2017_18学年高中数学第二章2.4等比数列第一课时等比数列学案含解析.docx

第一课时等 比 数 列等比数列的定义提出问题观察下面几个数列：(1)4，4,4，4，；(2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，263；(3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为10 0001.05,10 0001.052，10 0001.055.问题1：上述三个例子中的数列，它们是等差数列吗？提示：不是问题2：这三个数列，从第2项起与前一项的比有什么特点？提示：都等于同一个常数导入新知等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q0)表示化解疑难1“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；2“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；3“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q或q.特别注意，q不可以为零，当q1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列等比中项提出问题问题：观察“知识点一”中的三个数列，每个数列中任意连续三项间有何关系？提示：中间一项的平方等于它前一项与后一项之积导入新知如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G.化解疑难1G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项G，即等比中项有两个，且互为相反数2当G2ab时，G不一定是a与b的等比中项例如0250，但0,0,5不是等比数列.等比数列的通项公式提出问题问题：若数列an为等比数列，公比为q，则a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q3，a5a4qa1q4，由此你可以得出什么结论呢？提示：ana1qn1.导入新知等比数列an的首项为a1，公比为q(q0)，则通项公式为ana1qn1.化解疑难1在已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式ana1qn1可求出等比数列中的任一项2等比数列an的通项公式ana1qn1可改写为anqn.当q0且q1时，这是指数型函数等比数列的通项公式例1在等比数列an中：(1)a42，a78，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求n.解(1)因为所以由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12.(2)法一：因为由得q，从而a132.又an1，所以32n11，即26n20，所以n6.法二：因为a3a6q(a2a5)，所以q.由a1qa1q418，得a132.由ana1qn11，得n6.类题通法与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法从方程的观点看等比数列的通项公式，ana1qn1(a1q0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量求解时，要注意应用q0验证求得的结果活学活用1若等比数列的前三项分别为5，15,45，则第5项是()A405B405C135 D135解析：选Aa5a1q4，而a15，q3，a5405.2(辽宁高考)已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.解析：由2(anan2)5an12q25q20q2或，由aa10a1q90a10，又数列an递增，所以q2.aa100(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n.答案：2n等比数列的判断与证明例2已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，令bnan，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式解依题意an2(n1)(1)3n，于是bn3n.而12.数列bn是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn2n3.类题通法证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：q(q为常数且q0)或q(q为常数且q0，n2) an为等比数列；(2)等比中项法：aanan2(an0，nN*)an为等比数列；(3)通项公式法：ana1qn1(其中a1，q为非零常数，nN*)an为等比数列活学活用(全国丙卷改编)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)证明an是等比数列，并求an的通项公式解：(1)由题意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因此an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.等比中项例3设等差数列an的公差d不为0，a19d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A2 B4C6 D8解析an(n8)d，又aa1a2k，(k8)d29d(2k8)d，解得k2(舍去)，k4.答案B类题通法等比中项的应用主要有两点(1)计算与其他性质综合应用可以简化计算,提高速度和准确度(2)用来判断或证明等比数列活学活用已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是()A1或 B1或C1或 D1或解析：选D由题意得，a2b2(ab)21，2，或因此的值为1或.典例等比数列an(an0)满足a1a590，a2a436，求a5，a7的等比中项解设该等比数列的公比为q，首项为a1，由a1a590，a2a436得解得或(舍)令G是a5，a7的等比中项，则应有G2a5a7a1q4a1q6aq10962109，所以a5，a7的等比中项是3.易错防范1误认为a5，a7的等比中项是a6，故a6a1q59653.2要明确同号两数的等比中项G有两个，且互为相反数，若G为a，b的等比中项，则G.成功破障等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项是()A4B4C D.解析：选A依题意得a4a8(a1q3)(a1q7)(a1q5)2242，a4与a8的等比中项为4.随堂即时演练1已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于()A1B1C32 D32解析：选C设公比为q，由a12a2a3，即a12a1qa1q2，得q22q10.q1，q1(舍去)，则q232.2已知等差数列an的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于()A9 B3C3 D9解析：选Da1a23，a3a23，a4a232a26，由于a1，a3，a4成等比数列，则aa1a4，所以(a23)2(a23)(a26)，解得a29.3在数列an中，a12，且对任意正整数n,3an1an0，则an_.解析：3an1an0，因此an是以为公比的等比数列，又a12，所以an2n1.答案：2n14(全国卷改编)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2_.解析：a3a5a，a3a54(a41)，a4(a41)，a4a440，a42.又q38，q2，a2a1q2.答案：5(1)已知an为等比数列，且a58，a72，该数列的各项都为正数，求an；(2)若等比数列an的首项a1，末项an，公比q，求项数n.解：(1)由已知得得an0，an128n128n.(2)由ana1qn1，得n1，即n13，得n4.课时达标检测一、选择题1设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为()A.B.C. D1解析：选A原式.2已知一等比数列的前三项依次为x,2x2,3x3，那么13是此数列的第()A2项 B4项C6项 D8项解析：选B由x,2x2,3x3成等比数列，可知(2x2)2x(3x3)，解得x1或4.又当x1时，2x20，这与等比数列的定义相矛盾x4，该数列是首项为4，公比为的等比数列，其通项an4n1，由4n113，得n4.3若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a3bc10，则a的值是()A1 B1C3 D4解析：选D由题意，得解得a4，b2，c8.4若a，b，c成等比数列，则关于x的方程ax2bxc0()A必有两个不等实根B必有两个相等实根C必无实根D以上三种情况均有可能解析：选Ca，b，c成等比数列，b2ac0.又b24ac3ac0，方程无实数根5等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则an等于()A(2)n1 B(2n1)C(2)n D(2)n解析：选A设公比为q，则a1q48a1q，又a10，q0，所以q38，q2，又a5a2，所以a20，a50，从而a10，即a11，故an(2)n1.二、填空题6等比数列an中，a12，a38，则an_.解析：q2，q24，即q2.当q2时，ana1qn12(2)n1(2)n；当q2时，ana1qn122n12n.答案：(2)n或2n7已知等比数列an中，a33，a10384，则a4_.解析：设公比为q，则a1q23，a1q9384，所以q7128，q2，故a4a3q326.答案：68若数列an的前n项和为Sn，且an2Sn3，则an的通项公式是_解析：由an2Sn3得an12Sn13(n2)，两式相减得anan12an(n2)，anan1(n2)，1(n2)故an是公比为1的等比数列令n1得a12a13，a13，故an3(1)n1.答案：an3(1)n1三、解答题9数列an是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列bn中相邻的三项，若b25，求bn.解：an是等差数列，a5a14d，a8a17d，a13a112d，又a5，a8，a13是等比数列bn中相邻的三项，aa5a13，即(a17d)2(a14d)(a112d)，解得d2a1.设等比数列bn的公比为q(q0)，则q，又b2b1q5，即b15，解得b13，bn3n1.10已知数列an满足an1an(n1,2,3，)(1)当an时，求证是等比数列；(2)当a1时，求数列an的通项公式解：(1)证明：因为an1an，改写成an1.故当an时数列是以为公比的等比数列(2)当a1时，a1.故数列是首项为a1，公比为的等比数列ann，即数列an的通项公式为ann.11已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1)(nN*)(1)求a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列解：(1)由S1(a11)，得a1(a11)，a1.又S2(a21)，即a1a2(a21)，得a2.(2)证明：当n2时，anSnSn1(an1)(an11)，得，又a1，所以an是首项为，公比为的等比数列12已知数列a