角形的六个元素中 要知道三个 其中至少有一个为边 才能解该三角形 据此可按已知条件分以下几种情况 特别提醒 在用正弦定理求角 用余弦定理求边的时候常出现增解的情况 因此需根据三角形中边角的关系进行取舍 2 三角形形状的判断判断三角形的形状是解三角形问题中常见题型 其关键是实现边角互相转化 主要方法有两种 方法一 化角为边 利用正弦定理 余弦定理把所给条件中的角都转化为边 通过恒等变形 寻找边的关系 从而判断三角形的形状 方法二 化边为角 利用正弦定理 余弦定理把所给的条件中的边都化为角 通过三角变换 寻求角的值或角的关系 常见结论有 若cos A B 0 则角C是钝角 若cos A B 0 则角C是锐角 若cos A B 0 则角C是直角 有时已知中有边角混杂的式子 可以利用正弦定
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