《相似三角》要点回顾与考点分析.doc

相似图形相似图形 要点回顾与考点透视要点回顾与考点透视 告诉你一个事实 给我一块巴掌大的玉石 我能在上面雕刻出古典名著 红楼梦 也 许你会觉得太离谱了 也许你会瞠目结舌 那样的话所写的字该有多小啊 这太难了 但 我可以借助于放大镜 其实在放大镜下的玉石和实际的玉石只是大小不同 然而形状却完全 相同 你看这是多么神奇啊 为了能弄清问题的本质 让我和同学们一起走进相似的图形世 界吧 希望同学们能感兴趣 一 知识网络一 知识网络 二 要点回顾二 要点回顾 1 在同一单位下 两条线段的长度的比叫做这两条线段的比 求线段的比时 两条线 段的长度单位一定要统一 不过在同一单位下的线段长度的比与选用的单位又无关 在四条线段中 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比 那么这四条线段叫做 成比例线段 简称比例线段 就是说在四条线段 a b c d 中 如果 a 和 b 的比等于 c 和 d 的比 那么 这四条线段叫做成比例线段或简称比例线段 2 式子 b a d c 或 a b c d 叫做比例式 即比例式是由两个比值相等的比用等号连 接而成的 并且在比例式 b a d c 或 a b c d 中 a b c d 称为比例的项 其中 a d 叫做比例外项 b c 叫做比例内项 d 叫做第四比例项 特别地 若比例中两个比例内 项相等时 我们把这一项叫做另外两项的比例中项 即若 a b c d 则 b 叫做 a c 的 比例中项 比例的基本性质是 如果 a b c d 那么 ad bc 比例的基本性质反过来也成立 即 如果 ad bc 那么 a b c d ad 0 特别地 如果 a b b c 那么 b2 ac 反过 来也有如果 b2 ac 那么 a b b c bc 0 3 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC AC BC 且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项 对应边成比例 对应角相等 的两个多边形是相似多边形 相似三角形的识 别方法和性质 线段的比相似图形相似三角形 相似图形知识的应用图形的放大与缩小 黄金分割 比例的基本性质 叫做把线段 AB 黄金分割 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 此时还有 2 15 AB AC 即 AC AB 0 618 1 黄金分割在自然 社会 生活等多方面有着重要的应用 同学们在复习 时应注意理解 4 对应角相等 对应边成比例的三角形 叫做相似三角形 其中对应边的比叫做相似比 相似比应讲究一个顺序性 5 识别两个三角形相似常有以下几种方法 定义法 对应角相等 对应边成比例的 两个三角形相似 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这 两个三角形相似 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例 并且 这两条边的夹角也对应相等 那么这两个三角形相似 如果一个三角形的三条边与另一 个三角形的三条边对应成比例 那么这两个三角形相似 平行于三角形一边的直线截其 它两边 或两边的延长线 截得的三角形与原三角形相似 特别地对于直角三角形相似 除了运用一般地三角形相似的判定方法外 还有其特殊 的判定方法 即 如果一个直角三角形的一个锐角与另一个直角三角形的一个锐角边对 应相等 那么这两个直角三角形相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一 个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 直角三角 形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似 6 相似三角形有以下几个重要性质 相似三角形的对角相等 对应边成比例 相 似三角形对应线段的比等于它们的相似比 即相似三角形对应边的比 对应中线 对应角 平分线 对应高 对应周长的比都等于相似比 相似三角形的对应面积的比等于相似比 的平方 7 利用相似三角形的有关知识可以测量一些建筑物的高度 如测量旗杆的高度 方法 1 利用太阳光的影子 即如图 1 让一名同学站立于旗杆的影子的末端 D 处 测 出旗杆影长 BD 再测出这名同学的高度 C 和影长在 BD 由于此时 ABD CDE 即可 求出旗杆高 AB E C 图 1 A B D 图 2 D C E A B 图 3 D C M A B 方法 2 利用标杆 即如图 2 选一名同学作为观测者 在观测者与旗杆之间的地面上 直立一根高度适当的标杆 当旗杆的顶部 标杆的顶端与人的眼睛恰好在一条直线上时 分别测出观测者的脚到标杆底部的距离 DE 和到旗杆底部的距离 BE 再测出标杆的高 CD 利用相似三角形的知识即可求出旗杆的高 AB 方法 3 利用镜子的反射 即如图 3 选一名同学作为观测者 在观测者与旗杆之间的 地面上平放一面镜子 在镜子上做一个标记 当观测者看到旗杆的顶端在镜子中的像与镜 子上的标记重合时 测出观测者的脚到镜子的距离 DM 和旗杆底部到镜子的距离 BM 再 测出观测者的高 CD 由于 AMB CMD 易得 AMB CMD 即可求出旗杆高 AB 8 相似多边形的周长比等于它们的相似比 相似多边形的面积比等于它们的相似比的 平方 相似多边形对应对角线的比也等于它们的相似比 9 两个多边形不仅相似 而且对应顶点的连线相交于一点 像这样的相似图形叫做位 似图形 这个交点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 利用位似的方法 可以把一个多边形放大或缩小 在作位似变换时 可以把位似中心 取在多边形的外部 内部 多边形的边或顶点上 三 方法导引三 方法导引 1 比例的基本性质是比例式变形 求值 证明的重要依据 在比例式变形 求值 证 明中 引人参数 k 的方法能化繁为简 化难为易 2 灵活运用相似三角形的判定条件解决有关问题 关键是确定相似三角形 通常按下 列思路分析 若已有一组角相等 可再找另一组角相等 或者再找这组角的两边对应成 比例 若已有两组边对应成比例 可再找夹角相等 或者再找第三组边也对应成比例 难点 在于找准对应关系 一般地图形中的对顶角 公共角 同角 等角 的余角 或补角 相等 或者已知相等的两个角 可能是对应角 最大的边 角 的对角 边 可能是对应角 边 最小的边 角 的对角 边 可能是对应角 边 余下的第三对边 角 的对角 边 可 能是对应角 边 3 由待求的比例式可按如下步骤分析 横找三角形 竖找对应边 再找对应角 或也 可按 竖找三角形 横找对应边 再找对应角 的方法分析 找出待证的相似三角形 在应用上述方法无法解决时 可利用中间量 中间线段 中间比 中间积等 进行代 换 转化为容易解决的问题 四 考点解析四 考点解析 所选例题均出版 2009 年全国部分省市中考试卷 考点 1 线段成比例 例 1 上海市 如图 已知 AB CD EF 那么下列结论正确的是 A AD DF BC CE B BC CE DF AD C CD EF BC BE D CD EF AD AF 分析 由平行线分线段成比例的意义逐一对照即求 解 因为 AB CD EF 所以 AD DF BC CE 故应选 A 说明 由平行线写出的成比例线段时 一定要对照图形 按照一定的顺序进行 切不 可以随便乱写一通 从而造成错误 考点 2 黄金分割 例 2 孝感市 美是一种感觉 当人体下半身长与身高的比值越接近 0 618 时 越给人 一种美感 如图 某女士身高 165cm 下半身长 x 与身高 l 的比值是 0 60 为尽可能达到好 的效果 她应穿的高跟鞋的高度大约为 A 4cm B 6cm C 8cm D 10cm 分析 若设出穿的高跟鞋的高度为 acm 由条件可先求出 x 的值 进而利用黄金分割 的意义列式求解 解 若设出穿的高跟鞋的高度为 acm 因为某女士身高 165cm 下半身长 x 与身高 l 的比值是 0 60 所以 165 x 0 60 解得 x 0 60 165 又由黄金分割的意义 得 xa la 0 618 即 0 60 165 165 a a 0 618 解得 a 8 故应选 C 说明 求解本题时除了要能灵活运用黄金分割的概念外 还必须弄清楚各个量的意义 不能弄错 考点 3 相似三角形的性质 例 3 凉山州 已知 ABC A B C 且 S ABC S A B C 1 2 则 AB A B AB DC EF 分析 已知两个三角形相似 且知道面积之比 要求对应边的比 于是可利用相似三 角形的性质使线段之比转化成面积比即可求解 解 因为 ABC A B C 且 S ABC S A B C 1 2 所以 ABC A B C S S A A 2 AB A B 1 2 即 AB A B 1 2 所以 AB A B 1 2 说明 本题是逆用相似三角形的性质求解 考点 4 相似三角形的判定 例 4 滨州市 如图所示 给出下列条件 B ACD ADC ACB AC CD AB BC AC2 AD AB 其中单独能够判定 ABC ACD 的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 分析 利用相似三角形的判定 结合图形特征求解 解 由相似三角形的条件 并由图形特征可知 B ACD ADC ACB AC2 AD AB 都能单独判定 ABC ACD 故应 选 C 说明 求解此类问题一定要注意从图形中及时发现隐含条件 如 本题中的 A 是两个 三角形的公共角 考点 5 相似三角形的实际应用 例 5 陕西省 小明想利用太阳光测量楼高 他带着皮尺来到一栋楼下 发现对面墙 上有这栋楼的影子 针对这种情况 他设计了一种测量方案 具体测量情况如下 如示意图 小明边移动边观察 发现站到点 E 处时 可以使自己落在墙上的影子与这 栋楼落在墙上的影子重叠 且高度恰好相同 此时 测得小明落在墙上的影子高度 CD 1 2m CE 0 8m CA 30m 点 A E C 在同一直线上 已知小明的身高 EF 是 1 7m 请你帮小明求出楼高 AB 结果精确到 0 1m A C D B A F D C B E G H 分析 要求楼高 AB 由太阳光所成影子的特点 可通过辅助线构造出三角形 加上人 和大楼都垂直于地面 可得到相关的三角形相似 从而列式求解 解 过点 D 作 DG AB 分别交 AB EF 于点 G H 则 EH AG CD 1 2 DH CE 0 8 DG CA 30 FH EF EH 1 7 1 2 0 5 因为 EF AB 所以 DHF DGB 所以 FH BG DH DG 即 0 5 BG 0 8 30 解之 得 BG 18 75 所以 AB BG AG 18 75 1 2 19 95 20 0 答 楼高 AB 约为 20 0 米 说明 本题是利用相似三角形的知识解决生活中的高度测量问题 求解时应通过适当 的辅助线将问题及时转化 从而运用相似三角形的性质列式求解 考点 6 相似多边形 例 6 济宁市 如图 在长为 8cm 宽为 4cm 的矩形中 截去一个矩形 使得留下的 矩形 图中阴影部分 与原矩形相似 则留下矩形的面积是 A 2cm2 B 4cm2 C 8cm2 D 16cm2 分析 依题意 原矩形的面积等于 8 4 32 cm2 留下的矩形长刚好是原矩形的宽 即两个矩形的相似比等于 4 8 此时 要求阴影部分的面积 利用相似多边形的面积比等 于相似比的平方求得 解 设图中阴影部分的面积为 xcm2 因为两个矩形相似 所以 32 x 2 4 8 解得 x 8 故应选 C 说明 研究相似多边形时 应注意哪是对应边 哪是对应角 否则就容易出现错误 考点 7 图形的位似 例 7 宁德市 如图 ABC 与 DEF 是位似图形 位似比为 2 3 已知 AB 4 则 DE 的长为 C O D E F A B 分析 利用位似图形对应边的比等于位似比列式求解 解 因为 ABC 与 DEF 是位似图形 位似比为 2 3 所以 AB DE 2 3 而 AB 4 所以 4 DE 2 3 解得 DE 6 说明 本题考查位似图形 解题时 可通过观察图形结合所给数据和位似比直接计算 结果 考点 8 动点与图形的相似 例 8 上海市 已知 ABC 90 AB 2 BC 3 AD BC P 为线段 BD 上的动点 点 Q 在射线 AB 上 且满足 AB AD PC PQ 如图 1 所示 1 当 AD 2 且点 Q 与点 B 重合时 如图 2 所示 求线段 PC 的长 2 在图 1 中 联结 AP 当 AD 3 2 且点 Q 在线段 AB 上时 设点 B Q 之间的距 离为 x APQ PBC S S y 其中 S APQ表示 APQ 的面积 S PBC表示 PBC 的面积 求 y 关于 x 的函数解析式 并写出函数定义域 3 当 AD AB 且点 Q 在线段 AB 的延长线上时 如图 3 所示 求 QPC 的大小 分析 1 由题意 结合图形容易知道 D 45 进而求解 2 从 APQ PBC S S y 出发 可引进参数 将这两个三角形的面积都用 k 来表示 从而求解 3 易得 Rt ABD Rt EPB 进而得到 Rt PQF Rt PCE 于是可得 QPC 90 解 1 如图 2 因为 Rt ABD 中 AB 2 AD 2 所以 PQ PC AD AB 1 D 45 所以 PQ PC 即 PB PC 过点 P 作 PE BC 则 BE 1 2 BC 3 2 A D P CB Q 图 1 DA P C B Q 图 2 图 3 C A D P B Q F F EEE 而 PBC D 45 所以 PC PB 2 23 2 在图 1 中 过点 P 作 PE BC 于点 E PF AB 于点 F 因为 A PEB 90 D PBE 所以 Rt ABD Rt EPB 所以 EB EP AD AB 3 2 2 3 4 设 EB 3k 则 EP 4k PF EB 3k 所以 S BPC 1 2 BC PE 1 2 3 4k 6k S APQ AQ AB S APB 2 2 x 1 2 AB PF 2 2 x 1 2 2 3k 23 2 xk 所以 y APQ PBC S S 12 23 k xk 4 2x 函数定义域为 0 x 2 3 答 90 证明 在图 3 中 过点 P 作 PE BC 于点 E PF AB 于点 F 因为 A PEB 90 D PBE 所以 Rt ABD Rt EPB 所以 EB EP AD AB 所以 PQ PC AD AB EB PE PF PE 所以 Rt PQF Rt PCE 所以 FPQ EPC 所以 EPC QPE FPQ QPE 90 说明 本题意在考查对等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角 形相似的判定等知识的理解与运用 相似考点例析相似考点例析 相似变换是图形的一种变换 是初中数学中最基础 最重要的一部分内容 也是中考 数学中的重要内容 为帮助大家了解中考试题的动向 熟悉中考数学试题中的相似图形的 题型 以便更好的做好相似图形的学习 本文选取部分中考数学试题加以浅析 供同学们 学习时参考 一 比例线段一 比例线段 例 1 在比例尺为 1 200 的地图上 测得 A B 两地间的图上距离为 4 5 cm 则 A B 两地间的实际距离为 m 分析 比例尺 图上距离 实际距离 解 设 A B 两地间的实际距离为 xcm 由题意得 4 5 x 1 200 解得 x 900cm 9m 二 相似多边形的性质二 相似多边形的性质 例 2 如图所示 一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的 矩形 ABCD 沿 EF 对开 后 再把矩形 EFCD 沿 MN 对开 依次类推 若各种开本的矩形都相似 那么等于 AB AD A 0 618 B C D 2 2 2 2 分析 开 表示的是矩形的面积 已知两个矩形的面积 根据相似多边形的面积比等 于相似比的平方求解 解 因为各种开本的矩形都相似 所以 解得 故选 B 2 4 8 AB AD 2 2 AB AD 三 相似三角形的性质三 相似三角形的性质 例 3 2010 福建南平 如图 在 ABC 中 D E 分别是 AB AC 上的点 DE BC 且 AD AB 则 ADE 的周长与 ABC 的周长的比为 1 3 A B C DE 分析 根据 DE BC 可知 ADE ABC 又已知 AD AB 所以两个三角形的相 1 3 似比为 然后根据相似三角形的周长的比等于相似比 得 ADE 的周长与 ABC 的周长 1 3 的比 1 3 解 因为 DE BC 所以 ADE ABC 又因为 AD AB 所以 ADE 与 ABC 的 1 3 相似比为 所以 ADE 的周长与 ABC 的周长的比 1 3 1 3 四 相似三角形的判定四 相似三角形的判定 例 4 2010 山东临沂 如图 添加一个条件使得 12 ADE ACB 分析 已知 所以 DAE CAB 如果添加 B D C E 可根据12 有两角对应相等的两个三角形相似 判定 也可以添加 可ADE ACB ADAE ABAC 根据 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定 ADE ACB 解 答案不唯一 如 B D C E 等 ADAE ABAC 五 相似三角形的实际应用五 相似三角形的实际应用 例 5 2010 湖南衡阳 如图 已知零件的外径为 25mm 现用一个交叉卡钳 两条尺 长 AC 和 BD 相等 OC OD 量零件的内孔直径 AB 若 OC OA 1 2 量得 CD 10mm 则零件的厚度 x mm 2 1 E D C B A 分析 由题意可知 ODC OBA 然后哩相似三角形的性质求解零件的厚度 解 因为 AC BD OC OD 所以 OA OB 所以 又因为 CDOC ABOA COD AOB 所以 ODC OBA 因为 OC OA 1 2 CD 10mm 所以 AB 20mm 六 位似六 位似 例 6 2010 广东茂名 如图 已知 与 是相似比为 1 2 的位似图形 OAB BOA 点 O 为位似中心 若 内一点 x y 与 内一点是一对对应点 则点OABp BOA p 的坐标是 p O B A BA y x 分析 因为 与 是相似比为 1 2 所以 与 的对应点的OAB BOAOAB BOA 横坐标之比和纵坐标之比都是 1 2 由此可得点的坐标 p 解 因为 与 是相似比为 1 2 的位似图形 且 内一点OAB BOAOAB x y 与 内一点是一对对应点 所以点的坐标是 2x 2y p BOA p p 相似三角形性质的考点例析相似三角形性质的考点例析 考点一 相似三角形的周长比等于它们的相似比考点一 相似三角形的周长比等于它们的相似比 例 1 已知 ABC 与 A B C 中 C C 90 A A BC 6 AC 8 A B 20 则 A B C 的周长为 解析 在 Rt ABC 中 斜边 AB 10 ABC 的周长 6 8 10 24 又 62 82 C C 90 A A ABC A B C 两个相似三角形的周长比等于它 们的相似比 则 A B C 的周长 2 ABC 的周长 ABC的周长 A B C 的周长 AB A B 10 20 1 2 48 考点二 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方考点二 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方 例 2 如果两个相似三角形的对应边的边长分别为 3cm 和 6cm 那么它们的面积比是 A 1 2 B 1 4 C 1 D 2 1 2 解析 两个相似三角形的相似比 3 6 1 2 两个相似三角形的面积比 12 22 1 4 故答案应为 B 考点三 根据两个相似三角形的相似比 求三角形的边长考点三 根据两个相似三角形的相似比 求三角形的边长 例 3 如图 在 ABC 中 若 DE BC DE 4cm 则 BC 的长为 AD DB 1 2 A 8cm B 10cm C 11cm D 12cm 解析 DE BC ADE ABC 由相似三角形的性质可知 DE BC AD AB BC 3DE 3 4cm 12cm 故答案为 D AD AD DB AD AD 2AD 1 3 考点四 考点四 利用相似三角形的性质解决实际问题利用相似三角形的性质解决实际问题 例 4 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图 点 O 处放一水平的平面 镜 光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处 已知 AB BD CD BD 且测得 AB 1 2 米 BO 1 8 米 DO 12 米 那么该古城墙 的高度是 C B A D E A B C DO P A 6 米 B 8 米 C 18 米 D 24 米 解析 反射角 COP 等于入射角 AOP 则 COD AOB 又 CD BD AB BD CDO ABO 90 CDO ABO 即 CD AB DO BO CD 1 2 米 8 米 故答案为 B 12米 1 8米 点拨 本题不仅涉及数学知识 而且应用了平面镜的反射原理 不同学科间的相互综 合是今后考题的重要形式之一 相似图形相似图形 考点分析考点分析 考点一 比例尺与线段的比考点一 比例尺与线段的比 例 例 在比例尺为 1 1000 000 的地图上 小明家距离县城为 6cm 那么小明家与县城 的实际距离是多少千米 分析分析 比例尺是图上距离与实际距离的比 这里要特别注意两种距离的单位要统一 解解 设实际距离为 xcm 则 x 6000 000 60 千米 61 1000000 x 练习练习 小华家距离省城 300 千米 在比例尺 1 5000 000 地图上的距离是多少厘米 答案答案 考点二 坐标变化与线段比考点二 坐标变化与线段比 例 例 在直角坐标系中 求 的值 分析分析 如果把一条线段的两个端点的横坐标与纵坐标都乘以一个数 那么线段的长 就扩大了 倍 解解 因为线段 两个端点的坐标都是 两个端点坐标的 倍 所以 从而 练习练习 在直角坐标系中 已知 求 的值 答案答案 考点三 比例线段及其性质考点三 比例线段及其性质 例 例 已知 求的值 23 234 abc abc 分析分析 先求出 的值 再运用参数法 用 表示 解 解 已知的等式三边同时除以 的最小公倍数 得 643 abc 设 则 23 234 abc abc 689 121212 kkk kkk 23 36 练习 练习 已知 求的值 326 xyz 2xy xyz 答案答案 例 例 如图 已知 求 2 3 ADAE DBEC 和 AD AB EC AC 分析分析 由可设 2 3 ADAE DBEC 从而 和 可分别用 来 表示 解解 设 从而 故 AD AB 22 55 a a EC AC 33 55 b b 练习练习 如图 中 求 的值 ADAE DBEC AD AB EC AC 答案答案 考点四 黄金分割考点四 黄金分割 例 例 已知点 是线段 上一点 试判断点 是 51 2 35 2 不是线段 的黄金点 为什么 分析分析 欲知点 是不是 的黄金点 只须判断 或 与 的比值是不是等于 黄金比 因此 应先求出 的长 51 2 解解 因为 51 2 35 2 图 所以 故点 是 的黄金点 AC AB 51 2 练习 练习 已知 都是线段 的黄金分割点 求 答案答案 5 考点五 多边形相似的识别考点五 多边形相似的识别 例 例 如图 为直角三角形 斜边 上的高 则图中共有几个三角形 这些三角形相似吗 为什么 你能从中得出什么结论 分析分析 要判定三角形是否相似 先从最简单的 两角对应 相等 入手 寻找是否存在两个角对应相等 解 解 在 与 中 显然有 为公共角 故 同理 因此 图中三个三角形都相似 由此可得这样的结论 直角三角形斜边上高分三角形 所得两个直角三角形与原三角形都相似 练习练习 如图 且 找出图中所有相似的三角形 并指出各 自的相似比 答案答案 相似比为 1 2 相似比为 相 1 3 似比为 2 3 例 例 如图 已知矩形 顶点的坐标分别为 现把各点的坐标乘以 得到矩形 试说明矩形 矩形 分析分析 欲证矩形 矩形 只须证明四个角对应相等 四条边 对应成比例 由于 与 都是矩 形 所以四个角都是直角 从而对应角相等已 图 图 图 满足 解解 由已知 点 的坐标分别是 故有 因此 矩形 矩形 1 2 OAABBCCO ODDEEFFO 练习练习 已知 是矩形 的 和 的中点 如果要使矩形 矩 形 的值应为多少 答案答案 2 考点六 高度的测量考点六 高度的测量 例例 如图 是学校的旗杆 小明带着一条卷尺和一面镜子 他想借助这两样工具测 量旗杆的高 请你为他设计测量的方法 分析分析 由于旗杆的顶端不能到达 故可利用相 似形对应边成比例来进行测量 解解 首先把镜子放在一个与旗杆底部有一定距 离 且在同一水平线上的点 的位置 然后量一下 旗杆底部 到 的距离 的长 记为 米 接下来沿着 这条射线从镜子 往后退 退到点 使站在点 处恰好能够从镜子 里看到旗杆的顶端 然后量一下点 到 的距离 记为 米 最后再量一下眼部 到地面上的高 的长 记为 米 此时在 和 中 它们除了都有一个直角 外 根据光