02讲 数学归纳法

02讲 数学归纳法 线性代数第第22讲数学归纳法（教材p.5-P.7）关键词数学归纳法数学归纳法数学归纳法又称有限归纳法.它是证明数学命题的一种常用方法.中学曾做过这样一道题，用数学归纳法证明证1?n时，公式 （11）的左边=1，右边.1)11(121?公式 （11）成立.现假设k n?时公式 （11）已成立，即用数学归纳法来论证数学命题，一般分两步来做:首先证明命题对1?n正确，这一步叫归纳基础;第二步，假设命题对正整数k n?已正确,从这一假设（又称归纳假设）出发，证明命题对1?k n也正确.这就证明了命题对一切正整数都成立.对一切正整数n都成立如下公式.)1n(n21n321+=+? （11）.)1(21321?k k k?当1?k n时，.)1()321()1(321?k k k k?由归纳假设)(1213+2+1+=+k k k?，因此1)1()1 (21)2()1 (21)1()1 (21)1(321?k kk kk k k kk?即当1?k n时，公式 （11）也成立，因而命题得证.(高斯的故事.50502100)1001(100992110110110110112991001009921?)现在，如果我们把公式 （11）的左端记为)(1nS,此时公式 （11）可写为有了公式 （11），自然想知道?n321S2222)n(2?结论是)2 (6)12)(1 (3212222)(2?n n nn Sn?公式 （22）是如何想出来的？正确否？怎么证？因为它涉及正整数n，一般是用数学归纳法来回答此问题.这里所说的归纳，就是由个别（或特殊）去发现一般.我们作如下观察，希望能找出)(2nS和)(1nS之间的联系)1 (21321)(1?n nn Sn?.304321,14321,521,112222222222?如果我们多算几项并列成下表3173153133113937351:SS2041409155301451:S3628211510631:S87654321:n)n (1)n (2)n (2)n(1似乎可以看出有下面的规律,312) (1)(2?nSSnn（这里只是对8,3,2,1?n成立）从而)2 (6)12()1 (312) (1)(2?nnnSnSn n对8,3,2,1?n是成立的.但对任意正整数n是否都成立？作业请用数学归纳法证明公式 （22）对任何正整数n都对.)(2nS知道了，能否利用归纳、类比的方法进一步探索出)(3nS与)(1nS的联系呢？这就是由个别（或特殊）去发现一般的思维方法.先作如下观察.)4321(1004321,)321(36321,)21(921,112333323332333+=+=+=+=似乎已经看出有如下十分有趣的规律虽然公式 （33）当4,3,2,1?n时都是对的，但不能由此就断定它对于一切正整数都对.此时我们就会想到用数学归纳法来证明公式 （33）的正确性.证我们已验证 （33）对4,3,2,1?n成立.设k n?时公式 （33）)(3nS2)(1nS? （33）已已成立，即有,2) (1)(3k kSS?则当1?k n时，有.)2)(1(21)2()1(41)1(4)1 (41)1 (4)1()1()1 (2)1 (12222232232) (13) (3)1(3+=+=+=+=+=+=+=kkkkSk kk kkk kkk kk Sk SS亦即式 （33）当1?k n时仍成立.由于已知式 （33）当1?n时成立，故知公式 （33）对一切正整数n均成立.注意有时归纳基础可能不从11开始.例例试证:当3?n时，.22nn?证这时归纳基础要从3?n开始，当3?n时,823?而,632=,68故有.3223?即命题对3?n成立（此为归纳基础）.假定k n?时有.22kk?然后讨论1?k n时的情形.222221kkkk?由假定,22kk?因此.2222kkkk?由于3?k时,22?k故.)1(22222?kkkk于是.)1(221?kk命题得证.高斯（Fredrich Gauss17771855）是当时德国最伟大的数学家.在德国，0