高考递推数列题型分类归纳解析

高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。 特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。 本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1解法把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列满足，求。 解由条件知分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，变式:（xx，全国I，个理22本小题满分14分）已知数列，且a2k=a2k1+(1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,.（I）求a3,a5；（II）求a n的通项公式.解，即，将以上k个式子相加，得将代入，得，。 经检验也适合，类型2解法把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例1:已知数列满足，求。 解由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例2:已知，求。 解。 例3:（xx，全国I,理15）已知数列a n，满足a1=1，(n2)，则a n的通项解由已知，得，用此式减去已知式，得当时，即，又，将以上n个式子相乘，得类型3（其中p，q均为常数，）。 解法（待定系数法）把原递推公式转化为，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例1:已知数列中，求.解设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.例2:（xx，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_（key:）例3:（xx.福建.理22.）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列b n滿足证明数列b n是等差数列；（）证明（I）解是以为首项，2为公比的等比数列即（II）证法一，得即，得即是等差数列证法二同证法一，得，令得设下面用数学归纳法证明 （1）当时，等式成立 （2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立根据 （1）和 （2），可知对任何都成立是等差数列（III）证明变式:递推式。 解法只需构造数列，消去带来的差异类型4（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q,r均为常数）。 解法一般地，要先在原递推公式两边同除以，得引入辅助数列（其中），得再待定系数法解决。 例1:已知数列中，,，求。 解在两边乘以得令，则,解之得所以例2:（xx，全国I,理22）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明解（I）当时，；当时，即，利用（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q,r均为常数）的方法，解之得()将代入得S n=(4n2n)2n+1+=(2n+11)(2n+12)=(2n+11)(2n1)T n=()所以,=)=() 解法一(待定系数法)先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)这是新补充的方法，仅供学有余力的同学用对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。 若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 解法一（待定系数迭加法）:数列，求数列的通项公式。 由，得，且，则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。 把代入，得，。 把以上各式相加，得。 解法二（特征根法）补充的方法，供学有余力的同学看数列，的特征方程是。 ,。 又由，于是故例1:已知数列中，,，求。 解由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。 例2:（xx，福建,文,22）已知数列满足（I）证明数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列（I）证明是以为首项，2为公比的等比数列（II）解由（I）得（III）证明，得即，得即是等差数列类型6递推公式为与的关系式。 (或)解法这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。 例1已知数列前n项和. （1）求与的关系； （2）求通项公式.解 （1）由得于是所以. （2）应用类型4（其中p，q均为常数，）的方法，上式两边同乘以得由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以例2:（xx，陕西,理,20)已知正项数列a n，其前n项和S n满足10S n=a n2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列a n的通项a n解:10S n=a n2+5an+6，10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10S n1=a n12+5an1+6(n2)，由得10a n=(a n2an12)+6(ana n1)，即(a n+a n1)(a na n15)=0a n+a n10，a na n1=5(n2)当a1=3时，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，a1=2，a n=5n3例3:(xx,江西,文,22）已知数列a n的前n项和S n满足S nS n2=3求数列a n的通项公式.解，两边同乘以，可得令又，。 类型7解法这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。 例1:设数列，求.解设，将代入递推式，得（）则,又，故代入（）得说明 （1）若为的二次式，则可设; (2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.例2:（xx，山东,文,22,）已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3()令()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出，若不存在,则说明理由。 解（）由已知得又是以为首项，以为公比的等比数列（II）由（I）知，将以上各式相加得（III）解法一存在，使数列是等差数列，数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列解法二存在，使数列是等差数列由（=1*ROMAN I）、（=2*ROMAN II）知，又当且仅当时，数列是等差数列。 类型8解法这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。 例1已知数列中，求数列解由两边取对数得，令，则，再利用待定系数法解得。 例2:（xx，江西,理,21）已知数列 （1）证明 （2）求数列的通项公式a n.解用数学归纳法并结合函数的单调性证明 （1）方法一用数学归纳法证明1当n=1时，命题正确.2假设n=k时有则而又时命题正确.由1、2知，对一切nN时有方法二用数学归纳法证明1当n=1时，；2假设n=k时有成立，令，在0，2上单调递增，所以由假设有即也即当n=k+1时成立，所以对一切 （2）解法一所以,又b n=1，所以解法二由（I）知，两边取以2为底的对数，令,则或例3:（xx,山东,理,22）已知a1=2，点(a n,a n+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（）证明数列lg(1+a n)是等比数列；（）设T n=(1+a1)(1+a2)(1+a n)，求T n及数列a n的通项；（）记b n=，求b n数列的前项和S n，并证明S n+=1解（）由已知，两边取对数得，即是公比为2的等比数列（）由（）知（*）=由（*）式得（），又，由得，又，类型9解法这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。 例1已知数列a n满足，求数列a n的通项公式。 解取倒数是等差数列，例2:（xx，江西,理,22,）（此题较难，涉及到数列，不等式的放缩法，数学归纳法等知识，综合性较强，要认真研究，体会）已知数列a n满足a1，且a n （1）求数列a n的通项公式； （2）证明对于一切正整数n，不等式a1a2a n2n！解 （1）将条件变为1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得a n（n1）1 （2）证据1得，a1a2a n为证a1a2a n2显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nN*，有31（）3用数学归纳法证明3式（i）n1时，3式显然成立，（ii）设nk时，3式成立，即31（）则当nk1时，31（）（）1（）（）1（）即当nk1时，3式也成立故对一切n?N*，3式都成立利用3得，31（）11故2式成立，从而结论成立类型10（下面介绍的方法供学习程度较高，且有余力的同学参考用）解法如果数列满足下列条件已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。 例1已知数列满足性质对于且求的通项公式.解:数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第 （2）部分，则有即例2已知数列满足对于都有 （1）若求 （2）若求 （3）若求 （4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第 （1）部分解答. (1)对于都有 (2)令，得.故数列从第5项开始都不存在，当4，时，. (3)令则对于 (4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第 （1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.当（其中且N2）时，数列从第项开始便不存在.于是知当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在.例3:（xx，重庆,文,22,）数列记（）求b 1、b 2、b 3、b4的值；（）求数列的通项公式及数列的前n项和解法一由已知,得,其特征方程为解之得,或,解法二（I）（II）因，故猜想因，（否则将代入递推公式会导致矛盾）故的等比数列.,解法三（）由得（）由所以解法四（）同解法一（）从而类型11或解法这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。 例（I）在数列中，求（II）在数列中，求类型12归纳猜想法解法数学归纳法例1:（xx，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列a n的前n项和为S n，且方程x2an xa n0有一根为S n1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）a n的通项公式提示:1.为方程的根,代入方程可得将n=1和n=2代入上式可得2.求出等,可猜想并用数学归纳法进行证明，本题主要考察一般数列的通项公式与求和公式间的关系3.方程的根的意义(根代入方程成立)4.数学归纳法证明数列的通项公式(也可以把分开为,可得解()当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a2()由题设(S n1)2an(S n1)a n0，即S n22Sn1a nS n0当n2时，a nS nS n1，代入上式得S n1S n2S n10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想S n，n1，2，3，8分下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即S k，当nk1时，由得S k1，即S k1，故nk1时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知S n对所有正整数n都成立10分于是当n2时，a nS nS n1，又n1时，a