湖南省益阳市2015-2016学年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

2015年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1 值是（ ） A B C D 2在等差数列 ， a1+a5+2，则它的前 9 项和 于（ ） A 9 B 18 C 36 D 72 3下列有关命题的说法中正确的是（ ） A若命题 “p q”为假，则 “p q”也为假 B命题 “R， x + 0”的否定是 “x R， x2+x+1 0” C命题 “若 ，则 x=1”的否命题为 “若 ，则 x 1” D命题 “若 x=y，则 逆否命题为真命题 4某班全体学生参加一次测试 ，将所得分数依次分组： 20， 40）， 40， 60）， 60， 80），80， 100），绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于 60 分的人数是 18，则该班的学生人数是（ ） A 50 B 54 C 60 D 64 5已知向量 ， 满足： | |=3， | |=2， | + |=4，则 =（ ） A B 10 C D 3 6执行如图所示的程序框图，则输出的结果 s 是（ ） A 15 B 105 C 126 D 945 7抛物线 x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（ ） A B C 1 D 8函数 y=2x+）的部分图象如图所示，则 ， 可以取的一组值是（ ） A =2， = B =2， = C =2， = D =1， = 9在区间 0， 2上随机取一个数 x，则事件 “”发生的概率为（ ） A B C D 10以 q 为公比的等比数列 ， 0，则 “ “q 1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 11已知 O 是坐标原点，点 A（ 1， 1），若点 M（ x， y）为平面区域 内的一个动点，则 的取值范围是（ ） A 1， 0 B 1， 2 C 0， 1 D 0， 2 12在 R 上定义运算 ： x y=x（ 1 y）若不等式（ x a） （ x+a） 1 对任意实数 x 成立，则（ ） A 1 a 1 B 0 a 2 C D 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 .、共 20 分 . 13中心医院体检中心对某学校高二年级的 1200 名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为 150 的样本，已知女生比男生少抽了 10 人，则该年级的女生人数是 14已知 a 0， b 0，且 + =1，则 最小值为 15已知椭圆 的离心率为 ，则双曲线 的离心率为 16已知直线 y=k（ x+3）（ k 0）与抛物线 C： 2x 相交于 A， B 两点， F 为 C 的焦点，若 |3|则 k 的值等于 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知 f（ x） =+ （ 1）求 f（ x）的最小正周期和最大值； （ 2）求 f（ x）的单调递减区间 18某厂通过技术改造降低了产品 A 对重要原材料 G 的消耗，如表提供了该厂技术改造后生产产品 A 的过程记录的产量 x（吨）与原材料 G 相应的消耗量 y（吨）的几组对照数据：x 3 4 5 6 y 1）请在图 a 中画出如表数据的散点图； （ 2）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ； （ 3）试根据（ 2）求出的线性回归方程，预测生产 50 吨产品 A 需要消耗原材料 G 多少吨？参考公式：最小二乘法求线性回归方程 系数公式： = ， = 19如图，在四棱锥 P ， 平面 0， C=2，D=4 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 C A 的余弦值 20在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 b（ =2 （ 1）求角 A； （ 2）若 a=2 ， c=2，求 面积 S 21已知数列 ， 2 an+a =4， 它的前 n 项和，且 等比数列 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 bn=数列 前 n 项和 22在平面直角坐标系 ，动点 P 到点 A（ 1， 0）及点 B（ 1， 0）的距 离之和为 4，且直线 l： y= 与 P 点的轨迹 C 有两个不同的交点 M， N （ 1）求 k 的取值范围； （ 2）设轨迹 C 于 y 轴的负半轴交于点 Q，求 面积的最大值及对应的 k 值 2015年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1 值是（ ） A B C D 【分析】 原式利用诱导公式化简，计算即可得到结果 【解答】 解： 2 360+30） = 故选： A 【点评】 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键 2在等差数列 ， a1+a5+2，则它的前 9 项和 于（ ） A 9 B 18 C 36 D 72 【分析】 由于数列 等差数列，且 a1+a5+2，可得 32，解得 它的前 9 项和 =9 【解答】 解：由于数列 等差数列，且 a1+a5+2， 32，解得 则它的前 9 项和 =96 故选； C 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 3下列有关命题的说法中正确的是（ ） A若命题 “p q”为假，则 “p q”也为假 B命题 “R， x + 0”的否定是 “x R， x2+x+1 0” C命题 “若 ，则 x=1”的否命题为 “若 ，则 x 1” D命题 “若 x=y，则 逆 否命题为真命题 【分析】 A根据复合命题的真假关系 进行判断 B根据含有量词的命题的否定进行判断 C根据否命题的定义进行判断 D根据逆否命题的等价性进行判断 【解答】 解： A若命题 “p q”为假，当 p 假 q 真，满足条件，但 “p q”为真，故 A 错误，B命题 “R， x + 0”的否定是 “x R， x2+x+1 0”，故 B 错误， C命题 “若 ，则 x=1”的否命题为 “若 1，则 x 1”，故 C 错误， D若 x=y，则 原命题正确，则逆否命题也为真命题故 D 正确， 故选： D 【点评】 本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，含有量词的命题的否定，否命题以及四种命题的真假关系，比较基础 4某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组： 20， 40）， 40， 60）， 60， 80），80， 100），绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于 60 分的人数是 18，则该班的学生人数是（ ） A 50 B 54 C 60 D 64 【分析】 根据频率分布直方图，求出得分低于 60 分的频率，再求该班的学生人数 【解答】 解：由频率分布直方图知，得分低于 60 分的频率为 （ 20= 低于 60 分的人数是 18， 该班的学生人数是 =60 故选： C 【点评】 本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图求出频率，是基础题 5已知向量 ， 满足： | |=3， | |=2， | + |=4，则 =（ ） A B 10 C D 3 【分析】 根据向量的数量积运算和向量模即可求出 【解答】 解： | |=3， | |=2， | + |=4， | + |2=| |2+| |2+2 =16， 2 =3， | |2=| |2+| |2 2 =9+4 3=10， | |= ， 故选： A 【点评】 本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题 6执行如图所示的程序框 图，则输出的结果 s 是（ ） A 15 B 105 C 126 D 945 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 i=1 时，不满足退出的循环的条件，执行循环后， t=3， S=1， i=2； 当 i=2 时，不满足退出的循环的条件，执行循环后， t=5， S=15， i=3； 当 i=3 时，不满足退出的循环的条件，执行循环 后， t=7， S=105， i=4； 当 i=4 时，满足退出的循环的条件， 故输出的 S 值为 105， 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答 7抛物线 x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（ ） A B C 1 D 【分析】 根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点 F（ 1， 0）由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为 y= x，化成一般式得： ，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离 【解答】 解： 抛物线方程为 x 2p=4，可得 =1，抛物线的焦点 F（ 1， 0） 又 双曲线的方程为 且 ，可得 a=1 且 b= ， 双曲线的渐近线方程为 y= ，即 y= x， 化成一般式得： 因此，抛物线 x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d= = 故选： B 【点评】 本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题 8函数 y=2x+）的部分图象如图所示，则 ， 可以取的一组值是（ ） A =2， = B =2， = C =2， = D =1， = 【分析】 由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式 【解答】 解：根据函数 y=2x+）的部分图象，可得 = ，求得 =2， 再根 据五点法作图可得 2 +=0，求得 = ， 故选： A 【点评】 本题主要考查由 y=x+）的部分图象求函数的解析式，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，属于基础题 9在区间 0， 2上随机取一个数 x，则事件 “”发生的概率为（ ） A B C D 【分析】 先求出不等式 对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可 【解答】 解： 0 x 2， ， 0 x 或 x 2， 则对应的概率 P= = ， 故选： B 【点评】 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键 10以 q 为公比的等比数列 ， 0，则 “ “q 1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分 也不必要条件 【分析】 根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】 解：在等比数列中，若 则 0， 1，即 q 1 或 q 1 若 q 1，则 即 立， “ “q 1”成立的必要不充分条件， 故选： B 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式和性质是解决本题的关键 11已知 O 是坐标原点，点 A（ 1， 1），若点 M（ x， y）为平面区域 内的一个动点，则 的取值范围是（ ） A 1， 0 B 1， 2 C 0， 1 D 0， 2 【分析】 由约束条件作出可行域，由数量积的坐标表示可得目标函数 z= x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， A（ 0， 2）， 联立 ，解得 B（ 1， 1）， 由 z= = x+y，得 y=x+z， 由图可知，当直线 y=x+z 分别过 A和 B 时， z 有最大值和最小值，分别为 2， 0， 的取值范围是 0， 2 故选： D 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 12在 R 上定义运算 ： x y=x（ 1 y）若不等式（ x a） （ x+a） 1 对任意实数 x 成立，则（ ） A 1 a 1 B 0 a 2 C D 【分析】 此题新定义运算 ： x y=x（ 1 y），由题意（ x a） （ x+a） =（ x a）（ 1 x a），再根据（ x a） （ x+a） 1，列出不等式，然后把不等式解出来 【解答】 解： （ x a） （ x+a） 1 （ x a）（ 1 x a） 1， 即 x a2+a+1 0 任意实数 x 成立， 故 =1 4（ a2+a+1） 0 ， 故选 C 【点评】 此题是一道新定义的题，要遵守命题人定的规则，另外此题主要还是考查一元二次不 等式的解法 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 .、共 20 分 . 13中心医院体检中心对某学校高二年级的 1200 名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为 150 的样本，已知女生比男生少抽了 10 人，则该年级的女生人数是 560 【分析】 根据分层抽样的定义，建立比例关系即可 【解答】 解：设该校的女生人数 x，则男生人数为 1200 x， 抽样比例为 = ， 女生比男生少抽了 10， x= （ 1200 x） 10， 解得 x=560， 故答案为： 560 【点评】 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键 14已知 a 0， b 0，且 + =1，则 最小值为 8 【分析】 利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： a 0， b 0，且 + =1， 1 ，化为 8，当且仅当 a=2， b=4 时取等号 则 最小值为 8 故答案为： 8 【点评】 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 15已知椭圆 的离心率为 ，则双曲线 的离心率为 【分析】 先由题设条件求出椭圆的 a， c 的关系，从而得到 a 和 b 的关系，再利用双曲线的 a 和 b 关系求出双曲线的离心率 【解答】 解：由题设条件可知椭圆的离心率为 ， 不妨设 a=2 c=1， b= 或设 b=2 c=1， a= 当 a=2 c=1， b= 时， 双曲线的 a=2 b= c= 则双曲线的离心率为 e= 当 b=2 c=1， a= 时， 双曲线的 b=2 a= c= 则双曲线的离心率为 e= 故答案为： 【点评】 本题是双曲线的椭圆的综合题，难度不大，只要熟练掌握圆锥曲线的性质就行 注意要考虑双曲线的焦点坐标的两种情况 16已知直线 y=k（ x+3）（ k 0）与抛物线 C： 2x 相交于 A， B 两点， F 为 C 的焦点，若 |3|则 k 的值等于 【分析】 设 A（ B（ 联立方程化为 612） x+9，（ k 0）可得根与系数的关系，利用焦点弦与抛物线的定义可得： |， |，利用|3|联立解出即可 【解 答】 解：设 A（ B（ 联立直线 y=k（ x+3）（ k 0）与抛物线 C： 2x， 化为 612） x+9，（ k 0） x1+ 6， |3| |， |， =2（ ） ， 化为 联立 ，解得 k= 故答案为： 【点评】 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知 f（ x） =+ （ 1）求 f（ x）的最小正周期和最大值； （ 2）求 f（ x）的单调递减区间 【分析】 （ 1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（ x） = ，利用周期公式可求最小正周期，由正弦函数的图象和性质即可得解最大值 （ 2）由 2 2x 2， k Z，即可解得 f（ x）的单调递减区间 【解答】 （本题满分为 10 分） 解：（ 1） f（ x） =+ = = ， f（ x）的最小正周期 T= =，最大值为： ； 5 分 （ 2） f（ x） = ， 由 2 2x 2， k Z，解得 f（ x）的单调递减区间为： ， ，k Z 10 分 【点评】 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查 18某厂通过技术改造降低了产品 A 对重要原材料 G 的消耗，如表提供了该厂技术改造后生产产品 A 的过程记录的产量 x（吨）与原材料 G 相应的 消耗量 y（吨）的几组对照数据：x 3 4 5 6 y 1）请在图 a 中画出如表数据的散点图； （ 2）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ； （ 3）试根据（ 2）求出的线性回归方程，预测生产 50 吨产品 A 需要消耗原材料 G 多少吨？参考公式：最小二乘法 求线性回归方程 系数公式： = ， = 【分析】 （ 1）以 x 为横坐标， y 为纵坐标描点； （ 2） 根据线性回归系数公式计算回归系数，得出回归方程； （ 3）把 x=50 代入线性回归方程得出估计值 【解答】 解：（ 1）作出散点图如下： （ 2） = = = = =3 9， =32+42+52+62=86， = = = y 关于 x 的线性回归方程为 = （ 3）当 x=50 时， =50 答：预测生产 50 吨产品 A 需要消耗原材料 【点评】 本题考查了线性回归方程的求解，属于基础题 19如图，在四棱锥 P ， 平面 0， C=2，D=4 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 C A 的余弦值 【分析】 （ 1）推导出 此能证明 平面 （ 2）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 C A 的余弦值 【解答】 证明：（ 1） 平面 面 0， C=2， D=4， 35， 5， 0， C=A， 平面 解：（ 2）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， A（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， 4）， C（ 2， 2， 0）， D（ 0， 4， 0）， =（ 2， 2， 4）， =（ 0， 4， 4）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 y=1，得 =（ 1， 1， 1）， 平面 法向量 =（ 1， 0， 0）， 设二面角 C A 的平面角为 ， 则 = = 二面角 C A 的余弦值为 【点评】 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 20在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 b（ =2 （ 1）求角 A； （ 2）若 a=2 ， c=2，求 面积 S 【分析】 （ 1）由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得 ，可得 A= ； （ 2）由正弦定理可得 由同角三角函数基本关系可得 由两角和的正弦公式可得 入三角形的面积公式计算可得 【解答】 解：（ 1） 在 b（ =2 由正弦定理可得 =2 =2 =2 + ） =2 2 =2 解得 ， A= ； （ 2） a=2 ， c=2， A= ， C A， 由正弦定理可得 = = ， = ， A+C） = = + = 面积 S= =3 【点评】 本题考查正余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属中档题 21已知数列 ， 2 an+a =4， 它的前 n 项和，且 等比数列 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 bn=数列 前 n 项和 【分析】 （ 1）通过对 2 an+a =4 变形可知（ 2 =（ 2 2+进而分 或 = 两种情况讨论即可； （ 2）通过（ 1）可知 或 n 1，当 时直接利用等比数列的求和公式计算即得结论；当 n 1 时可知 2n 1） 3n，进而利用错位相减法计算即得结论 【解答】 解：（ 1） 2 an+a =4， （ 2 =（ 2 2+ 2 或 =2+ 或 =， 当 时，显然满足题意； 当 = 时，由 等比数列， 可知 =42），解得： ， +2（ n 1） =2n 1； 综上所述， 或 n 1； （ 2）由（ 1）可知 或 n 1， 当 时， bn=3n， =3n+1 3；