高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单性质课件选修

2 1 2椭圆的简单性质 椭圆的简单性质 名师点拨1 判断曲线关于x轴 y轴 原点对称的依据 1 若把方程中的x换成 x 方程不变 则曲线关于y轴对称 2 若把方程中的y换成 y 方程不变 则曲线关于x轴对称 3 若把方程中的x y同时换成 x y 方程不变 则曲线关于原点对称 2 椭圆的顶点是它与对称轴的交点 所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上 且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴 因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上 3 a b c在椭圆内可构成Rt OFB Rt OFB叫作椭圆的特征三角形 这是a b c的一个几何意义 做一做 1 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴 一个顶点是 0 13 另一个顶点是 10 0 则焦点坐标为 2 椭圆16x2 9y2 144的长轴长是 短轴长是 离心率是 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 椭圆的顶点坐标 长轴长 短轴长 离心率都与椭圆焦点所在的坐标轴有关 2 椭圆的离心率越大 椭圆越接近于圆 3 从图形的角度看 椭圆位于直线x a和直线y b所围成的矩形区域内 4 椭圆x2 4y2 1的离心率为3 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 已知椭圆x2 m 3 y2 m m 0 的离心率e 求m的值及椭圆的长轴和短轴的长 焦点坐标 顶点坐标 分析应先将椭圆方程化为标准形式 用m表示a b c 再由e 求出m的值 最后再研究椭圆的相关性质 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟研究椭圆几何性质的关键1 根据椭圆的方程计算椭圆的基本量时 关键是将所给方程正确化成椭圆的标准形式 然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上 从而准确求出a b 进而求出椭圆的其他有关性质 2 在椭圆的诸多基本量中 有些是与焦点所在的坐标轴无关的 如 长轴长 短轴长 焦距 离心率 而有些则是与焦点所在坐标轴有关的 如 顶点坐标 焦点坐标等 在计算时应注意确定焦点位置 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 长轴长是6 离心率是 2 在x轴上的一个焦点 与短轴的两个端点的连线互相垂直 且焦距为6 分析因为要求的是椭圆的标准方程 故可以先设出椭圆的标准方程 再利用待定系数法求参数a b c 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求椭圆标准方程的常用方法及一般步骤 1 常用方法 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常利用待定系数法 2 一般步骤 根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是 选标准 定参数 其一般步骤为 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 椭圆的中心在坐标原点 焦点在坐标轴上 两顶点分别是 4 0 0 2 2 椭圆的短轴长等于2 长轴端点与短轴端点间的距离等于 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析 1 利用a b c成等差数列得到a b c的关系 结合a2 b2 c2及离心率的定义求解 2 通过题设条件得出 MF2F1的几何特征 以此求出a c的数量关系 进而求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 代入a2 b2 c2 得5c2 2ac 3a2 0 即5e2 2e 3 0 答案 C 2 解由题意知 MF1F2是直线的倾斜角 所以 MF1F2 60 因为 MF1F2 2 MF2F1 所以 MF2F1 30 所以 MF2F1是直角三角形 在Rt MF2F1中 F2F1 2c MF2F1 30 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率 关键是寻找a与c的关系 一般地 3 若已知a b c的关系 则可转化为a c的齐次式 再转化为含e的方程求解即可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3A为y轴上一点 F1 F2是椭圆的两个焦点 AF1F2为正三角形 且AF1的中点B恰好在椭圆上 求此椭圆的离心率 解如图 连接BF2 因为 AF1F2为正三角形 且B为线段AF1的中点 所以F2B BF1 BF2F1 30 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因忽视椭圆焦点的位置而失误易错分析误认为椭圆的焦点在x轴上 而忽视椭圆的焦点位置的不确定性 应分焦点在x轴和y轴上两种情况进行讨论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得正确记忆每一个知识点和计算公式 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1234 答案 B 1234 答案 D 1234 3 椭圆的短半轴长为3 焦点到长