高中数学必修一导学案

1 学案 学案 1 1 1 1 1 1 1 1 集合的含义与表示集合的含义与表示 学习目标 1 了解集合的含义 体会元素与集合的 属于 关系 2 能选择自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的具体 问题 感受集合语言的意义和作用 3 掌握集合的表示方法 常用数集及其记法 集合元素的三个特征 学习过程 一 课前准备 预习教材P2 P3 找出疑惑之处 讨论 军训前学校通知 8 月 20 日上午 8 点 高一年级在操场集合进行军 训动员 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生 引入 在这里 集合是我们常用的一个词语 我们感兴趣的是问题中某些特定 是高一而不是高二 高三 对象的总体 而不是个别的对象 为此 我们将 学习一个新的概念 集合 即是一些研究对象的总体 二 新课导学 探索新知 新知 1 一般地 我们把研究对象统称为元素 element 把一些元素组成的 总体叫做集合 set 试试 1 课本中 都能组成集合吗 元素分别是什么 探究 好心的人 与 1 2 1 是否构成集合 新知 2 集合元素的特征 对于一个给定的集合 集合中的元素是 是 是 即集 合元素三特征 某一个具体对象 它或者是一个给定的集合的元素 或者不是该集 合的元素 两种情况必有一种且只有一种成立 同一集合中不应重复出现同一元素 集合中的元素没有顺序 只要构成两个集合的元素是一样的 我们称这两个集合 试试 2 分析下列对象 能否构成集合 并指出元素 不等式的解 30 x 3 的倍数 方程的解 2 210 xx 最小的整数 4 周长为 10 cm的三角形 5 中国古代四大发明 6 地球上的四大洋 7 地球的小河流 8 新知 3 集合的字母表示 集合通常用大写的拉丁字母表示 集合的元素用小写的拉丁字母表示 如果a是集合A的元素 就说a属于 belong to 集合A 记作 a A 2 如果a不是集合A的元素 就说a不属于 not belong to 集合A 记作 aA 试试 3 设B表示 5 以内的自然数 组成的集合 则 5 B 0 5 B 0 B 1 B 新知 4 常见数集的表示 非负整数集 自然数集 全体非负整数组成的集合 记作 N N 正整数集 所有正整数的集合 记作 N N 或 N N 整数集 全体整数的集合 记作 Z Z 有理数集 全体有理数的集合 记作 Q Q 实数集 全体实数的集合 记作 R R 试试 4 填 或 0 N N 0 R R 3 7 N N 3 7 Z Z Q Q 3 32 R R 新知 5 列举法 把集合的元素一一列举出来 并用花括号 括起来 这种表示集合的方 法叫做列举法 注意 不必考虑顺序 隔开 a与 a 不同 典型例题 例 1 用列举法表示下列集合 15 以内质数的集合 方程的所有实数根组成的集合 2 1 0 x x 一次函数与的图象的交点组成的集合 yx 21yx 变式 用列举法表示 一次函数的图象与二次函数的图象的交点 yx 2 yx 组成的集合 学习探究 思考 你能用自然语言描述集合吗 2 4 6 8 你能用列举法表示不等式的解集吗 13x 新知 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法 一般形式 为 其中x代表元素 P是确定条件 xA P 试试 方程的所有实数根组成的集合 用描述法表示为 2 30 x 例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合 1 方程的所有实数根组成的集合 2 1 0 x x 2 由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合 3 练习 用描述法表示下列集合 1 方程的所有实数根组成的集合 3 40 xx 2 所有奇数组成的集合 变式 以下三个集合有什么区别 1 2 1 x yyx 2 2 1 y yx 3 2 1 x yx 反思与小结 描述法表示集合时 应特别注意集合的代表元素 如与 2 1 x yyx 不同 2 1 y yx 只要不引起误解 集合的代表元素也可省略 例如 1 x x 3 x xk kZ 集合的 已包含 所有 的意思 例如 整数 即代表整数集 Z Z 所以不必写 全体整数 下列写法 实数集 R R 也是错误的 列举法与描述法各有优点 应该根据具体问题确定采用哪种表示法 要 注意 一般集合中元素较多或有无限个元素时 不宜采用列举法 概念 集合与元素 属于与不属于 集合中元素三特征 常见数集及表示 5 学习评价 当堂检测 1 下列说法正确的是 A 某个村子里的高个子组成一个集合 B 所有小正数组成一个集合 C 集合和表示同一个集合 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 D 这六个数能组成一个集合 1 3 61 1 0 5 2 2 44 2 给出下列关系 1 2 R 2Q 3N 3 Q 其中正确的个数为 A 1 个B 2 个 C 3 个D 4 个 3 直线与y轴的交点所组成的集合为 21yx A B 0 1 0 1 C D 1 0 2 1 0 2 4 设 则下列正确的是 16 AxNx 4 A B 6A 0A C D 3A 3 5A 5 一次函数与的图象的交点组成的集合是 3yx 2yx A B 1 2 1 2 xy C D 2 1 3 2 yx x y yx 6 设A表示 中国所有省会城市 组成的集合 则 深圳 A 广州 A 填 或 7 集合A x x 2n且n N N 用 或填空 2 650 Bx xx 4 A 4 B 5 A 5 B 8 1 设集合 试用列举法表示集合A 6 Ax yxyxN yN 2 设A x x 2n n N N 且n 10 B 3 的倍数 求属于A且属于B的 元素所组成的集合 9 设x R R 集合 2 3 2 Ax xx 1 求元素x所应满足的条件 2 若 求实数x 2A 10 若集合 集合 且 求实数a b 1 3 A 2 0 Bx xaxb AB 5 学案学案 2 1 1 22 1 1 2 集合间的基本关系集合间的基本关系 学习目标 1 了解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 2 理解子集 真子集的概念 3 能利用Venn图表达集合间的关系 体会直观图示对理解抽象概念的作用 4 了解空集的含义 学习过程 一 课前准备 预习教材P6 P7 找出疑惑之处 思考 类比实数的大小关系 如 53 B x x 6 则A B A B 反思 1 A B与A B B A有什么关系 2 A B与集合A B B A有什么关系 3 A A A A A A 典型例题 例 1 设 求A B A B 18 Axx 45 Bx xx 或 小结 有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究 例 2 设 求A B 46 Ax yxy 327 Bx yxy 探究 设U 全班同学 A 全班参加足球队的同学 B 全班没有参加足球 队的同学 则U A B有何关系 新知 全集 补集 全集 如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素 那么就 称这个集合为全集 Universe 通常记作U 补集 已知集合U 集合AU 由U中所有不属于A的元素组成的集合 叫作A相对于U的补集 complementary set 记作 读作 A在U U C A 中补集 即 U C Ax xUxA 且 补集的Venn图表示如右 说明 全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念 补集的概念必须要有全 11 集的限制 试试 1 U 2 3 4 A 4 3 B 则 U C A U C B 2 设U x x 8 且x N N A x x 2 x 4 x 5 0 则 U C A 3 设集合 则 38 Axx U C A 4 设U 三角形 A 锐角三角形 则 U C A 例 3 设U R R A x 1 x 2 B x 1 x 3 求A B A B U C A U C B 三 总结提升 学习小结 1 交集与并集的概念 符号 图示 性质 2 补集 全集的概念 补集 全集的符号 3 集合运算的两种方法 数轴 Venn图 知识拓展 ABCABAC ABCABAC ABCABC ABCABC AABAAABA UUU CABC AC B UUU CABC AC B 学习评价 当堂检测 1 设那么等于 5 1 AxZ xBxZ x AB A B 1 2 3 4 5 2 3 4 5 C D 2 3 4 15xx 2 已知集合M x y x y 2 N x y x y 4 那么集合M N为 A x 3 y 1 B 3 1 C 3 1 D 3 1 3 设 则等于 0 1 2 3 4 5 1 3 6 9 3 7 8 ABC ABC A 0 1 2 6 B 3 7 8 C 1 3 7 8 D 1 3 6 7 8 4 设全集U R R 集合 则 2 1 Ax x U C A A 1 B 1 1 12 C D 1 1 1 5 已知集合U 那么集合 0 x x 02 U C Axx A A B 02 x xx 或 02 x xx 或 C D 2 x x 2 x x 6 设 若 求实数a的取值范围是 Ax xa 03 Bxx AB 7 定义A B x x A 且x B 若M 1 2 3 4 5 N 2 4 8 则N M 8 若关于x的方程 3x2 px 7 0 的解集为A 方程 3x2 7x q 0 的解集为B 且A B 求 1 3 AB 9 已知全集I 若 求实数 2 2 3 23 aa 2 Ab 5 I C A a b 10 已知全集I 小于 10 的正整数 其子集A B满足 1 9 II C AC B 求集合A B 4 6 8 I C AB 2 AB 13 学案 学案 4 4 1 2 1 1 2 1 函数的概念函数的概念 学习目标 1 通过丰富实例 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数 体会对应关系在刻画函数概 念中的作用 2 了解构成函数的要素 3 能够正确使用 区间 的符号表示某些集合 4 会求一些简单函数的定义域与值域 并能用 区间 的符号表示 5 掌握判别两个函数是否相同的方法 学习过程 一 课前准备 初中对函数的定义 在一个变化过程中 有两个变量x和y 对于x的 每一个确定的值 y都有唯一的值与之对应 此时y是x的函数 x是自变量 y是因变量 表示方法有 解析法 列表法 图象法 二 新课导学 学习探究 探究任务一 函数模型思想及函数概念函数模型思想及函数概念 问题 研究课本上三个实例 讨论 三个实例存在哪些变量 变量的变化 范围分别是什么 两个变量之间存在着这样的对应关系 三个实例有什么共同 点 归纳 三个实例变量之间的关系都可以描述为 对于数集A中的每一个x 按 照某种对应关系f 在数集B中都与唯一确定的y和它对应 记作 f AB 新知 函数定义 设A B是非空数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A中的 任意一个数x 在集合B中都有唯一确定的数和它对应 那么称为 f x f AB 从集合A到集合B的一个函数 function 记作 yf xxA 其中 x叫自变量 x的取值范围A叫作定义域 domain 与x的值对 应的y值叫函数值 函数值的集合叫值域 range f xxA 试试 1 已知 求 的值 2 23f xxx 0 f 1 f 2 f 1 f 2 函数值域是 2 23 1 0 1 2 yxxx 14 反思 1 值域与B的关系是 构成函数的三要素是 2 常见函数的定义域与值域 函 数 解析式 定 义域 值 域 一 次函数 0 yaxb a 二 次函数 2 yaxbxc 其中0a 反 比例函 数 0 k yk x 探究任务二 区间及写法区间及写法 新知 设a b是两个实数 且aa x x b x x b 2 01 x xx 或 3 函数y 的定义域 值域是 观察法 x 例 1 已知函数 1f xx 1 求的值 3 f 2 求函数的定义域 用区间表示 3 求的值 2 1 f a 探究任务 函数相同的判别函数相同的判别 讨论 函数y x y y y y 有何关系 x 2 3 2 x x 44 x 2 x 15 试试 判断下列函数与是否表示同一个函数 说明理由 f x g x 1 f x 0 1 x g x x f x g x 2 x x 2 f x g x 2 1 x x f x g x 2 x 小结 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致 即称这两个函数相等 或为同 一函数 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致 而与表示自变量 和函数值的字母无关 例 2 求下列函数的定义域 用区间表示 1 2 3 2 x f x x 2 29f xx 3 1 1 2 f xx x 小结 1 定义域求法 分式 根式 组合式 2 求定义域步骤 列不等式 组 解不等式 组 三 总结提升 学习小结 函数模型应用思想 函数概念 二次函数的值域 区间表示 定义域的求法及步骤 5 判断同一个函数的方法 6 知识拓展 求函数定义域的规则 16 分式 则 f x y g x 0g x 偶次根式 则 2 n yf xnN 0f x 零次幂式 则 0 yf x 0f x 学习评价 当堂检测 1 已知函数 则 2 21g tt 1 g A 1 B 0 C 1 D 2 2 函数的定义域是 12f xx A B 1 2 1 2 C D 1 2 1 2 3 已知函数 若 则a 23f xx 1f a A 2 B 1 C 1 D 2 4 函数的定义域是 131f xxx A B C R R D 3 1 3 1 5 下列各组函数的图象相同的是 f xg x与 A 2 f xx g xx B 22 1 f xxg xx C 0 1 f xg xx D x f xx g x x 0 0 x x 6 若 则 2 1 1f xx f x 7 函数的定义域是 值域是 2 y x 用区间表示 8 设一个矩形周长为 80 其中一边长为x 求它的面积y关于x的函数的解析 式 并写出定义域 9 已知二次函数f x ax2 bx a b为常数 且a 0 满足条件f x 1 f 3 x 且方程f x 2x有等根 求f x 的解析式 17 学案 学案 5 5 1 2 2 1 2 2 函数的表示法函数的表示法 学习目标 1 明确函数的三种表示方法 解析法 列表法 图象法 了解三种表示方法 各自的优点 在实际情境中 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数 2 通过具体实例 了解简单的分段函数 并能简单应用 3 了解映射的概念及表示方法 4 能解决简单函数应用问题 学习过程 一 课前准备 预习教材P19 P23 找出疑惑之处 复习 初中所学习的函数三种表示方法 试举出日常生活中的例子说明 二 新课导学 学习探究 探究任务 函数的三种表示方法函数的三种表示方法 讨论 结合具体实例 如 二次函数解析式 股市走势图 银行利率表等 说 明三种表示法及优缺点 小结 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点 简明 给自变量 求函数值 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 优点 直观形象 反应变化趋 势 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点 不需计算就可看出 函数值 典型例题 例 1 某种笔记本的单价是 2 元 买x x 1 2 3 4 5 个笔记本需要y 元 试用三种表示法表示函数 yf x 18 反思 例 1 的函数图象有何特征 所有的函数都可用解析法表示吗 例 2 邮局寄信 不超过 20g 重时付邮资 0 5 元 超过 20g重而不超过 40g重付 邮资 1 元 每封x克 0 x 时 f x 与 f x 的大小关系怎样 1212 22 新知 设函数 y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意 两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是增 函数 increasing function 试试 仿照增函数的定义说出减函数的定义 新知 如果函数 f x 在某个区间 D 上是增函数或减函数 就说 f x 在这一区间上 具有 严格的 单调性 区间 D 叫 f x 的单调区间 反思 图象如何表示单调增 单调减 所有函数是不是都具有单调性 单调性与单调区间有什么关系 函数的单调递增区间是 单调递减区间是 2 f xx 试试 如图 定义在 5 5 上的 f x 根据图象说出单调区间及单调性 典型例题 例 1 根据下列函数的图象 指出它们的单调区间及单调性 并运用定义进行证 明 1 2 32f xx 1 f x x 变式 指出 的单调性 ykxb 0 k yk x 小结 比较函数值的大小问题 运用比较法而变成判别代数式的符号 23 证明函数单调性的步骤 第一步 设 x x 给定区间 且 x 0 时 试问 当 0 时 则类似可得 10 510252 55 aaaa 312 a 类似可得 22 3 323 33 aaa a 新知 规定分数指数幂如下 0 1 m nm n aaam nNn 11 0 1 m n m nm n aam nNn a a 试试 1 将下列根式写成分数指数幂形式 25 3 34 5 m a 0 amN 31 2 求值 2 3 8 2 5 5 4 3 6 5 2 a 反思 0 的正分数指数幂为 0 的负分数指数幂为 分数指数幂有什么运算性质 小结 规定了分数指数幂的意义后 指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数 那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂 指数幂的运算性质 0 0 abr sQ r a rr s aa rsrs aa r rs aba a 例 2 求值 2 3 27 4 3 16 3 3 5 2 3 25 49 例 3 用分数指数幂的形式表示下列各式 0 b 1 2 3 2 bbA 533 bbA 34 b b 例 4 计算 式中字母均正 1 2 211511 336622 3 8 6 a ba ba b 31 16 84 m n 例 5 计算 1 3 34 a aaA 0 a 2 31 2103 6 52 2 m nm n m nN 3 344 1632 64 32 小结 在进行指数幂的运算时 一般地 化指数为正指数 化根式为分数指数 幂 对含有指数式或根式的乘除运算 还要善于利用幂的运算法则 三 总结提升 学习小结 1 n次方根 根式的概念 根式运算性质 2 分数指数幂的意义 分数指数幂与根式的互化 有理指数幂的运算性 质 学习评价 1 的值是 4 4 3 A 3 B 3 C 3 D 81 2 625 的 4 次方根是 A 5 B 5 C 5 D 25 3 化简是 22 b A B C D b bb 1 b 4 若 且为整数 则下列各式中正确的是 0a m n A B m mn n aaa mnmn aaa C D n mm n aa 0 1 nn aa 5 化简的结果是 3 2 25 A 5 B 15 C 25 D 125 6 计算的结果是 1 2 2 2 A B D 22 2 2 2 2 7 化简 6 6 ab 8 若 则 102 104 mn 3 2 10 m n 9 化简52 674 364 2 10 计算 343 3 33243 8 12 24 aabb a aaba 33 学案 学案 9 9 2 1 2 2 1 2 指数函数及其性质指数函数及其性质 学习目标 1 了解指数函数模型的实际背景 认识数学与现实生活及其他学科的联系 2 理解指数函数的概念和意义 3 能画出具体指数函数的图象 掌握指数函数的性质 单调性 特殊点 4 熟练掌握指数函数概念 图象 性质 5 掌握指数型函数的定义域 值域 会判断其单调性 学习过程 一 课前准备 预习教材P54 P60 找出疑惑之处 二 新课导学 学习探究 探究任务一 指数函数模型思想及指数函数概念指数函数模型思想及指数函数概念 实例 A A 细胞分裂时 第一次由 1 个分裂成 2 个 第 2 次由 2 个分裂成 4 个 第 3 次由 4 个分裂成 8 个 如此下去 如果第x次分裂得到y个细胞 那么细胞个 数y与次数x的函数关系式是什么 B B 一种放射性物质不断变化成其他物质 每经过一年的残留量是原来的 84 那么以时间x年为自变量 残留量y的函数关系式是什么 讨论 上面的两个函数有什么共同特征 底数是什么 指数是什么 新知 一般地 函数叫做指数函数 exponential function 0 1 x yaaa 且 其中x是自变量 函数的定义域为 R R 反思 为什么规定 0 且 1 呢 否则会出现什么情况呢 aa 试试 举出几个生活中有关指数模型的例子 探究任务二 指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质 引言 你能类比前面讨论函数性质时的思路 提出研究指数函数性质的内容和 方法吗 回顾 研究方法 画出函数图象 结合图象研究函数性质 研究内容 定义域 值域 特殊点 单调性 最大 小 值 奇偶性 作图 在同一坐标系中画出下列函数图象 34 1 2 x y 2xy 讨论 1 函数与的图象有什么关系 如何由的图象画出2xy 1 2 x y 2xy 的图象 1 2 x y 2 根据两个函数的图象的特征 归纳出这两个指数函数的性质 变底数为 3 或后呢 1 3 新知 根据图象归纳指数函数的性质 a 10 a0 a 1 的图象恒过定点 2 1 x a A B 0 1 0 2 C D 2 1 2 2 3 如果函数y ax a 0 a 1 的图象与函数y bx b 0 b 1 的图象关于y轴对 称 则有 A a b B a1 在 R R 上递减 C 若a a 则a 1 22 1 D 若 1 则2x1x 7 比较大小 2 3 2 5 4 5 2 5 8 函数的定义域为 1 1 9 x y 9 在同一坐标系下 函数y ax y bx y cx y dx的图象如右图 则 a b c d 1 之间从小到大的顺序是 10 求函数的定义域和值域 并讨论函数的单调性 21 21 x x y 奇偶性 37 学案 学案 1010 2 2 1 2 2 1 对数与对数运算对数与对数运算 学习目标 1 理解对数的概念 2 能够说明对数与指数的关系 3 掌握对数式与指数式的相互转化 4 掌握对数的运算性质 并能理解推导这些法则的依据和过程 5 能较熟练地运用对数运算法则解决问题 一 新课导学 学习探究 探究任务 对数的概念对数的概念 问题 截止到 1999 年底 我国人口约 13 亿 如果今后能将人口年平均增长率 控制在 1 那么多少年后人口数可达到 18 亿 20 亿 30 亿 讨论 1 问题具有怎样的共性 2 已知底数和幂的值 求指数怎样求呢 例如 由 求x 1 01xm 新知 一般地 如果 那么数 x叫做以a为底 N的对数 x aN 0 1 aa logarithm 记作 其中a叫做对数的底数 N叫做真数 logaxN 新知 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 common logarithm 并把 常用对数简记为 lgN 在科学技术中常使用以无理数 e 2 71828 为底 10 logN 的对数 以 e 为底的对数叫自然对数 并把自然对数简记作 lnN logeN 反思 1 指数与对数间的关系 时 0 1aa x aN 2 负数与零是否有对数 为什么 3 log 1 a logaa 典型例题 例 1 下列指数式化为对数式 对数式化为指数式 1 2 3 3 5125 7 1 2 128 327 a 4 5 2 100 01 1 2 log 325 6 lg0 001 7 ln100 4 606 3 38 小结 注意对数符号的书写 与真数才能构成整体 例 2 求下列各式中x的值 1 2 64 2 log 3 x log 86 x 3 4 lg4x 3 lnex 小结 应用指对互化求x 探究任务 对数运算性质及推导对数运算性质及推导 问题 由 如何探讨和 之间的关系 pqp q a aa logaMNlogaMlogaN 问题 设 logaMp logaNq 由对数的定义可得 M N p a q a MN p a q a p q a MN p q 即得MN M Nlogalogalogaloga 根据上面的证明 能否得出以下式子 如果 a 0 a 1 M 0 N 0 则 1 log loglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnMnR 反思 自然语言如何叙述三条性质 性质的证明思路 运用转化思想 先通过假设 将对数式化成指数式 并利用幂运算性质进行恒等变形 然后再根据对数定义 将指数式化成对数式 例 3 用 表示下列各式 logaxlogaylogaz 1 2 2 loga xy z 3 5 loga xy z 39 例 4 计算 1 2 5 log 25 0 4 log1 3 4 lg 85 2 log 42 9100 探究 根据对数的定义推导换底公式 且 且 log log log c a c b b a 0a 1a 0c 1c 0b 运用换底公式推导下列结论 1 2 loglog m n a a n bb m 1 log log a b b a 二 总结提升 学习小结 对数概念 lgN与 lnN 指对互化 如何求对数值 对数运算性质及推导 运用对数运算性质 换底公式 知识拓展 对数的换底公式 log log log b a b N N a 对数的倒数公式 1 log log a b b a 对数恒等式 loglog n n a a NN loglog m n a a n NN m logloglog1 abc bca AA 学习评价 当堂检测 1 若 则 2 log3x x A 4 B 6 C 8 D 9 2 1 log 1 nn nn 40 A 1 B 1 C 2 D 2 3 对数式中 实数a的取值范围是 2 log 5 a ab A B 2 5 5 C D 2 2 3 3 5 4 下列等式成立的是 A 222 log 35 log 3log 5 B 2 22 log 10 2log 10 C 222 log 35 log 3 log 5 A D 33 22 log 5 log 5 5 如果lgx lga 3lgb 5lgc 那么 A x a 3b c B 3 5 ab x c C D x a b3 c3 3 5 ab x c 6 若 那么 2lg2lglgyxxy A B yx 2yx C D 3yx 4yx 7 计算 2 1 log 32 2 8 若 则x 若 则y log 21 1 x 2 log8y 9 计算 315 lglg 523 10 设 试用 表示 lg2a lg3b ab 5 log 12 11 计算 1 lg27lg83lg 10 lg1 2 2 2 lg 2lg2 lg5lg5 12 设 为正数 且 求证 abc346 abc 111 2cab 41 学案 学案 1111 2 2 2 2 2 2 对数函数及其性质对数函数及其性质 学习目标 1 通过具体实例 直观了解对数函数模型所刻画的数量关系 初步理解对数函 数的概念 体会对数函数是一类重要的函数模型 2 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象 探索并了解对数函数的单 调性与特殊点 3 通过比较 对照的方法 引导学生结合图象类比指数函数 探索研究对数函 数的性质 培养数形结合的思想方法 学会研究函数性质的方法 4 进一步理解对数函数的图象和性质 5 学习反函数的概念 理解对数函数和指数函数互为反函数 能够在同一坐标上 看出互为反函数的两个函数的图象性质 学习过程 一 课前准备 预习教材P70 P72 找出疑惑之处 复习 1 画出 的图象 并以这两个函数为例 说说指数函数的2xy 1 2 x y 性质 二 新课导学 学习探究 探究任务一 对数函数的概念对数函数的概念 问题 根据上题 用计算器可以完成下表 碳 14 的含量 P 0 50 30 10 010 001 生物死亡年 数t 讨论 t与P的关系 对每一个碳 14 的含量P的取值 通过对应关系 生物死亡年数t 57301 2 logtP 都有唯一的值与之对应 从而t是P的函数 新知 一般地 当a 0 且a 1 时 函数叫做对数函数 logarithmic logayx function 自变量是x 函数的定义域是 0 反思 对数函数定义与指数函数类似 都是形式定义 注意辨别 如 2 2logyx 42 都不是对数函数 而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限 5 log 5 yx 制 且 0a 1 a 探究任务二 对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质 问题 你能类比前面讨论指数函数性质的思路 提出研究对数函数性质的内容 和方法吗 研究方法 画出函数图象 结合图象研究函数性质 研究内容 定义域 值域 特殊点 单调性 最大 小 值 奇偶性 试试 同一坐标系中画出下列对数函数的图象 2 logyx 0 5 logyx 反思 1 根据图象 你能归纳出对数函数的哪些性质 a 10 a1 时 在同一坐标系中 函数与的图象是 x ya logayx 2 函数的值域为 2 2log 1 yx x A B 2 2 C D 2 3 3 不等式的解集是 4 1 log 2 x A B 2 0 2 B D 1 2 1 0 2 4 函数的反函数是 0 5 logyx A B 0 5 logyx 2 logyx C D 2xy 1 2 x y 5 函数的反函数的单调性是 2xy A 在 R R 上单调递增 B 在 R R 上单调递减 C 在上单调递增 0 D 在上单调递减 0 6 比大小 1 log 67 log 7 6 2 log 31 5 log 2 0 8 7 函数的定义域是 1 log 3 x yx 8 函数的反函数的图象过点 则a的值为 x ya 9 2 9 右图是函数 1 logayx 2 logayx 3 logayx 4 logayx 的图象 则底数之间的关系为 45 10 求下列函数的定义域 1 2 log 35 yx 2 0 2 log 6 yx 学案 学案 1212 2 3 2 3 幂函数幂函数 学习目标 1 通过具体实例了解幂函数的图象和性质 2 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用 学习过程 一 课前准备 预习教材P77 P79 找出疑惑之处 复习 1 求证在 R R 上为奇函数且为增函数 3 yx 复习 2 1992 年底世界人口达到 54 8 亿 若人口年平均增长率为x 2008 年 底世界人口数为y 亿 写出 1 1993 年底 1994 年底 2000 年底世界人口数 2 2008 年底的世界人口数y与x的函数解析式 二 新课导学 学习探究 探究任务一 幂函数的概念幂函数的概念 问题 分析以下五个函数 它们有什么共同特征 1 边长为 的正方形面积 是 的函数 a 2 Sa Sa 2 面积为的正方形边长 是的函数 S 1 2 aS aS 3 边长为 的立方体体积 是 的函数 a 3 Va Va 4 某人内骑车行进了 1 则他骑车的平均速度 这里 是 的tskm 1 vt km s vt 函数 46 5 购买每本 1 元的练习本本 则需支付元 这里是的函数 wpw pw 新知 一般地 形如的函数称为幂函数 其中为常数 yx aR 试试 判断下列函数哪些是幂函数 1 y x 2 2yx 3 yxx 1y 探究任务二 幂函数的图象与性质幂函数的图象与性质 问题 作出下列函数的图象 1 2 3 4 yx 1 2 yx 2 yx 5 1 yx 3 yx 从图象分析出幂函数所具有的性质 观察图象 总结填写下表 xy 2 xy 3 xy 2 1 xy 1 xy 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 小结 幂函数的的性质及图象变化规律 1 所有的幂函数在都有定义 并且图象都过点 1 1 0 2 时 幂函数的图象通过原点 并且在区间上是增函数 特别地 0 0 当时 幂函数的图象下凸 当时 幂函数的图象上凸 1 01 3 时 幂函数的图象在区间上是减函数 在第一象限内 当 从0 0 x 右边趋向原点时 图象在轴右方无限地逼近轴正半轴 当 趋于时 图yyx 象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴 xx 典型例题 例 1 讨论在的单调性 f xx 0 47 变式 讨论的单调性 3 f xx 例 2 比较大小 1 与 2 与 1 5 1 a 1 5 0 aa 2 2 3 2 a 2 3 2 3 与 1 2 1 1 1 2 0 9 小结 利用单调性比大小 动手试试 练 1 讨论函数的定义域 奇偶性 作出它的图象 并根据图象说明函数 2 3 yx 的单调性 练 2 比大小 1 与 2 与 3 4 2 3 3 4 2 4 6 5 0 31 6 5 0 35 3 与 3 2 2 3 2 3 三 总结提升 48 学习小结 1 幂函数的的性质及图象变化规律 2 利用幂函数的单调性来比较大小 知识拓展 幂函数的图象 在第一象限内 直线的右侧 图象由下至上 指数yx 1x 由小到大 轴和直线之间 图象由上至下 指数由小到大 y1x 学习评价 当堂检测 1 若幂函数在上是增函数 则 f xx 0 A 0 B 0 C 0 D 不能确定 2 函数的图象是 4 3 yx A B C D 3 若 那么下列不等式成立的是 11 22 1 1 0 9ab A l B 1 abab C l D 1 baba 4 比大小 1 2 11 22 1 3 1 5 22 5 1 5 09 5 已知幂函数的图象过点 则它的解析式为 yf x 2 2 6 已知幂函数f x p Z Z 在上是增函数 且在其定义域 13 22 2 pp x 0 内是偶函数 求p的值 并写出相应的函数f x 7 在固定压力差 压力差为常数 下 当气体通过圆形管道时 其流量速率R 与管道半径r的四次方成正比 1 写出函数解析式 2 若气体在半径为 3cm 的管道中 流量速率为 400cm3 s 求该气体通过半径 为r的管道时 其流量速率R的表达式 3 已知 2 中的气体通过的管道半径为 5cm 计算该气体的流量速率 49 学案 学案 1313 3 1 1 3 1 1 方程的根与函数的零点及二分法方程的根与函数的零点及二分法 学习目标 1 结合二次函数的图象 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 从而了解 函数的零点与方程根的联系 2 掌握零点存在的判定定理 学习过程 一 课前准备 预习教材P86 P88 找出疑惑之处 复习 1 一元二次方程 bx c 0 a0 的解法 2 ax 判别式 当 0 方程有两根 为 1 2 x 当 0 方程有一根 为 0 x 当 0 方程无实根 复习 2 方程 bx c 0 a0 的根与二次函数y ax bx c a0 的图象之 2 ax 2 间有什么关系 判 别式 一元二 次方程 二次函数图 象 0 0 0 二 新课导学 学习探究 探究任务一 函数零点与方程的根的关系函数零点与方程的根的关系 问题 方程的解为 函数的图象与x轴有 2 230 xx 2 23yxx 个交点 坐标为 方程的解为 函数的图象与x轴有 2 210 xx 2 21yxx 50 个交点 坐标为 方程的解为 函数的图象与x轴有 2 230 xx 2 23yxx 个交点 坐标为 根据以上结论 可以得到 一元二次方程的根就是相应二次函数 2 0 0 axbxca 的图象与x轴交点的 2 0 0 yaxbxca 你能将结论进一步推广到吗 yf x 新知 对于函数 我们把使的实数x叫做函数的零点 yf x 0f x yf x 反思 函数的零点 方程的实数根 函数 的图象与x yf x 0f x yf x 轴交点的横坐标 三者有什么关系 试试 1 函数的零点为 2 函数的零点为 2 44yxx 2 43yxx 小结 方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数 0f x yf x 有零点 yf x 探究任务二 零点存在性定理零点存在性定理 问题 作出的图象 求的值 观察和的符号 2 43yxx 2 1 0 fff 2 f 0 f 观察下面函数的图象 yf x 在区间上 零点 0 a b f af bA 在区间上 零点 0 b c f bf cA 在区间上 零点 0 c d f cf dA 新知 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 yf x a b 0 那么 函数在区间内有零点 即存在 使得 f af bA yf x a b ca b 这个c也就是方程的根 0f c 0f x 讨论 零点个数一定是一个吗 逆定理成立吗 试结合图形来分析 典型例题 例 1 求函数的零点的个数 ln26f xxx 变式 求函数的零点所在区间 ln2f xxx 51 小结 函数零点的求法 代数法 求方程的实数根 0f x 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数的图象联系 yf x 起来 并利用函数的性质找出零点 动手试试 练 1 求下列函数的零点 1 2 54yxx 2 2 1 31 yxxx 练 2 求函数的零点所在的大致区间 23 x y 探究任务 二分法的思想及步骤二分法的思想及步骤 问题 有 12 个小球 质量均匀 只有一个是比别的球重的 你用天平称几次可 以找出这个球的 要求次数越少越好 解法 第一次 两端各放 个球 低的那一端一定有重球 第二次 两端各放 个球 低的那一端一定有重球 第三次 两端各放 个球 如果平衡 剩下的就是重球 否则 低 的就是重球 新知 对于在区间上连续不断且 0 的函数 通过不断的把 a b f af bA yf x 函数的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到 零点近似值的方法叫二分法 bisection 反思 给定精度 用二分法求函数的零点近似值的步骤如何呢 f x 确定区间 验证 给定精度 a b 0f af b A 求区间的中点 a b 1 x 计算 若 则就是函数的零点 若 则令 1 f x 1 0f x 1 x 1 0f af x A 此时零点 若 则令 此时零点 1 bx 01 xa x 1 0f xf b A 1 ax 01 xx b 52 判断是否达到精度 即若 则得到零点零点值a 或b 否则重 ab 复步骤 例 2 求方程的解的个数及其大致所在区间 3 log3xx 三 总结提升 学习小结 零点概念 零点 与x轴交点 方程的根的关系 零点存在性定理 知识拓展 图象连续的函数的零点的性质 1 函数的图象是连续的 当它通过零点时 非偶次零点 函数值变号 推论 函数在区间上的图象是连续的 且 那么函数在 a b 0f a f b f x 区间上至少有一个零点 a b 2 相邻两个零点之间的函数值保持同号 学习评价 当堂检测 1 函数的零点个数为 22 2 32 f xxxx A 1 B 2 C 3 D 4 2 若函数在上连续 且有 则函数在上 f x a b 0f af b A f x a b A 一定没有零点 B 至少有一个零点 C 只有一个零点 D 零点情况不确定 3 函数的零点所在区间为 1