第二章 基本初等函数.doc

第二章 基本初等函数1.正整数指数幂的运算性质：（手抄） 2.根式：在实数范围内正数的奇次方根是正 负数的奇次方根是负 零的奇次方根是零3.分数指数幂：（手抄）：4.根式化简：若根式内为数字式或字母式，一般考虑把根式变成分数指数幂计算，若实在不行则采取根式有理化或分母有理化。若根式中为字母数字混合式，一般采用构成完全平方的方法，去掉根式中根号，从而达到化繁为简的作用。函数模型之指数函数1. 含义：一般地，函数y=ax（a0且a1）叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R，值域为（0 ，+）2. 性质：必过特殊点（0 ，1），当底数a（0,1）时，单调性为减，当x0时，0ax1，x0时，ax1 当底数a（1，+）时，单调性为增，当x0时，0ax1，x0时，ax1。【注：指数函数值大小可叫“负异正同”，即当x为负值时，其函数值范围与a的范围相反】指数函数图象变换原则：例y=2x向左平移一格（单位长度）可得y=2（x+1），右为y=2（x-1），上为y=2x+1下为y=2x-1，称“左加右减” 函数图象y=2x与y=2-x关于y轴对称，y=2x与y=-2x关于x轴对称。指数函数y=ax与y=（1/a）x（a0且a1）关于y轴对称。画指数函数y=ax的图象要抓三个关键点，（1，a）（0,1）（-1，1/a）3.底数对指数函数图象的影响：决定图象升降：a1，上升，0a1，下降决定图象变化：按逆时针方向，越逆越大，且第一象限的底数比第二象限的底数大（意为增函数底数大于减函数），如图（0a3a41a2a1）4.通过性质比较两指数大小：底数相同，根据单调性比较。 底数不同，指数相同，指数大于0，底大越大，指数小于0，底大越小。 底指均不同时，找中间量进行比较（特别是0,1），再通过相关大小进行比较。5.指数函数概念：系数必须为1 底数要是唯一确定的值 指数位置上自变量是x，而非函数复合 底数大于0不等于1。【其如的不是指数函数，视为指数型函数】6.解指数函数不等式：基本方法为把不等式两边化为同底幂的形式，利用指数函数的单调性，脱去幂的形式（一般题型为解指数型函数定义域）例（手抄）：7.求指数型函数复合函数值域：y=af(x)型，先求f(x)的取值范围，再由指数函数单调性确定值域。 y= f(ax)型，用换元法令t=ax，再求y=f（t）的值域即可【注意元的定义域】例（手抄）：8.指数型函数的单调性：研究y=af(x)型的复合函数单调性用复合法，当a1时，y=af(x)的单调性与f（x）相同，当0a1时，两函数单调性相反。【注：指数型函数单调性一般使用作商证明，实在不行才用作差，注意考虑在R上取x1、x2的时候需分类讨论（1）x1x21 （2）1x1x2 两种情况研究y= f(ax)型的复合函数的单调性一般用换复法， 设t=ax，再由内函数t=ax与外函数y=f（t）的单调性进行确定。9.通过指数函数单调性比较两值大小与多值大小补充：看第4点，若两数底指均不同还可用以下方法：【先判定两数正负范围后，同范围则先判定底数大小，看单调性后找其中一个合适的数换为同底，指数与另一个数同指的比较后，进行中间量比较：例（手抄）：函数模型之对数函数1.对数的含义：y=log aN,其中a0且a1，且N02.常用对数和自然对数：常用对数：以10为底的对数，记作lgN或log10N 自然对数：以e为底的对数，记作lnN或log eN3.对数的特有结论：负数和零没有对数 log a1=0，log aa=1,log aan=n 对数恒等式：alog aN = N4.对数运算性质：在a0且a1，M0，N0的情况下，有以下性质：（手抄）5.换底公式：log aN = log bN /log ba 换底公式推论如下：（手抄）6.对数函数：y= log aX (a0且a1),定义域为（0，+），值域为R，必过特殊点（1,0）【注：当a1时，在（0，+）上是增函数，当0a1时，在（0，+）上是减函数】7.判断某一对数函数正负时或其他问题时（常用于选择题和填空题，大题不允许直接写，可判断再用其他方法解）的规律： 底真同 ，对数正，底真异，对数负【即当底数与真数范围相同时（0a1或a1）,对数为正数，反之为负数。8.底数对对数函数图象的影响：（0C1C21C3C4）在x轴上方，函数图象的底数从左到右由大到小递增（顺时针方向也可，越顺越大）9.对数函数的概念：真数必须是自变量而不是因变量 对数函数只有一个单项式，没有附带常数项 对数函数底数要为常数 对指函数中指数需为1，即系数为1 例：10.对数函数的性质：定义域：求定义域不等式组或方程组，时刻谨记真数大于0，底数大于0且1. 单调性：对于y=log a f(x)型函数，当a1时，u=f(x)与y=log u 单调性相同，当0a1时，单调性相反。 对于y=f(log aX)型函数，一般用复合法判断，即令t=log aX ,则只需要研究t=log aX 及y=f(t)的单调性即可。【注意：研究单调性前要密切注意函数的定义域，坚持“定义域优先”原则，换元后密切注意所换的元的定义域】 值域：解决对数型函数值域问题要考虑单调性，而最值问题，要利用换元法求解（构造二次函数与对数函数的复合函数），注意元的值域。单调性的运用：（比较对数大小）同底的对数函数通过单调性进行比较同真的利用倒数关系换成同底再比较单调性底真不同，找中间量（常为0或1），有时可找与该对数同底与另一个对数同真的数进行三者间接比较。完全不同（若法三解决不了），运用法则按底所需换成想要的两对数之和或之差，后用的其中一项与已知比较，再由差和得出。11.反函数： 原函数通过用因变量表示自变量的关系式，再用自变量与因变量位置对换，则能成立出原函数的反函数，且通过原函数的值域确定对应反函数的定义域，原函数的定义域确定对应反函数的值域。 【解分段函数反函数时，应分别求出每段的反函数后综合成一个函数即可】函数模型之幂函数1.幂函数的概念：一般地，函数y=xa叫做幂函数，a是常数，注：幂函数系数必须是1，且必须是单项式，自变量必须为x，而不是像y=（x+m）a这类型的函数。2.函数的性质（常见）: 3.五种常见幂函数图象： 图象：当a=1时，y=x是直线，a=0时，y=x0=1是直线，但不过（0,1），除上述特殊外，其他均曲线。 当a0时，恒过原点与（1,1）。【在第一象限内，当0a1时，曲线上凸，当a1时，曲线下凹。】 单调性：在（0，+）上，当a0，y=xa是增函数，a0，则y=xa是减函数 奇偶性：令a=q/p（其中p、q互质，p、qN+）就有：p、q同奇，则y=xa为奇函数，p奇q偶，则y=xa为偶函数由于互质，当p为偶时，q必定为奇数，则y=xa为非奇非偶函数。规律总结：当y=xa，a为正偶数，有:定义域为R，均过（0，0）(1,1)(-1,1) 在0,+）为增函数，（-，0为减函数（增在第一象限，减在第二象限） a越大，图象越靠近y轴（a1） 当y=xa，a为正奇数，有：定义域为R，均过（0,0）（1,1）（-1，-1） 在R上是增函数,x0,在第一象限，x0，在第三象限 a越大，图象越靠近y轴（a1）4.幂函数的凹、凸性：定义：图形向上凸的函数为凸