2016年河南省焦作市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年河南省焦作市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|x1， B=x|2x 0，则 AB=（ ） A（ 0， 1） B 1， 1 C（ 0， 1 D 1， 1） 2 i 是虚数单位，复数 的虚部是（ ） A 0 B 1 C 1 D i 3已知点 A（ 0， 1）， B（ 3， 2），向量 =（ 4， 3），则向量 =（ ） A（ 7， 4） B（ 7， 4） C（ 1， 4） D（ 1， 4） 4在递增的等差数列 ， a1+， 12，则公差 d 为（ ） A B C 或 D 7 或 7 5若函数 y=a|x|（ a 0，且 a1）的值域为 y|y1，则函数 y=x|的图象大致是（ ） A B CD 6关于统计数据的分析，有以下几个结论： 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化； 绘制频率分布直方图时，各小长 方形的面积等于相应各组的组距； 一组数据的方差一定是正数； 如图是随机抽取的 200 辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在（ 50， 60）的汽车大约是 60 辆 则这 4 种说法中错误的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 第 2 页（共 21 页） 7若实数 x， y 满足 ，则 z=|x+2y 3|的最小值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8函数 f（ x）的图象向左平移一个单位长度 ，所得的图象与函数 y=2y 轴对称，则 f（ x） =（ ） A y=2x 1 B y= C y= D y=2x+1 9函数 f（ x） =2ax+a 在区间（ ， 1）上有最小值，则函数 在区间（ 1，+）上一定（ ） A有最小值 B有最大值 C是减函数 D是增函数 10一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为 ，则 h=（ ） A B C D 11已知 别是椭圆 （ a 0， b 0）的左、右焦点， P 为椭圆上的一点，若 0，且 三边长成等差数列，则椭圆的离心率是（ ） A B C D 12设定义在 R 上的函数 f（ x）是最小正周期为 2的偶函数， f（ x）是 f（ x）的导函数当x0， 时， 0 f（ x） 1； 当 x（ 0， ）且 x 时，（ x ） f（ x） 0则函数 y=f（ x） 3， 3上的零点个数为（ ） A 4 B 5 C 6 D 8 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 13在 ，已知 a=8， B=60， C=75，则 b 等于 14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S 的值为 第 3 页（共 21 页） 15已知数列 足 ， ， =3，则当 n 为偶数时，数列 前 n 项和 16已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为 的球与该棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是 三、解答题（本大题共 5小题，满分 60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17在 ， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边， 2a b） （ ）求角 C 的大小； （ ）设函数 f（ x） = ，当 f（ B） = 时，若 a= ，求 18如图所示，在四棱锥 P ， 平面 D， E 是 中点， F 是 的点且 上的高 （ ）证明： 平面 （ ）若 ， ， ，求三棱锥 E 体积 19近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织现把该组织的成员按年龄分成 5 组：第 1 组第 4 页（共 21 页） 20， 25），第 2 组 25， 30），第 3 组 30， 35），第 4 组 35， 40），第 5 组 40， 45，得到的频率分布直方图如图所示，已知第 2 组有 35 人 （ 1）求该组织的人数； （ 2）若从第 3， 4， 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第 3， 4， 5 组各抽取多少名志愿者？ （ 3）在（ 2）的条件下，该组织决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第 3 组至少有一名志愿者被抽中的概率 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的左焦点为 F（ c， 0），离心率为 ，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 圆 x2+截得的线段的长为 c， | （ ）求直线 斜率； （ ）求椭圆的方程 21已知函数 f（ x） =a 0）， e 为自然对数的底数 （ ）若过点 A（ 2， f（ 2）的切线斜率为 2，求实数 a 的值； （ ）当 x 0 时，求证： f（ x） a（ 1 ）； （ ）在区间（ 1， e）上 1 恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在 22， 23， 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用2选修 4何证明选讲 22如图所示，已知 O 相切， A 为切点， 割线，弦 交于 E 点， F 为 一点，且 F （ ）求 证： A、 P、 D、 F 四点共圆； （ ）若 D=12， B=3，求 长 第 5 页（共 21 页） 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 + ） = a，曲线 （ 为参数， 0） （ ）求 直角坐标方程； （ ）当 两个公共点时，求实数 a 的取值范围 选修 4等式选讲 24已知 a 0， b 0， c 0，函数 f（ x） =|x+a|+|x b|+c 的最小值为 4 （ 1）求 a+b+c 的值； （ 2）求 b2+最小值 第 6 页（共 21 页） 2016年河南省焦作市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5分，共 60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|x1， B=x|2x 0，则 AB=（ ） A（ 0， 1） B 1， 1 C（ 0， 1 D 1， 1） 【考点】 交集及其运算 【分析】 由题意求出集合 B，然后直接求出交集即可 【解答】 解：集合 A=x|x1， B=x|2x 0=x|0 x 2，则 AB=x|x1x|0 x2=（ 0， 1， 故选 C 2 i 是虚数单位，复数 的虚部是（ ） A 0 B 1 C 1 D i 【考点】 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算 【分析】 把分子分母同乘分母的共轭复数 1 i，化简后虚部可求 【解答】 解： 所以复数 z 的虚部是 1 故选 B 3已知点 A（ 0， 1）， B（ 3， 2），向量 =（ 4， 3），则向量 =（ ） A（ 7， 4） B（ 7， 4） C（ 1， 4） D（ 1， 4） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 顺序求出有向线段 ，然后由 = 求之 【解答】 解：由已知点 A（ 0， 1）， B（ 3， 2），得到 =（ 3， 1），向量 =（ 4， 3）， 则向量 = =（ 7， 4）； 故答案为： A 4在递增的等差数列 ， a1+， 12，则公差 d 为（ ） A B C 或 D 7 或 7 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由题意列 关于首项和公差的方程组，求解方程组得答案 【解答】 解： 数列 等差数列，且 a1+， 12， ，即 ， 第 7 页（共 21 页） 解得： ，或 d= 数列为递增数列， d= 故选： A 5若函数 y=a|x|（ a 0，且 a1）的值域为 y|y1，则函数 y=x|的图象大致是（ ） A B CD 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 根据指数的图象和性质，可得 a 1，进而结合对数图象和性质及函数图象的对折变换法则可得答案 【解答】 解：若函数 y=a|x|（ a 0，且 a1）的值域为 y|y1， 则 a 1， 故函数 y=x|的图象大致是： 故选： B 6关于统计数据的分析，有以下几个结论： 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化； 绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； 一组数据的方差一定是正数； 如图是随机抽取的 200 辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在（ 50， 60）的汽车大约是 60 辆 则这 4 种说法中错误的个数是（ ） 第 8 页（共 21 页） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 频率分布直方图 【分析】 根据频率分布直方图的特征，结合方差的意义，对题目中的命题进行分析，判断命题是否正确即可 【解答】 解：对于 ，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变， 命题正确，因为方差反映一组数据的波动大小，整体变化不改变波动大小； 对于 ，绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距， 命题错误，频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率； 对于 ，一组数据的方差一定是正数， 命题错误，根据方差的计算公式 + + 得出方差是非负数； 对于 ，根据分布直方图得，时速在（ 50， 60）的汽车大约是 2000=60（辆） 所以，命题正确； 综上，错误的命题是 ，共 2 个 故选： B 7若实数 x， y 满足 ，则 z=|x+2y 3|的最小值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，令 t=x+2y 3，由线性规划知识求得 t 的范围，则 z=|x+2y 3|的最小值可求 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 第 9 页（共 21 页） 令 t=x+2y 3，化为 ， 由图可知，当直线 过点 O 时， t 有最小值为 3，过点 A（ 0， 1）时， t 有最大值为 1 z=|x+2y 3|的最小值为 1 故选： A 8函数 f（ x）的图象向左平移一个单位长度，所得的图象与函数 y=2y 轴对称，则 f（ x） =（ ） A y=2x 1 B y= C y= D y=2x+1 【考点】 函数的图象与图象变化 【分析】 根据函数图象的平移变换法则和对称变换法则 ，结合平移后的函数解析式，可得答案 【解答】 解： 函数 f（ x）的图象向左平移一个单位长度，所得的图象与函数 y=2y 轴对称， 函数 f（ x）的图象向左平移一个单位长度，所得是 y= 的图象， 函数 f（ x）的解析式为： y= ， 故选： B 9函数 f（ x） =2ax+a 在区间（ ， 1）上有最小值，则函数 在区间（ 1，+）上一定 （ ） A有最小值 B有最大值 C是减函数 D是增函数 【考点】 二次函数的性质；函数单调性的判断与证明 【分析】 先由二次函数的性质可得 a 1，则 = ，分两种情况考虑：若a0， a 0 分别考虑函数 g（ x）在（ 1， +）上单调性 【解答】 解： 函数 f（ x） =2ax+a 在区间（ ， 1）上有最小值， 对称轴 x=a 1 = 若 a0，则 g（ x） =x+ 2a 在（ 0， +），（ ， 0）上单调递增 若 1 a 0， g（ x） =x+ 2a 在（ ， +）上单调递增，则在（ 1， +）单调递增 综上可得 g（ x） =x+ 2a 在（ 1， +）上单调递增 故选 D 10一个几何体 的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为 ，则 h=（ ） 第 10 页（共 21 页） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何 体的体积，求出高 【解答】 解：三视图复原的几何体是底面为边长 5， 6 的矩形，一条侧棱垂直底面高为 h， 所以四棱锥的体积为： ，所以 h= 故选 B 11已知 别是椭圆 （ a 0， b 0）的左、右焦点， P 为椭圆上的一点，若 0，且 三边长成等差数列，则椭圆的离心率是（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 不妨设 | | | 2a | 2c 成等差数列，从而得到 | ，| ，由 0，得到 | =2此能求出椭圆的离心率 【解答】 解： 别是椭圆 （ a 0， b 0）的左、右焦点， P 为椭圆上的一点， 0，且 三边长成等差数列， 不妨设 | | | 2a | 2c 成等差数列， 2（ 2a | =|2c， | ， |2a = ， 0， |+|=4 又 |2a， |+|+2|4 第 11 页（共 21 页） | =2 整理，得 572， 7e 5=0， 解得 e= 或 e= 1（舍） 椭圆的离心率是 故选： D 12设定义在 R 上的函数 f（ x）是最小正周期为 2的偶函数， f（ x）是 f（ x）的导函数当x0， 时， 0 f（ x） 1； 当 x（ 0， ）且 x 时，（ x ） f（ x） 0则函数 y=f（ x） 3， 3上的零点个数为（ ） A 4 B 5 C 6 D 8 【考点】 导数的运算；函数奇偶性的性质 【分析】 由题意 x（ 0， ） 当 x（ 0， ） 且 x 时，（ x ） f（ x） 0，以 为分界点进行讨论，确定函数的单调性，利用函数的图形，画出草图进行求解，即可得到结论 【解答】 解： 当 x0， 时， 0 f（ x） 1， f（ x）为偶函数， 当 x 3， 3时， 0 f（ x） 1； 当 x（ 0， ） 且 x 时，（ x ） f（ x） 0， x0， 时， f（ x）为单调减函数； x ， 时， f（ x）为单调增函数， x0， 时， 0 f（ x） 1， 在 R 上的函数 f（ x）是最小正周期为 2的偶函数，在同一坐标系中作出 y= y=f（ x）草图象如下， 由图知 y=f（ x） 3， 3上的零点个数为 6 个， 故选： C 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 第 12 页（共 21 页） 13在 ，已知 a=8， B=60， C=75，则 b 等于 4 【考点】 正弦定理 【分析】 由 B 与 C 的度数求出 A 的度数，确定出 值，再由 a 的值，利用正弦定理即可求出 b 的值 【解答】 解： a=8， B=60， C=75，即 A=45， 由正弦定理 ， 得： b= = =4 故答案为： 4 14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S 的值为 2 【考点】 程序框图 【分析】 根据题意，模拟程序图的运行过程，找出输出 S 值的周期，即可得出输出的结果 【解答】 解：模拟程序框图的运行过程，如下； 开始 S=2， i=1； 第一次循环 S= 3， i=2； 第二次循环 S= ， i=3； 第三次循环 S= ， i=4； 第四次循环 S=2， i=5； 第五次循环 a= 3， i=6； a 的取值周期为 4，且跳出循环的 i 值为 2017=5044+1， 第 2015 次循环 S= ， i=2016； 第 2016 次循环 S=2， i=2017； 输出的 S=2 第 13 页（共 21 页） 故答案为： 2 15已知数列 足 ， ， =3，则当 n 为偶数时，数列 前 n 项和 （ 1） 【考点】 数列的求和 【分析】 通过递推公式及前两项的值可知数列 奇 数项构成以 1 为首项、 3 为公比的等比数列，偶数项构成以 2 为首项、 3 为公比的等比数列，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论 【解答】 解： ， ， =3， 数列 奇数项构成以 1 为首项、 3 为公比的等比数列， 偶数项构成以 2 为首项、 3 为公比的等比数列， 数列 1+成以 3 为首项、 3 为公比的等比数列， 又 n 为偶数， = （ 1）， 故答案为： （ 1） 16已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为 的球与该棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是 12 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】 求出球的半径，然后求解棱柱的底面边长与高，即可求解侧面积 【解答】 解：球的体积为： ，可得 = ， r=1， 棱柱的高为： 2，底面正三角形的内切圆的半径为： 1，底面边长为： 2 =2 ， 一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直 ，一个体积为 的球与该棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是： 6 2=12 三、解答题（本大题共 5小题，满分 60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17在 ， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边， 2a b） （ ）求角 C 的大小； （ ）设函数 f（ x） = ，当 f（ B） = 时，若 a= ，求 第 14 页（共 21 页） 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【分析】 （ ）由已知式子和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得 ，进而可得C= ； （ ）化简可得 f（ x） = x+ ） + ，结合 B 的范围可得 B= ，再由正弦定理可得 b= = ，代值计算可得 【解答】 解：（ ） 在 2a b） ， 2， 由正弦定理可得 2， 2B+C） = 约掉 得 ， 角 C= ； （ ）化简可得 f（ x） = = = x+ ） + ， f（ B） = B+ ） + = ， B+ ） =1，结合 B 的范围可得 B= ， 由正弦定理可得 b= = = =2 18如图所示，在四棱锥 P ， 平面 D， E 是 中点， F 是 的点且 上的高 （ ）证明： 平面 （ ）若 ， ， ，求三棱锥 E 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ I）取 点 G，连结 F，故四边形 平行四边形，于是 问题转化为证明 平面 可； 第 15 页（共 21 页） （ 平面 而 平面 是 距离为 ，代入棱锥的体积公式计算即可 【解答】 证明：（ I）取 点 G，连结 E， G 是 中点， 又 F， 四边形 平行四边形， 平面 面 D， G 是 中点， 又 面 面 B=A， 平面 平面 解：（ 平面 面 面 又 平面 S = E 是 中点， E 到平面 距离 h= = S h= = 19近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织现把该组织的成员按年龄分成 5 组：第 1 组20， 25），第 2 组 25， 30），第 3 组 30， 35），第 4 组 35， 40），第 5 组 40， 45，得到的频率分布直方图如图所示，已知第 2 组有 35 人 （ 1）求该组织的人数； （ 2）若从第 3， 4， 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第 3， 4， 5 组各抽取多少名志愿者？ 第 16 页（共 21 页） （ 3）在（ 2）的条件下，该组织决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第 3 组至少有一名志愿者被抽中的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 【分析】 （ 1）根据频数 =频率 样本容量，频率 =对应矩形面积，构造关于 n 的方程，解方程可得该组织的人数； （ 2）先计算出第 3， 4， 5 组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第 3， 4， 5 组各抽取多少名志愿者； （ 3）选求出这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者的基本事件总数和第 3 组至少有一名 志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案 【解答】 解：（ 1）由题意：第 2 组的人数： 35=5n，得到： n=100， 故该组织有 100 人 （ 2）第 3 组的人数为 00=30， 第 4 组的人数为 00=20， 第 5 组的人数为 00=10 第 3， 4， 5 组共有 60 名志愿者， 利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者，每组抽取的人数分别为： 第 3 组： ； 第 4 组： ； 第 5 组： 应从第 3， 4， 5 组中分别抽取 3 人， 2 人， 1 人 （ 3）记第 3 组的 3 名志愿者为 4 组的 2 名志愿者为 5 组的 1 名志愿者为 从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 共有 15 种 其中第 3 组的 3 名志愿者 少有一名志愿者被抽中的有： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 共有 12 种， 则第 3 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 第 17 页（共 21 页） 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的左焦点为 F（ c， 0），离心率为 ，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 圆 x2+截得的线段的长为 c， | （ ）求直线 斜率； （ ）求椭圆的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由离心率为 ，得 直线 方程为 y=k（ x+c），由此利用已知条件能求出直线 斜率 （ ）椭圆方程为 ，直线 方程为 y= （ x+c），联立，消去 y，得 35，由此利用弦长公式能求出椭圆的方程 【解答】 解：（ ）由离心率为 ，得 ，又由 a2=b2+ 设直线 斜率为 k（ k 0），则直线 方程为 y=k（ x+c）， 由已知有（ ） 2+（ ） 2=（ ） 2，解得 k= 直线 斜率为 （ ）由（ ）得椭圆方程为 ， 直线 方程为 y= （ x+c）， 两个方程联立，消去 y，得 35， 解得 x= 或 x=c， 点 M 在第一象限， M（ c， ）， 由 | = ，解得 c=1， 椭圆的方程为 21已知函数 f（ x） =a 0）， e 为自然对数的底数 （ ）若过点 A（ 2， f（ 2）的切线斜率为 2，求实数 a 的值； （ ）当 x 0 时，求证： f（ x） a（ 1 ）； 第 18 页（共 21 页） （ ）在区间（ 1， e）上 1 恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求函数的导数，根据函数导数和切线 斜率之间的关系即可求实数 a 的值； （ ）构造函数，利用导数证明不等式即可； （ ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论 【解答】 解答：（ I）函数的 f（ x）的导数 f（ x） = ， 过点 A（ 2， f（ 2）的切线斜率为 2， f（ 2） = =2，解得 a=4 （ ）令 g（ x） =f（ x） a（ 1 ） =a（ 1+ ）； 则函数的导数 g（ x） =a（ ） 令 g（ x） 0，即 a（ ） 0，解得 x 1， g（ x）在（ 0， 1）上递减，在（ 1， +）上递增 g（ x）最小值为 g（ 1） =0， 故 f（ x） a（ 1 ）成立 （ ）令 h（ x） = x，则 h（ x） = 1， 令 h（ x） 0，解得 x a 当 a e 时， h（ x）在（ 1， e）是增函数，所以 h（ x） h（ 1） =0 当 1 ae 时， h（ x）在（ 1， a）上递增，（ a， e）上递减， 只需 h（ x） 0，即 ae 1 当 a1 时， h（ x）在（ 1， e）上递减，则需 h（ e） 0， h（ e） =a+1 e 0 不合题意 综上， ae 1 请考生在 22， 23， 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用2选修 4何证明选讲 22如图所 示，已知 O 相切， A 为切点， 割线，弦 交于 E 点， F 为 一点，且 F （ ）求证： A、 P、 D、 F 四点共圆； （ ）若 D=12， B=3，求 长 第 19 页（共 21 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【