数学人教版九年级上册二次函数1.doc

26.3.4二次函数综合题1（参考答案与试题解析）一选择题（共8小题）1如图，RtOAB的顶点A（2，4）在抛物线y=ax2上，将RtOAB绕点O顺时针旋转90，得到OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A（，）B（2，2）C（，2）D（2，）解答：解：RtOAB的顶点A（2，4）在抛物线y=ax2上，4=a（2）2，解得：a=1解析式为y=x2，RtOAB的顶点A（2，4），OB=OD=2，RtOAB绕点O顺时针旋转90，得到OCD，CDx轴，点D和点P的纵坐标均为2，令y=2，得2=x2，解得：x=，点P在第一象限，点P的坐标为：（，2）故选：C2如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15，点B在抛物线y=ax2（a0）的图象上，则a的值为（）ABC2D解答：解：如图，连接OB，过B作BDx轴于D；则BOC=45，BOD=30；已知正方形的边长为1，则OB=；RtOBD中，OB=，BOD=30，则：BD=OB=，OD=OB=；故B（，），代入抛物线的解析式中，得：（）2a=，解得a=；故选B3如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动若点M、N的坐标分别为（1，2）、（1，2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（）A3B1C1D3解答：解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，此时的A点坐标为（1，0），当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），此时A点的坐标最小为（3，0），故点A的横坐标的最小值为3，故选A4下列图形中，阴影部分的面积为2的有（）个A4个B3个C2个D1个解答：解：y=x+2，当x=0，y=2，当y=0，x=2，S阴影部分=22=2；y=4x，当x=1，y=4，S阴影部分=14=2；y=x21，当x=0，y=1，当y=0，x=1，S阴影部分=12=1；y=，xy=4，S阴影部分=4=2；故阴影部分的面积为2的有 故选B5正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH设小正方形EFGH的面积为y，AE=x则y关于x的函数图象大致是（）A BCD解答：解：依题意，得y=S正方形ABCDSAEHSBEFSCFGSDGH=14（1x）x=2x22x+1，即y=2x22x+1（0x1），抛物线开口向上，对称轴为x=，故选C6如图，两条抛物线y1=x2+1，y2=与分别经过点（2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）A8B6C10D4解答：解：两解析式的二次项系数相同，两抛物线的形状完全相同，y1y2=x2+1（x21）=2；S阴影=（y1y2）|2（2）|=24=8，故选A7如图，二次函数y=x22x的图象与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足SAOP=3，则点P的坐标是（）A（3，3）B（1，3）C（3，3）或（3，1）D（3，3）或（1，3）解答：解：抛物线的解析式中，令y=0，得：x22x=0，解得x=0，x=2；A（2，0），OA=2；SAOP=OA|yP|=3，|yP|=3；当P点纵坐标为3时，x22x=3，x2+2x+3=0，=4120，方程无解，此种情况不成立；当P点纵坐标为3时，x22x=3，x2+2x3=0，解得x=1，x=3；P（1，3）或（3，3）；故选D8如图，点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（）AB CD解答：解：由题意可列该函数关系式：S=|m|2|m|=m2，因为点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，所以点A（m，n）在第一或三象限，又因为S0，所以取第一、二象限内的部分故选D二填空题（共6小题）9如图，矩形ABCD的长AB=6cm，宽AD=3cmO是AB的中点，OPAB，两半圆的直径分别为AO与OB抛物线y=ax2经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是cm2解答：解：由题意，得：S阴影=S半圆=（）2=（cm2）10如图，正方形ABCD边AB在x轴上，且坐标分别为A（1，0），B（1，0），若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转30后D点转到D位置，且D在抛物线上，则抛物线的解析式为y=（x+1）（x1）（或y=x2）解答：解：根据题意，可设该二次函数解析式为y=a（x+1）（x1）（a0），如图，过点D作DEx轴于点EA（1，0），B（1，0），AB=2四边形ABCD是正方形，AB=AD=2，DAB=90又由旋转的性质知，DAD=30，AD=AD=2，在直角AED中，AE=ADcos60=2=1，DE=ADsin60=2=，D（2，）点D在抛物线上，=a（2+1）（21），解得，a=，该二次函数解析式是：y=（x+1）（x1）（或y=x2）故答案是：y=（x+1）（x1）（或y=x2）11已知：如图，过原点的抛物线的顶点为M（2，4），与x轴负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQMA于点Q（1）抛物线解析式为y=x24x（2）若MPQ与MAB相似，则满足条件的点P的坐标为（，）、（，）解答：解：（1）过原点的抛物线的顶点为M（2，4），设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2+4，将x=0，y=0代入可得：4a+4=0，解得：a=1，抛物线解析式为：y=（x+2）2+4，即y=x24x；（2）PQMAMQP=MBA=90；若MPQ、MAB相似，那么需满足下面的其中一种情况：PMQ=AMB，此时MA为PMB的角平分线，如图；取点B关于直线MA的对称点C，则AC=AB=2，MC=MB=4，设点C（x，y），有：，解得（舍），点C的坐标为（，）；设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（2，4）、（，）得：，解得直线MP：y=x+联立抛物线的解析式，有：，解得，点P的坐标（，）；PMQ=MAB，如右图，此时MAD为等腰三角形，且MD=AD，若设点D（x，0），则有：（x+4）2=（x+2）2+（04）2，解得：x=1点D（1，0）；设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（2，4）、D（1，0）后，有：，解得：直线MP：y=x+联立抛物线的解析式有：，解得：，点P的坐标（，）综上，符合条件的P点有两个，且坐标为（，）、（，）故答案：（1）y=x24x；（2）（，）、（，）12如图，将2个正方形并排组成矩形OABC，OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上正方形EFMN的边EF落在线段CB上，过点M、N的二次函数的图象也过矩形的顶点B、C，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的关系式为y=x2+x+1解答：解：正方形的边长为1，OA=1+1=2，OC=1，点B（2，1）、C（0，1），正方形EFMN的两顶点M、N在抛物线上，根据二次函数图象的轴对称性，点M的横坐标为11=1=，纵坐标为1+1=2，点M（，2），设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所以，二次函数的关系式为y=x2+x+1故答案为：y=x2+x+113下列图形中阴影部分的面积相等的是（填序号）考点：二次函数综合题分析：首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系解答：解：直线y=x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=22=2；：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；：该抛物线与坐标轴交于：（1，0），（1，0），（0，1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=21=1；：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=xy=2=1；因此的面积相等，故答案为：14如图，平面直角坐标系xOy中，A（0，2），M经过原点O和点A，若点M在抛物线上，则点M的坐标为（，1），（，1）解答：解：A（0，2），M经过原点O和点A，AO=2，M在AO的垂直平分线上，垂直平分线解析式为y=1，两图象交点为：1=x2，解得：x=，点M的坐标为：（，1），（，1）故答案为：（，1），（，1）三解答题（共6小题）15如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x2+kx+k1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与ABC相似，请求出点D的坐标解答：解：（1）由x=0得y=0+4=4，则点C的坐标为（0，4）；由y=0得x+4=0，解得x=4，则点A的坐标为（4，0）；把点C（0，4）代入y=x2+kx+k1，得k1=4，解得：k=5，此抛物线的解析式为y=x2+5x+4，此抛物线的对称轴为x=令y=0得x2+5x+4=0，解得：x1=1，x2=4，点B的坐标为（1，0）（2）A（4，0），C（0，4），OA=OC=4，OCA=OACAOC=90，OB=1，OC=OA=4，AC=4，AB=OAOB=41=3点D在y轴负半轴上，ADCAOC，即ADC90又ABCBOC，即ABC90，ABCADC由条件“以A、C、D为顶点的三角形与ABC相似”可得CADABC，=，即=，解得：CD=，OD=CDCO=4=，点D的坐标为（0，）16如图，抛物线y=x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3（1）求tanDBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且DBP=45，求点P的坐标解答：解：（1）令y=0，则x2+3x+4=（x+1）（x4）=0，解得 x1=1，x2=4A（1，0），B（4，0）当x=3时，y=32+33+4=4，D（3，4）如图，连接CD，过点D作DEBC于点EC（0，4），CDAB，BCD=ABC=45在直角OBC中，OC=OB=4，BC=4在直角CDE中，CD=3CE=ED=，BE=BCCE=tanDBC=；（2）过点P作PFx轴于点FCBF=DBP=45，PBF=DBC，tanPBF=设P（x，x2+3x+4），则=，解得 x1=，x2=4（舍去），P（，）17如图，经过点A（0，6）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（2，0），C两点（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在ABC内，求m的取值范围；（3）在（2）的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围解答：解：（1）将A（0，6），B（2，0）代入y=x2+bx+c，得：，解得：，y=x22x6，顶点坐标为（2，8）；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m0）个单位长度得到新抛物线y1=（x2+1）28+m，P（1，8+m），在抛物线y=x22x6中易得C（6，0），直线AC为y2=x6，当x=1时，y2=5，58+m0，解得：3m8；（3）A（0，6），B（2，0），线段AB的中点坐标为（1，3），直线AB的解析式为y=3x6，过AB的中点且与AB垂直的直线的解析式为：y=x，直线y=x与y=（x1）28+m有交点，联立方程，求的判别式为：=6412（6m29）0解得：m当3m时，存在两个Q点，可作出两个等腰三角形； 当m=时，存在一个点Q，可作出一个等腰三角形；当m8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形18在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx22x与x轴正半轴交于点A，顶点为B（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）已知点C（0，2），直线AC与BO相交于点D，与该抛物线对称轴交于点E，且OCDBED，求m的值；（3）在由（2）确定的抛物线上有一点N（n，），N在对称轴的左侧，点F，G在对称轴上，F在G上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长最小时：求点F的坐标；设点P在抛物线上，在y轴上是否存在点H，使以N，F，H，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由解答：解：（1）y=mx22x=m（x）2，顶点B的坐标为（，）；（2）点C（0，2），OC=2设抛物线的对称轴与x轴交于点MMEy轴，AMEAOC，=，ME=OC=1OCDBED，OC=BE=2，BM=BE+ME=3，=3，m=；（3）由（2）得抛物线的解析式为y=x22x，其对称轴是直线x=3，A（6，0）点N（n，）在此抛物线上，=n22n，解得n1=1，n2=5点N在对称轴的左侧，n=1，N（1，）将点N向上平移1个单位得到N（1，），连结AN，与对称轴的交点即为所求点F在对称轴上将点F向下平移1个单位得到点G，连结NG，OF，可知此时得到的四边形ONGF的周长最小（由NF+AFAN，可得NG+OFNG+OF）设直线AN的解析式为y=kx+b，把N（1，），A（6，0）代入，得，解得，y=x点F是AN与对称轴是直线x=3的交点，F（3，）；N（1，），F（3，），设H（0，y）分两种情况讨论：）当NF为平行四边形的边时，FHNP，FH=NP如果NFHP为平行四边形，点F向左平移3个单位横坐标为0，点P的横坐标为13=2，当x=2时，y=x22x=（2）22（2）=，P（2，），N点先向左平移3个单位，再向上平移（）=7个单位到点P，H点纵坐标为+7=，H点坐标为（0，）；如果NFPH为平行四边形，点N向左平移1个单位横坐标为0，点P的横坐标为31=2，当x=2时，y=x22x=2222=，P（2，），F点先向左平移1个单位，再向下平移（）=个单位到点P，H点纵坐标为=，H点坐标为（0，）；）当NF为平行四边形的对角线时，NF的中点坐标为（2，），HP的中点坐标为（2，），H（0，y），点P的横坐标为4，当x=4时，y=x22x=4224=，P（4，），H点纵坐标为2（）（）=，H点坐标为（0，）；综上所述，所求H点坐标为（0，）或（0，）或（0，）19如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（2，4），与x轴交于A、B两点，且A（6，0），与x轴交于点C（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由解答：解：（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，函数图象顶点为M（2，4），y=a（x+2）24，又函数图象经过点A（6，0），0=a（6+2）24解得a=，此函数的解析式为y=（x+2）24，即y=x2+x3；（2）点C是函数y=x2+x3的图象与y轴的交点，点C的坐标是（0，3），又当y=0时，有y=x2+x3=0，解得x1=6，x2=2，点B的坐标是（2，0），则SABC=|AB|OC|=83=12；（3）假设存在这样的点，过点P作PEx轴于点E，交AC于点F设E（x，0），则P（x，x2+x3），设直线AC的解析式为y=kx+b，直线AC过点A（6，0），C（0，3），解得，直线AC的解析式为y=x3，点F的坐标为F（x，x3），则|PF|=x3（x2+x3）=x2x，SAPC=SAPF+SCPF=|PF|AE