XX年高考第一轮复习数学131 数学归纳法

XX年高考第一轮复习数学131 数学归纳法 xx年高考第一轮复习数学第十三章极限网络体系总览数学归纳法应用极限数列的极限函数的极限四则运算法则无穷等比数列函数的连续性考点目标定位1.数学归纳法、极限要求 （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. （2）了解数列极限和函数极限的概念. （3）掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限. （4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.复习方略指南极限的概念和方法是近代数学的核心内容，微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用，并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成，一是数学归纳法，二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性.13.1数学归纳法知识梳理1.数学归纳法的定义由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法 （1）先证明当n=n0（n0是使命题成立的最小自然数）时命题成立； （2）假设当n=k（kN*，kn0）时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.2.数学归纳法的应用证恒等式；整除性的证明；探求平面几何中的问题；探求数列的通项；不等式的证明.特别提示 （1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可; （2）证题时要注意两凑一凑归纳假设；二凑目标.点击双基1.设f（n）=11?n+21?n+31?n+?+n21（nN*），那么f（n+1）f（n）等于A.121?n B.221?n C.121?n+221?n D.121?n221?n解析f（n+1）f（n）=21?n+31?n+?+n21+121?n+221?n（11?n+21?n+?xx年高考第一轮复习数学+n21）=121?n+221?n11?n=121?n221?n.答案D2.（xx年太原模拟题）若把正整数按下图所示的规律排序，则从xx到xx年的箭头方向依次为A.B.D.C.123456789101112?解析xx=4500+2，而a n=4n是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数.答案D3.凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为A.f（n）+n+1B.f（n）+n C.f（n）+n1D.f（n）+n2解析由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n2个顶点连成的n2条对角线，及原先的一条边成了对角线.答案C4.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）?（n+n）=2n13?（2n1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为A.2k+1B.2（2k+1）C.112?kk D.132?kk解析当n=1时，显然成立.当n=k时，左边=（k+1）（k+2）?（k+k），当n=k+1时，左边=（k+1+1）（k+1+2）?（k+1+k）（k+1+k+1）=（k+2）（k+3）?（k+k）（k+1+k）（k+1+k+1）=（k+1）（k+2）?（k+k）1)22)(12(?kk k=（k+1）（k+2）?（k+k）2（2k+1）.答案B5.（xx年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有_个点.解析观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点;?;依次类推，第n个图形中除中心外有n条边，每边n1个点，故第n个图形中点的个数为n（n1）+1.答案n2n+1典例剖析【例1】比较2n与n2的大小（nN*）.剖析比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.xx年高考第一轮复习数学解当n=1时，2112，当n=2时，22=22，当n=3时，2332，当n=4时，24=42，当n=5时，2552，猜想当n5时，2nn2.下面用数学归纳法证明 （1）当n=5时，2552成立. （2）假设n=k（kN*，k5）时2kk2，那么2k+1=22k=2k+2kk2+（1+1）kk2+C0k+C1k+C1?kk=k2+2k+1=（k+1）2.当n=k+1时，2nn2.由 （1） （2）可知，对n5的一切自然数2nn2都成立.综上，得当n=1或n5时，2nn2；当n=2，4时，2n=n2；当n=3时，2nn2.评述用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.深化拓展当n5时，要证2nn2，也可直接用二项式定理证2n=（1+1）n=C0n+C1n+C2n+?+C2?nn+C1?nn+Cnn1+n+2)1(?n n+2)1(?n n=1+n+n2nn2.【例2】是否存在常数a、b、c使等式1（n212）+2（n222）+?+n（n2n2）=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.剖析先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用数学归纳法证明对一切nN*，a、b、c所确定的等式都成立.解分别用n=1，2，3代入解方程组?.0,41,411898134160cbac bac bac ba下面用数学归纳法证明. （1）当n=1时，由上可知等式成立; （2）假设当n=k+1时，等式成立，则当n=k+1时，左边=1（k+1）212+2（k+1）222+?+k（k+1）2k2+（k+1）（k+1）2（k+1）2=1（k212）+2（k222）+?+k（k2k2）+1（2k+1）+2（2k+1）+?+k（2k+1）=41k4+（41）k2+（2k+1）+2（2k+1）+?+k（2k+1）=41（k+1）441（k+1）2.当n=k+1时，等式成立.由 （1） （2）得等式对一切的nN*均成立.评述本题是探索性命题，它通过观察归纳猜想证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力.【例3】（xx年全国）设a0为常数，且a n=3n12an1（nN*）.证明n1时，a n=513n+xx年高考第一轮复习数学（1）n12n+（1）n2na0.剖析给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证.证明 （1）当n=1时，513+22a0=12a0，而a1=302a0=12a0.当n=1时，通项公式正确. （2）假设n=k（kN*）时正确，即a k=513k+（1）k12k+（1）k2ka0，那么a k+1=3k2a k=3k523k+52（1）k2k+（1）k+12k+1a0=533k+51（1）k2k+1+（1）k+12k+1a0=513k+1+（1）k2k+1+（1）k+12k+1a0.当n=k+1时，通项公式正确.由 （1） （2）可知，对nN*，a n=513n+（1）n12n+（1）n2na0.评述由n=k正确?n=k+1时也正确是证明的关键.深化拓展本题也可用构造数列的方法求a n.解a0为常数，a1=32a0.由a n=3n12an1，得nna33=1132?nna+1，即nna3=32113?nna+31.nna351=32（113?nna51）.nna351是公比为32，首项为513230?a的等比数列.nna351=（5432a0）（32）n1.a n=（5432a0）（2）n13+513n=513n+（1）n12n+（1）n2na0.注本题关键是转化成a n+1=ca n+d型.闯关训练夯实基础1.如果命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P（n）对n=4不成立，则下列结论正确的是A.P（n）对nN*成立B.P（n）对n4且nN*成立C.P（n）对n4且nN*成立D.P（n）对n4且nN*不成立xx年高考第一轮复习数学解析由题意可知，P（n）对n=3不成立（否则n=4也成立）.同理可推得P（n）对n=2，n=1也不成立.答案D2.用数学归纳法证明“1+21+31+?+121?nn（nN*，n1）”时，由n=k（k1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是A.2k1B.2k1C.2k D.2k+1解析左边的特点分母逐渐增加1，末项为121?n;由n=k，末项为121?k到n=k+1，末项为1211?k=k k2121?，应增加的项数为2k.答案C3.观察下表12343456745678910?设第n行的各数之和为S n，则?nlim2nS n=_.解析第一行1=12，第二行2+3+4=9=33，第三行3+4+5+6+7=25=52，第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳第n项的各数之和S n=（2n1）2，?nlim2nS n=?nlim（nn12?）2=4.答案44.如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来（n=1，2，3，?），则第n2个图形中共有_个顶点.解析观察规律第一个图形有32+3=（1+2）2+（1+2）;第二个图形有（2+2）2+（2+2）=42+4;第三个图形有（3+2）2+（3+2）=52+5;?第n2个图形有（n+22）2+（n+22）=n2+n个顶点.答案n2+n5.已知y=f（x）满足f（n1）=f（n）lga n1（n2，nN）且f （1）=lga，是否存在实数、使f（n）=（n2+n1）lga对任何nN*都成立，证明你的结论.xx年高考第一轮复习数学解f（n）=f（n1）+lga n1，令n=2，则f （2）=f （1）+f（a）=lga+lga=0.又f （1）=lga，?.1420?.21,21?f（n）=（21n221n1）lga.证明 （1）当n=1时，显然成立. （2）假设n=k时成立，即f（k）=（21k221k1）lga，则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+lga k=f（k）+klga=（21k221k1+k）lga=21（k+1）221（k+1）1lga.当n=k+1时，等式成立.综合 （1） （2）可知，存在实数、且=21，=21，使f（n）=（n2+n1）lga对任意nN*都成立.培养能力6.已知数列n是等差数列，11，12?10100 （1）求数列n的通项公式n； （2）设数列a n的通项a nlg（1nb1），记S n为a n的前n项和，试比较S n与21lgn1的大小，并证明你的结论解 （1）容易得n2n1. （2）由n2n1，知S nlg（11）1g（131）?lg（121?n）lg（）（31）?（121?n）.又211gb n1g12?n，因此要比较S n与211gb n的大小，可先比较（1）（31）?（121?n）与12?n的大小.取n=1，2，3可以发现前者大于后者，由此推测xx年高考第一轮复习数学（1+1）（1+31）?（121?n）12?n.下面用数学归纳法证明上面猜想当n=1时，不等式成立.假设n=k时，不等式成立，即（11）（131）?（121?k）12?k.那么n=k+1时，（）（31）?（121?k）（121?k）12?k（121?k）1212)1(2?kk k.又1212)1(2?kk k2（32?k）2121?k，1212)1(2?kk k32?k=.1)1(2?k当n=k+1时成立.综上所述，nN*时成立由函数单调性可判定S n211gb n.7.平面内有n条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证这n条直线把平面分割成21（n2+n+2）块.证明 （1）当n=1时，1条直线把平面分成2块，又21（12+1+2）=2，命题成立. （2）假设n=k时，k1命题成立，即k条满足题设的直线把平面分成21（k2+k+2）块，那么当n=k+1时，第k+1条直线被k条直线分成k+1段，每段把它们所在的平面块又分成了2块，因此，增加了k+1个平面块.所以k+1条直线把平面分成了21（k2+k+2）+k+1=21（k+1）2+（k+1）+2块，这说明当n=k+1时，命题也成立.由 （1） （2）知，对一切nN*，命题都成立.探究创新8.（xx年重庆，22）设数列a n满足a1=2，a n+1=a n+na1（n=1，2，?）. （1）证明a n12?n对一切正整数n都成立； （2）令b n=na n（n=1，2，?），判定b n与b n+1的大小，并说明理由. （1）证法一当n=1时，a1=2112?，不等式成立.xx年高考第一轮复习数学假设n=k时，a k12?k成立，当n=k+1时，a k+12=a k2+21ka+22k+3+21ka2（k+1）+1，当n=k+1时，a k+11)1(2?k成立.综上，由数学归纳法可知，a n12?n对一切正整数成立.证法二当n=1时，a1=23=112?结论成立.假设n=k时结论成立，即a k12?k，当n=k+1时，由函数f（x）=x+x1（x1）的单调递增性和归纳假设有a k+1=a k+ka112?k+121?k=12112?kk=1222?kk=124842?kk k12)12)(32(?kk k=32?k.当n=k+1时，结论成立.因此，a n12?n对一切正整数n均成立. （2）解nnbb1?=nanann11?=（1+21na）1?nn（1+121?n）1?nn=1)12()1(2?n nn n=12)1(2?nnn=2141)21(2?nn1.故b n+1b n.思悟小结1用数学归纳法证明问题应注意 （1）第一步验证n=n0时，n0并不一定是1 （2）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k到k+1时命题的变化 （3）由假设n=k时命题成立，证n=k+1时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标.2.归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一.教师下载中心教学点睛1.数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视.xx年高考第一轮复习数学2.数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视.只要与自然数有关，都可考虑数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些.拓展题例【例1】是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.解由f（n）=（2n+7）3n+9，得f （1）=36，f （2）=336，f （3）=1036，f （4）=3436，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明 （1）当n=1时，显然成立. （2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）3k+9能被36整除;当n=k+1时，2（k+1）