最新人教版高中数学选修23《数学归纳法》教学设计

最新人教版高中数学选修23数学归纳法教学设计 教学设计 一、教材分析 1、教材的地位和作用数学归纳法是数列知识的深入与拓展，是证明与正整数有关问题的有力工具，是高中数学的一种重要证明方法。 通过学习，能提高学生的抽象思维能力，培养学生科学探索的创新精神。 2、教学目标1）知识与技能理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学问题；进一步提高学生的猜想归纳能力和创新能力，体会类比、归纳的数学思想。 2）过程与方法创设积极思考、大胆质疑的课堂情境，提高学生学习兴趣和课堂效率，通过合作探究，体会从猜想到证明的数学方法。 3）情感态度价值观通过对数学归纳法的学习，感受到数学生活而又高于生活，养成勤于思考、善于观察的学习习惯。 3、教学重难点1）教学重点对数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法步骤的掌握。 2）教学难点数学归纳法中对递推思想的理解。 二、学情分析 1、学生的知识与能力储备作为高二的学生已经学习了数列与推理证明，基本掌握了归纳推理，具备了一定的观察、归纳、猜想的能力。 2、学生可能遇到的困难 （1）学生初学时容易忽视归纳奠基的验证。 （2）学生难以理解第二个步骤的作用，尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明，以及如何利用归纳假设证明。 三、教法分析新课程标准指出，高中数学课应倡导自主探索，动手实践，合作交流等学习方式，应该力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，培养他们的创新意识。 结合本节课的内容，我主要采用小组合作探究的形式，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、动手操作、交流合作，帮助学生构建完善的知识结构和正确的解题思路。 四、教学过程 1、创设情境情境一数列?na，已知11?a，nnnaaa?11（?3,2,1n），试求出4,32,a aa并求出?na的通项。 生回答并归纳通项na n1?师师根据前四项可以归纳结果，它对后续的项是否成立则需要证明，当n比较小时可以逐一验证，当n比较大或者证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的，我们需要另辟心径，寻求一种方法通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。 激发学生的求知欲，并引出课题。 设计意图通过这个设计使学生发现不完全归纳不一定正确，要证明结论如果靠一个接一个的验证永远无法完成。 在学生反复验证情境二的过程中发现第n项与第n+1项之间的联系，为下面的归纳做好铺垫。 2、探究新知学生进行多米诺骨牌的实验实验结果有成功也有失败，让学生针对实验结果探究第一个问题多米诺骨牌依次全部倒下的条件是什么？通过讨论各小组派代表发言，最后归纳出骨牌依次全部倒下的条件 （1）第一块骨牌倒下 （2）假设第k块能倒下，则一定能压倒紧挨的第k1块牌。 师师第二个条件的作用是什么？生生给出了一个递推关系，只要第一块倒下，其他所有的都能相继到下师师问题二能否将这些事件的的发生原理类比到前面所讲的数学问题中呢？生生可以得到如下对应关系第一块骨牌倒下11?a正确假设第k块骨牌倒下假设ka k1?正确第k+1块骨牌倒下证明111?ka k成立根据对应关系，师生共同梳理出本题的证明过程，板书过程，规范证明过程。 设计意图这一环节的设计，使学生在动手操作过程中，能够对各种情况进行实验，可以帮助学生深刻的体会多米诺骨牌的原理，进而类比到数学问题的解决，能够提高学习的兴趣，调动学习的积极性。 师问题三你能根据情境二的解决方法，探究出证明有关正整数命题的方法吗？生生分组探究，通过类比得到证明步骤，各小组展示成果。 11?a正确初始值0n n?成立假设ka k1?正确假设k n?成立证明111?ka k成立证明1?k n时成立最后由教师进行语言的规范和步骤的完善，并将步骤板书在黑板的知识点部分。 师问题四上面两个条件分别起怎样的作用？我们能否去掉其中的一个？是否已经确认n=k时命题成立？生第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带，二者缺一不可。 因为在证明结论之前，还不知道n=k时结论是否成立，因此只能是假设成立同时为了使这个假设有一定的基础，因此这里要求*0,N k n k?.设计意图通过几个问题的探究，学生运用类比的思想归纳出基本步骤，并进一步对于方法的本质进行理解，可以提高学生观察分析问题的能力，培养学生从特殊到一般，从具体到抽象的归纳能力。 3、巩固提升师大家知道了什么是数学归纳法，那么怎样正确应用其证明呢？带着这个问题完成例1例 1、用数学归纳法证明6)12)(1(21222?n n nn?例1设计意图例1由教师和学生一起完成，是对所学知识的一个检验，可以培养学生独立分析和解决问题的能力。 教师在巡视过程中，对于思维暂时受挫的学生进行个别指导，使他们的问题得以解决，提高整个课堂教学的有效性。 练习巩固:思考1试问等式2+4+6+?+2n2n+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？证明:假设n k?时等式成立,就是224621()k k k kN?那么,当1n k?时,224622 (1) (1)2 (1)k k k kk?2 (1) (1)1kk?,这就是说,当1n k?时等式也成立.根据数学归纳法,224621()n n nnN?成立思考2:下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？证明 （1）当n=1时，左边=21，右边=21，等式成立 （2）假设n=k时等式成立，即那么，当n=k+1时，左边右边即当n=k+1时等式也成立.根据 （1）和 （2）可知等式对任何正整数n都成立.若不正确给出正确的证明.生生思考并回答问题师师指出错误，给出正确解答。 学生板书通过练习的两个问题，帮助学生加深对数学归纳法步骤的理解，学生注意到归纳奠基中不能少，当然初始值也不一定为1；k n?到1?kn的证明中，增加项数不确定，不能应用已有的公式，必须用到归纳假设才能称为数学归纳法。 设计意图使学生运用数学归纳法证题的思路进一步清晰和明确，不再机械的套用两个*111()1223 (1)1nn Nnnn?1111223 (1)1kk kk?1111111 (1)()()1=223122 (1)1kk kkk?步骤。 4、课堂小结1）、数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题2）、数学归纳法的步骤递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。 3)、数学归纳法的证明要点4)、本堂课的数学思想类比，归纳的数学思想设计鼓励同学们先自己总结，然后小组讨论，再由各组选派代表展示成果，最后由其他组代表补充，使同学们在合作中掌握知识，享受成功的乐趣。 5、巩固延伸1)、习题2.3A组1,2设计意图课后练习重在巩固本节课所学，思考题重在引出后继内容。 6、板书设计2.3数学归纳法 一、知识归纳 二、例题分析 1、数学归纳法引例、(学生口答)练习 2、（学生板演）证明步骤: (1) (2)例 1、（教师板书） 2、注意要点 五、教学评价在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探究”的教学方式，教师是学生学习的组织者、