（试题 试卷 真题）专题56 菱形的性质【教师版】

专题56 菱形的性质【母题来源】2013年江苏苏州第26题（8分）【母题原题】如图， P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G（1）求证：APBAPD；（2）已知DF：FA1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y求y与x的函数关系式；当x6时，求线段FG的长 ，即与x的函数关系式为。当x6时，。 DGAB，DFGAFB。 ，即线段FG的长为5。1. 【2013年湖南株洲8分】已知四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F（1）求证：AOECOF；（2）若EOD=30，求CE的长【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，AO=CO，ADBC。OAE=OCF。在AOE和COF中，AOECOF（ASA）。（2）BAD=60，DAO=BAD=60=30。EOD=30，AOE=9030=60。AEF=180BODAOE=1803060=90。菱形的边长为2，DAO=30，OD=AD=2=1。菱形的边长为2，BAD=60，高。在RtCEF中，。2. 【2013年云南昭通7分】如图，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN（1）求证：四边形AMDN是平行四边形（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，NDAM。NDE=MAE，DNE=AME。点E是AD中点，DE=AE。在NDE和MAE中，NDE=MAE，DNE=AME，DE=AE，NDEMAE（AAS）。ND=MA。四边形AMDN是平行四边形。（2）AM=1。理由如下：四边形ABCD是菱形，AD=AB=2。若平行四边形AMDN是矩形，则DMAB，即DMA=90。A=60，ADM=30。AM=AD=1。3. 【2013年辽宁锦10分】如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE求证：OE=BC4. 【2013年江苏无锡10分】如图1，菱形ABCD中，A=60，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出（1）求点Q运动的速度；（2）求图2中线段FG的函数关系式；（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由（3）存在。菱形ABCD的面积为：66sin60=18。当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示，此时APQ的面积。根据题意，得，解得s。当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示，此时，有，即，解得s。综上所述，存在s和t=s，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分。【考点】相似形综合题，双动点问题，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，分类思想的应用。5. 【2013年浙江舟山8分】某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60缩小为