高考递推数列题型分类归纳解

高考递推数列题型分类归纳解 高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。 特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。 我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 型类型1)(1n f a an n?解法把原递推公式转化为)(1n fa an n?，利用累加法(逐差相加法)求解。 例例1.已知数列?na满足211?a，n na an n?211，求na。 变式:已知数列11?a a n中，且a2k=a2k1+(1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,.（I）求a3,a5；（II）求a n的通项公式.型类型2n na n fa)(1?解法把原递推公式转化为)(1n faann?，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例例1:已知数列?na满足321?a，n nanna11?，求na。 例例2:已知31?a，n nanna23131?)1(?n，求na。 变式:（xx，全国I,理15）已知数列a n，满足a1=1，1321)1(32?n na n a a a a(n2)，则a n的通项1_na?12nn?型类型3q pa an n?1（其中p，q均为常数，)0)1(?p pq）。 解法（待定系数法）把原递推公式转化为)(1t a p tan n?，其中pqt?1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例例:已知数列?na中，11?a，321?n na a，求na.变式:（xx，重庆,文,14）在数列?na中，若111,23 (1)n na a a n?，则该数列的通项na?_变式:（xx.福建.理22.本小题满分14分）已知数列?na满足*111,21().n na a a n N?（I）求数列?na的通项公式；（II）若数列b n滿足12111*444 (1)(),n nb b bbna n N?证明数列b n是等差数列；（）证明*122311.().232nna a a n nn Na a a?型类型4nn nq pa a?1（其中p，q均为常数，)0)1)(1(?q ppq）。 （或1nn na pa rq?,其中p，q,r均为常数）。 解法一般地，要先在原递推公式两边同除以1?nq，得q qaqpqannnn111?引入辅助数列?nb（其中nnnqab?），得qbqpbn n11?再待定系数法解决。 例例:已知数列?na中，651?a,11)21(31?nn na a，求na。 变式:（xx，全国I,理22,本小题满分12分）设数列?na的前n项的和14122333nn nS a?，1,2,3,n?（）求首项1a与通项na；（）设2nnnTS?，1,2,3,n?，证明132niiT?型类型5递推公式为n n nqa pa a?12（其中p，q均为常数）。 解法一(待定系数法)先把原递推公式转化为)(112n n n nsa a t sa a?其中s，t满足?q stpts解法二(特征根法)对于由递推公式n n nqa pa a?12，?21,a a给出的数列?na，方程02?q px x，叫做数列?na的特征方程。 若21,xx是特征方程的两个根，当21x x?时，数列?na的通项为1211?n nnBxAx a，其中A，B由?21,a a决定（即把2121,x xa a和2,1?n，代入1211?n nnBxAx a，得到关于A、B的方程组）；当21x x?时，数列?na的通项为11)(?nnx BnA a，其中A，B由?21,a a决定（即把2121,xxaa和2,1?n，代入11)(?nnx BnA a，得到关于A、B的方程组）。 解法一（待定系数迭加法）:数列?na),0(025312N n n aa an n n?，b aaa?21,，求数列?na的通项公式。 例例:已知数列?na中，11?a,22?a,n n na aa313212?，求na。 变式:1.已知数列?na满足*12211,3,32().n n na aaaa nN?（I）证明数列?1n na a?是等比数列；（II）求数列?na的通项公式；（III）若数列?nb满足12111*44.4 (1)(),n nbbbbna nN?证明?nb是等差数列源头学子小屋特级教师王新敞.xjktyg./wxc/wxckt126.2.已知数列?na中，11?a,22?a,n n naaa313212?，求na3.已知数列?na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1n nSa n a?，设数列),2,1(21?n aa bn n n，求证数列?nb是等比数列；设数列),2,1(,2?nann，求证数列?nc是等差数列；求数列?na的通项公式及前n项和。 型类型6递推公式为nS与na的关系式。 (或()n nSfa?)解法这种类型一般利用?)2()1(11n S Sn San nn与)()(11?n n nn na fa f S Sa消去nS)2(?n或与)(1?nn nS SfS)2(?n消去na进行求解。 例已知数列?na前n项和2214?nn naS. （1）求1?na与na的关系； （2）求通项公式na. （2）应用类型4（nn nq paa?1（其中p，q均为常数，)0)1)(1(?qppq）的方法，上式两边同乘以12?n得22211?nnnna a由1214121111?aaSa.于是数列?nn a2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以nn a nn2)1(222?12?nnna变式:（xx，陕西,理,20源头学子小屋特级教师王新敞.xjktyg./wxc/wxckt126.本小题满分12分)已知正项数列a n，其前n项和S n满足10S n=a n2+5a n+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列a n的通项a n源头学子小屋特级教师王新敞.xjktyg./wxc/wxckt126.变式:(xx,江西,文,22本小题满分14分）已知数列a n的前n项和S n满足S nS n2=3,23,1),3()21(211?SS nn且求数列a n的通项公式.型类型7b anpa an n?1)001(?，a、p解法这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn apy nx an n?，与已知递推式比较，解出y x,从而转化为?y xn a n?是公比为p的等比数列。 例例:设数列?na)2(,123,411?nnaa an n，求na.变式:（xx，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列na中，11122n na naa?、点（、）在直线y=x上，其中n=1,2,3源头学子小屋特级教师王新敞.xjktyg./wxc/wxckt126.()令?是等比数列；求证数列nnn nb aab,31?()求数列?的通项；na()设分别为数列、n nTS?、na?nb的前n项和,是否存在实数?，使得数列nnSTn?为等差数列？若存在试求出?源头学子小屋特级教师王新敞.xjktyg./wxc/wxckt126.不存在,则说明理由.型类型8rn npaa?1)0,0(?nap解法这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa ann?1，再利用待定系数法求解。 例已知数列na中，2111,1n naaa a?)0(?a，求数列?.的通项公式na变式:（xx，江西,理,21本小题满分12分）已知数列:,且满足的各项都是正数na.),4(21,110N naaa annn? （1）证明;,21N naann? （2）求数列na的通项公式a n.变式:（xx,山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(a n,a n+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3， （1）证明数列lg(1+a n)是等比数列； （2）设T n=(1+a1)(1+a2)(1+a n)，求T n及数列a n的通项；记b n=211?n naa，求b n数列的前项和S n，并证明S n+132?nT=1源头学子小屋特级教师王新敞.xjktyg./wxc/wxckt126.型类型9)()()(1n ha nga nfannn?解法这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为qpaann?1。 例例已知数列a n满足1,13111?aaaannn，求数列a n的通项公式。 变式:（xx，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列a n满足a132，且a nn1n13nan2nN2a n1?（，） （1）求数列a n的通项公式； （2）证明对于一切正整数n，不等式a1?a2?a n?2?n！ 2、若数列的递推公式为11113,2()nna naa?，则求这个数列的通项公式。 3、已知数列na满足2,11?na时，nnnnaaaa112?，求通项公式。 4、已知数列a n满足1,13111?aaaannn，求数列an的通项公式。 5、若数列an中，a1=1，a1?n=22?nnaanN?，求通项an型类型10h raqpaannn?1解法如果数列na满足下列条件已知1a的值且对于N?n，都有h raqpaannn?1（其中p、q、r、h均为常数，且rha rqr ph?1,0,），那么，可作特征方程h rxqpxx?,当特征方程有且仅有一根0x时,则01na x?是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x、2x时，则12nna xax?是等比数列。 例已知数列na满足性质对于,324,N1?nnnaaa n且,31?a求na的通项公式.例已知数列na满足对于,N?n都有.325131?nnnaaa （1）若,51?a求;na （2）若,31?a求;na （3）若,61?a求;na （4）当1a取哪些值时，无穷数列na不存在？变式:（xx，重庆,文,22,本小题满分12分）数列).1(0521681111?naaaaaannnnn且满足记).1(211?nabnn（）求b 1、b 2、b 3、b4的值；（）求数列nb的通项公式及数列nnba的前n项和.nS型类型11q pnaann?1或nn npqaa?1解法这种类型一般可转化为?12?na与?na2是等差或等比数列求解。 例（I）在数列na中，nnanaa?6,111，求na（II）在数列na中，nn naaa3,111?，求na型类型12归纳猜想法解法数学归纳法变式:（xx，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列an的前n项和为S n，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式源头学子小屋特级教师王新敞.xjktyg./wxc/wxckt126.型类型13双数列型解法根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘