高中数学 课件正弦函数、余弦函数的性质——周期性教案.doc

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 周期性襄樊四中 朱天斌 教学目标一、知识与技能理解周期函数的概念,会判断一些简单的、常见的函数的周期性,并会求一些简单函数的周期.二、过程与方法从自然界中的周期现象出发,提供丰富的实际背景,通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念,再运用数学方法研究正弦函数、余弦函数的性质,最后利用性质去解决问题.三、情感、态度与价值观培养数学来源于生活的思维方式,体会从感性到理性的思维过程,理解未知转化为已知的数学方法.教学重点周期函数的定义和正弦、余弦、函数的周期性.教学难点周期函数的概念的形成教学工具几何画板、PPT等多媒体课件设计思路创设情境,从自然界中的周期现象出发,通过对天体运动、春夏秋冬更替、昼夜交换等自然现象的分析,引入周期函数的概念.教学方法探究、讲授、讨论、练习课时安排新授课（1课时）教学过程宇宙中行星围绕太阳做圆周运动；地球每年自转一周,产生了春夏秋冬的更替；地球每天自转一周,产生了昼夜交换；月亮围绕地球运动产生了月圆月缺；微观世界里电子围绕原子核做圆周运动,所有这些现象都给我们循环往复、周而复始的感觉,这种变化规律叫做周期性.我们知道函数是研究客观世界变化规律的一种数学模型,那么这种周而复始的变化规律如何用数学的方法来描述呢?今天我们就以三角函数为例来研究这一问题.(ppt给出课题,板书课题,学生翻开课本34页.)一、复习引入为了学习正弦函数、余弦函数的周期性,我们先回顾一下如何利用正弦线作出正弦函数图像？这个过程我们可以在几何画板中完成. 当角x的终边从零度逆时针旋转第一周时,我们得到了0到2上的函数图像,终边逆时针旋转第二周时,得到2到4上的函数图像,和0到2上的图像一样,旋转第三周时得到4到6上的图像,顺时针旋转第一周时得到-2到0上的函数图像,依次类推,左右无限延伸得到整个正弦函数图像.y=sinx正弦函数图像是不是只有这一部分？（学生答不是）正弦函数的图像是左右无限延展的；观察正弦图像,它还有什么特点？（停顿,然后点学生回答问题.）每隔2个单位图像重复出现,即周而复始.重复出现的是哪一部分的图像？（学生回答0到2上的图像）也就是说我们0到2上的图像左右平移2,4等2的整数倍个单位后生成.整个函数的图像.那么是不是只有平移0到2上的图像才能生成正弦函数的图像呢？（学生答不是）那么还可以平移哪一段图像得到？（2到4,0到4等等）那么我们任意截取长度为2的区间上的图像,经过左右平移2、4等2的整数倍个单位,都能否生成整个函数图像?（留给学生思考空间,ppt动画演示）我们再用函数的观点来看一看图像的特点,图像重复出现是自变量重复出现,还是函数值重复出现？（学生能够回答是函数值重复出现）那么在函数值重复出现的过程中自变量有什么变化规律？（给出ppt虚线,留给学生思考空间）自变量x增加到x+2时,函数值相等,即sin(x+2)=sinx.自变量x增加到x+4时,函数值相等,即sin(x+4)=sinx.自变量x增加到x +（-2）时,函数值相等,即sin(x -2)=sin x .自变量x增加到x +2k(kZ)时,函数值相等,也就是那一个诱导公式？即代数表示为sin(x +2k)=sinx (kZ) .那么自变量x是否仅限于这一个x呢？（停顿,等待学生回答.）从图像平移或诱导公式我们可以看到,对任意x,都有sin(x +2k)=sin x(kZ)成立.我们知道正弦函数是函数,函数的一般表示是什么？（学生答f(x)）我们还可以写成f(x +2k)=f(x)（kZ）,那么对于一般的函数若满足自变量由x增加到x+T（T是非零常数）时,函数值相等,我们用代数式如何表示呢？（学生答出f(x+T)=f(x)）注意这里x是定义域中任意一个值.于是我们就得到周期函数的定义：二、周期函数的定义对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域中每一个值,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.在定义中我们应该注意哪些地方呢？（留足1分钟空间，学生思考）说明：1.周期应该是一个非零的常数.周期可以是正数,也可以是负数;2.对定义域中每一个x值,都有f(x+T)=f(x)恒成立.思考.比如对于正弦函数总成立,那么是正弦函数的周期吗？（学生回答,可举出一些反例,注意肯定学生的想法）学习周期函数定义后,我们再来研究一下正弦函数,是否存在一个非零常数T,使得对定义域中每一个值,都有sin(x+T)=sin(x),(学生回答T=2)那么正弦函数是否只有一个周期呢？你能再找几个出来吗？谁能把这些周期概括起来？（这里对学生的回答一定给与肯定,同时给予赞扬.然后给出总结：2、4、6、-2、-4、-6、2k(kZ且k0)都是函数y=sinx的周期）对于一般周期函数呢？思考.若T为函数f(x)的周期, 2T、-T是函数f(x)的周期吗？你能概括一下吗？（对学生的回答要进行分析引导）3.周期函数的周期不止一个,若T是函数f(x)的一个周期,则kT(kZ且k0)都是f(x)的周期.对于正弦函数,前面我们讨论了,2、4、6、-2、-4、-6、2k(kZ且k0)都是函数y=sinx的周期,这些周期中2是最小的正数,那么是否存在比2还小的正数,也是函数的周期呢?(停顿,学生可以讨论思考)假设还存在一个比2还小的正数也是函数的周期,假设是,那么我们可以任意截取长度为的区间上的函数图像,左右平移的整数倍个单位,能够生成整个正弦函数的图像.(动画演示,发现不能生成正弦函数的图像,这一部分也可以用代数证明,同学们课后可以讨论研究)所以2就是正弦函数的最小正周期.推广到一般我们有: 周期中最小的正数叫做函数的最小正周期.以后不特别说明,所涉及到的周期一般都是最小正周期.思考：常数函数是周期函数吗？（学生回答,然后从定义和图像解释）它的周期是多少？（学生根据前面解释,回答任意非零实数.）它有最小正周期吗？（没有,从图像观察而得.）也就是说并不是所有的周期函数都有最小正周期.根据周期函数以及最小正周期的定义,我们来总结一下正弦函数、余弦函数的周期性：三、正弦、余弦函数的周期正弦函数是周期函数, 2k(kZ,且k 0)都是它的周期,最小正周期是2.余弦函数是周期函数, 2k(kZ,且k 0)都是它的周期,最小正周期是2. 那么在具体的问题中如何求函数的周期呢？我们通过例题来体会.四、例题分析例题2.求下列函数的周期.指出这里的周期就是最小正周期.（1） 在ppt中给出解答,强调2是使3cos(x +2)=3cos x成立的最小正数.（2） 板书,在sin（2x+2）=sin2x处设问2是y=2sin2x的最小正周期吗？学生讨论最后再给出解答.（3） 学生板演,最后评讲探究1：你能从解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关吗？（引导如下：与函数值的系数2、3有关吗？与有关吗？那么哪个量有关呢？）正弦型函数、余弦型函数的周期只与自变量的系数有关.（这里是否存在计算公式呢？下面我们思考一下一般情况）探究2：函数是常数,且的周期是什么？（学生讨论,最后给出解答过程）令的周期是2的最小正数T.函数是常数,且的周期是.同理可证:函数是常数,且的周期是.五、巩固练习1求下列函数的周期.2函数的最小正周期是4,求的值.3你认为我们应当如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质?先在一个周期的区间上研究函数的其他性质(如单调性、最值、函数的零点等),利用函数的周期性,将性质推广到整个定义域.（学生讨论,教师最后确认答案.）六、课堂总结1、周期函数和周期的定义、最小正周期；2、正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k（kZ,且k 0）都是它们的周期,最小正周期都是2.3、函数及函数是常数,且的周期是.七、课外作业1.课后36页习题1、2；2.课后47页习题3.八、课外思考证明：如果函数f(x)的周期为T,那么函数y=f(x)的周期是 数学来源于生活.又反过来指导着我们的生活.比如,今天星期三,7天后的那一天也必将是星期三；又比如今天是阴历十月初二,月相是月牙状,那么阴历十一月初二月相也必将是月牙状.华罗庚先生曾经说:宇宙之大,粒子之微无处不存在数学,无处不用到数学,生活中更多的现象有待于同学们用数学的方式去研究开发和利用. 设计说明 1、由可感受、能理解的实例出发,感性的认识周期函数的概念.2、本节课的第一难点在于周期函数概念的形成.先从正弦函数的图像进行分析,引出sin(x +2)=sin x,再过度到一般函数的周期定义,学生易于理解.3、本节课的第二个难点在于最小正周期的理解.先从正弦函数的最小正周期推广到一般情况.课堂上从图像的平移直观的说明,当然留给学生代数证明的课外探究,这也正符合新课改的要求；4、本节课第三个突破点在y=2si