数学归纳法习题课

数学归纳法习题课 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.2.掌握证明nk1成立的常见变形技巧提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.习题课数学归纳法知识点一归纳法归纳法是一种的推理方法，分和_两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明.由特殊到一般完全归纳法纳法不完全归知识点二数学归纳法 (1)应用范围作为一种证明方法，用于证明一些与有关的数学命题； (2)基本要求它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点在第二步归纳递推时，从nk到nk1必须用上归纳假设.正整数n例1 (1)用数学归纳法证明(n1)(n2)?(nn)2n13?(2n1)(nN*)，“从k到k1”左端增乘的代数式为_.2(2k1)2.用数学归纳法证明“1aa2?a2n1(a1)”.在验证n1时，左端计算所得项为()A.1a B.1aa2C.1aa2a3D.1aa2a3a4C1a2n21a解析将n1代入a2n1得a3，故选C.题型一求参数问题例1是否存在常数a，b，c，使等式1(n212)2(n222)?n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n成立？并证明你的结论.跟踪训练1若不等式1n11n21n3?13n1a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论.解取n1，11111213112624，令2624a24?a2524.所以取a25.n1时，已证结论正确.假设nk(kN*)时，1k11k2?13k12524，则当nk1时，有1?k1?11?k1?2?13k113k213k313?k1?1(1k11k2?13k1)(13k213k313k41k1)252413k213k423?k1?.因为13k213k46?k1?9k218k86?k1?9k218k96?k1?9?k1?223?k1?，所以13k213k423?k1?0，所以1?k1?11?k1?2?13?k1?12524，由可知，对一切nN*，都有1n11n2?13n12524.即nk1时，结论也成立.故a的最大值为25.题型二整除问题例2求证当nN*时，a n1(a1)2n1能被a2a1整除.证明 (1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立. (2)假设当nk(kN*)时，a k1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，a k2(a1)2k1aa k1(a1)2(a1)2k1aa k1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aa k1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2a1整除，故当nk1时命题成立.由 (1) (2)知，对任意nN*，命题成立.证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成nk时的情形，再利用归纳假设使问题获证.训练2用数学归纳法证明62n11(nN*)能被7整除.证明 (1)当n1时，62117，能被7整除. (2)假设当nk(kN*，k1)时，62k11能被7整除.那么当nk1时，62(k1)1162k12136(62k11)35.62k11能被7整除，35也能被7整除，当nk1时，62(k1)11能被7整除.由 (1) (2)知命题成立.跟踪训练3有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆把平面分成f(n)n2n2部分.题型三有关几何问题题型三有关几何问题例3平面内有n(nN*，n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n).n?n1?2用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明.证明 (1)当n2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)122(21)1，当n2时，命题成立. (2)假设nk(k2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)12k(k1)，那么，当nk1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)k(k1)，12l与其他k条直线交点个数为k，从而k1条直线共有f(k)k个交点，12k(k12)即f(k1)f(k)k12k(k1)k12k(k1)12(k1)(k1)1，当nk1时，命题成立.由 (1) (2)可知，对任意nN*(n2)命题都成立.3.用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中，当nk1时，对式子(k1)35(k1)应变形为_.解析采取配凑法，凑出归纳假设k35k来，(k1)35(k1)k33k23k15k5(k35k)3k(k1)6.(k35k)3k(k1)6题型四利用数学归纳法证明不等式例2用数学归纳法证明对一切nN*，1122132?1n23n2n1.解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练2用数学归纳法证明1n11n21n3?1nn1124(nN*).题型五归纳猜想证明解析答案例3已知数列a n的前n项和为S n，其中a nS nn?2n1?且a113. (1)求a2，a3；解a2S22?221?a1a26，a113，则a2115，类似地求得a3135. (2)猜想数列a n的通项公式，并证明.跟踪训练3已知数列a n的前n项和S n满足S nan21a n1，且a n0，nN*. (1)求a1，a2，a3，并猜想a n的通项公式；解析答案 (2)证明通项公式的正确性.设设f(n)11213?1n数，是否存在关于自然数n的函数g(n)，式使等式f (1)f (2)?f(n1)g(n)f(n)1对于n2的一切自然数都成立？并证明你的结论解当当n2时，由f (1)g (2)f (2)1，得得g (2)f?1?f?2?11?11212，当当n3时，由f (1)f (2)g (3)f (3)1，得得g (3)f?1?f?2?f?3?11?112?1121313，想猜想g(n)n(n2)当下面用数学归纳法证明当n2时，等式f (1)f (2)?f(n1)nf(n)1恒成立当当n2时，由上面计算可知，等式成立设假设nk(kN*且且k2)时，等式成立，即即f (1)f (2)?f(k1)kf(k)1(k2)成立，当那么当nk1时，f (1)f (2)?f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)?f?k1?1k1k(k1)f(k1)1，当当nk1时，等式也成立由切知，对一切n2的自然数n等式都成立，故存在函数g(n)n，使等式成立返回1.数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等.2.证明问题的初始值n0不一定为1，可根据题目要求和问题实际确定n0.3.从nk到nk1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.221.设函数() (1)ln (1),(1,0)f x x a x x x a?（）求()f x的单调区间；（）当1a?时，若方程()f xt?在1,12?上有两个实数解，求实数t的取值范围；（）证明当0m n?时， (1) (1)n mm n?解析（）/()1ln (1)f xaxa?0a?时，/()0f x?，()f x在(1,)?上是增函数当0a?时，由1()011aaf x x e?，由1()01aaf xx e?，()f x在1(1,1aae?上单调递增，在11,)aae?上递减.（）当1a?时，由（）知，()f x在1,02?上单调递增，在0,1上单调递减，又111 (0)0, (1)1ln4,()ln2222f f f?，135 (1)()ln20222ff?当11,ln2,0)22t?时，方程()f xt?有两解（）0m n?.要证 (1) (1)n mm n?只需证ln (