高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数教案北师大版.docx

1.3 二倍角的三角函数整体设计教学分析 “二倍角的三角函数”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具.通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律.通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想.因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中,关系的特殊情形=时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为数学课程标准提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”. 在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，教材上把积化和差公式放在了习题上处理.三维目标1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.重点难点 教学重点：二倍角公式推导及其应用. 教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin=,(,),求sin2，cos2的值.学生会很容易看出：sin2=sin(+)=sincos+cossin=2sincos的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.推进新课新知探究提出问题还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)你写的这三个公式中角,会有特殊关系=吗？此时公式变成什么形式？在得到的C2公式中，还有其他表示形式吗？细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos2( )-sin2( ).思考过公式的逆用吗？想一想C2还有哪些变形？请思考以下问题：sin2=2sin吗？cos2=2cos吗？tan2=2tan吗？活动：问题,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的,，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到,会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的坐位上简化.教师再与学生一起集体订正黑板上的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3或3等角的探究附设类比联想的源泉.sin(+)=sincos+cossinsin2=2sincos（S2）;cos(+)=coscos-sinsincos2=cos2-sin2(C2);tan(+)=(T2).这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫作二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”.教师适时提出问题，点拨学生结合sin2+cos2=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫作倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了的三角函数与2的三角函数之间的关系.问题,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2的三角函数的一次式，右边是的三角函数的二次式，即左到右升幂缩角，右到左降幂扩角.二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：()这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；()通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；()二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；()公式(S2),(C2)中的角没有限制，都是R.但公式(T2)需在+和k+(kZ)时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当=k+,kZ时,虽然tan不存在,此时不能用此公式，但tan2是存在的,故可改用诱导公式.问题,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2是的二倍的形式,其他如4是2的二倍,是的二倍,3是的二倍,是的二倍，-是-的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin=2sincos,cos=cos2-sin2等等.问题,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3cos3=sin6，4sincos=2(2sincos)=2sin,=tan80，cos22-sin22=cos4，2tan=tan2(1-tan2)等等.问题,一般情况下:sin22sin,cos22cos,tan22tan.若sin2=2sin,则2sincos=2sin,即sin=0或cos=1,此时=k(kZ).若cos2=2cos,则2cos2-2cos-1=0,即cos=(cos=舍去).若tan2=2tan,则2tan,tan=0.结合tan1,=k(kZ).解答：（略）.应用示例思路1例1 已知tan=,求tan2的值.解:tan2=.例2 设是第二象限角,已知cos=-0.6,求sin2,cos2和tan2的值.解:因为是第二象限角,所以sin0,tan0.由于cos=-0.6,故sin=0.8.可得sin2=2sincos=-0.96,cos2=2cos2-1=2(-0.6)2-1=-0.28,tan2=.例3 在ABC中,已知AB=AC=2BC(如图1),求角A的正弦值.图1解:作ADBC于D,设BAD=,那么A=2.因为BD=BC=AB,所以sin=.因为02,所以0,于是cos=,故sinA=sin2=.4.要把半径为R的半圆形木料截成长方形(如图2),应怎样截取,才能使长方形面积最大?图2解:如图2,设圆心为O,长方形面积为S,AOB=,则AB=Rsin,OB=Rcos,S=(Rsin)2(Rcos)=2R2sincos=R2sin2.当sin2取最大值,即sin2=1时,截面面积最大.不难推出=时,长方形截面面积最大,最大截面面积等于R2.例5 已知sin2=,求sin4,cos4,tan4的值.活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2的正弦值.由于4是2的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.解:由,得2.又sin2=,cos2=-=-=-.于是sin4=sin2(2)=2sin2cos2=2(-)=-;cos4=cos2(2)=1-2sin22=1-2()2=;tan4=(-)=-.点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙,规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1.不查表,求值:sin15+cos15.解:原式=.点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.2.(2007高考海南,宁夏卷,9)若,则cos+sin的值为( )A.- B.- C. D.答案:C3.(2007高考重庆卷,6)下列各式中,值为的是( )A.2sin15-cos15 B.cos215-sin215C.2sin215-1 D.sin215+cos215答案:B例6 证明=tan.活动：教师先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨,鼓励.强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它.证明:方法一:左边=tan=右边,所以,原式成立.方法二:左边=右边.所以，原式成立.方法三:左边=tan=右边.所以，原式成立.点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.思路2例1 求sin10sin30sin50sin70的值.活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式,并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10，30，50，70正弦的积化为20,40,60,80余弦的积,其中60是特殊角,很容易发现40是20的2倍,80是40的2倍,故可考虑逆用二倍角公式.解:原式=cos80cos60cos40cos20=.点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.例2 在ABC中,cosA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如A+B+C=,0A,0B,0C,就是其中的一个隐含条件.可先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对2A+2B与A,B之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C的值.解：方法一:在ABC中,由cosA=,0A,得sinA=.所以tanA=,tanA=,又tanB=2,所以tan2B=.于是tan(2A+2B)=.方法二:在ABC中,由cosA=,0A,得sinA=.所以tanA=.又tanB=2,所以tan(A+B)=.于是tan(2A+2B)=tan2(A+B)=.点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野.变式训练1.(2007广东东莞)设向量a=(cos,)的模为,则cos2等于( )A.- B.- C. D.解析:由|a|=,得cos2+=,cos2=,cos2=2cos2-1=2-1=-.答案:B2.化简：.解：原式=cot2.知能训练(2007四川卷,17)已知cos=,cos(-)=,且0,(1)求tan2的值;(2)求.解:(1)由cos=,0,得sin=.tan=.于是tan2=(2)由0,得0-.又cos(-)=,sin(-)=.由=-(-),得cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=+.=.点评:本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式,三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力.作业课本习题32 A组14.课题小结1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.设计感想1.新课改的核心理念是：以学生发展为本.本节课的设计流程从回顾探索应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式.本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深地留在了学生记忆中.本节课的教学设计流程还是比较流畅的.2.纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的.3.教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导,获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体.学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣.第2课时导入新课思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换,公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用倍角公式进行了简单的化简,求值及解决实际问题，本节将利用二倍角公式的逆用推导出半角公式,并用它来解决一些三角函数式的化简,求值等.思路2.先让学生写出上节课学习的二倍角公式,接着出示课本例5让学生探究,由此展开新课.推进新课新知探究提出问题与有什么关系?如何建立cos与sin2之间的关系？sin2=，cos2=，tan2=这三个式子有什么共同特点？通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos=1-2sin2,将公式中的用代替,解出sin2即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：是的二倍角.在倍角公式cos2=1-2sin2中,以代替2,以代替,即得cos=1-2sin2,所以sin2=在倍角公式cos2=2cos2-1中,以代替2,以代替,即得cos=2cos2-1,所以cos2=.将两个等式的左右两边分别相除,即得tan2=又根据正切函数的定义,得到tan;tan.这样我们就得到另外两个公式:tan;tan.以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式,称之为半角公式.在这些公式中,根号前面的符号由所在象限相应的三角函数值的符号确定,如果所在象限无法确定,则应保留根号前面的正,负两个符号.教师引导学生观察上面的式，可让学生总结出下列特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的). 教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin=,cos=,tan=,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.讨论结果：是的二倍角.sin2=.略(见活动）.应用示例思路1例1 已知cos=,求sin,cos,tan的值.活动：此题考查半角公式的应用，利用半角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解:sin=,cos=,tan=.点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练(2005北京东城)已知为第二象限角,sin(-)=,则cos的值为( )A. B. C. D.解析:sin(-)=sin=.又为第二象限角,cos=-,cos=2cos2-1,而在第一,三象限,cos=.答案:C例2 已知sin2=-,2,求tan.解:因为2,故,是2的一半,运用半角公式,有cos2=-,所以tan=.例3 已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值.活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),a3-b=(a-b)=+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由sinxcosx与sinxcosx之间的转化,提升学生的运算,化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=.此方法往往适用于sin3xcos3x的化简问题之中.解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=,即1-2sinxcosx=,sinxcosx=.sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)=(1+)=.点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.变式训练(2007高考浙江卷,12) 已知sin+cos=,且,则cos2的值是_.答案:-例4 已知=1,求证:=1.活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a2+b2=1的形式,可利用三角代换.证法一:=1,cos4Asin2B+sin4Acos2B=sin2Bcos2B.cos4A(1-cos2B)+sin4Acos2B=(1-cos2B)cos2B,即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B.cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0.(cos2A-cos2B)2=0.cos2A=cos2B.sin2A=sin2B.=cos2B+sin2B=1.证法二:令=cos,=sin,则cos2A=cosBcos,sin2A=sinBsin.两式相加,得1=cosBcos+sinBsin,即cos(B-)=1.B-=2k(kZ),即B=2k+(kZ).cos=cosB,sin=sinB.cos2A=cosBcos=cos2B,sin2A=sinBsin=sin2B.=cos2B+sin2B=1.点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.变式训练在锐角ABC中,A,B,C是它的三个内角,记S=,求证:S1.证明:S=又A+B90,90A90-B0.tanAtan(90-B)=cotB0.tanAtanB1.S1.思路2例1 已知sin2 010=-,求sin1 005,cos1 005,tan1 005的值.解:因为2 010=5360+210是第三象限的角,所以cos2 010=-.又1 005=2360+285是第四象限的角,所以sin1 005=-,cos1 005=,tan1 005=.例2 证明=tan().活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：左边右边；右边左边；左边中间条件右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切.解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan()=,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos+sin,得.方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得.由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练已知,(0,)且满足:3sin2+2sin2=1,3sin2-2sin2=0,求+2的值.解法一:3sin2+2sin2=13sin2=1-2sin2,即3sin2=cos2,3sin2-2sin2=03sincos=sin2,2+2,得9sin4+9sin2cos2=1,即9sin2(sin2+cos2)=1,sin2=(0,),sin=.sin(+2)=sincos2+cossin2=sin3sin2+cos3sincos=3sin(sin2+cos2)=3=1.,(0,),+2(0,).+2=.解法二:3sin2+2sin2=1cos2=1-2sin2=3sin2,3sin2-2sin2=0sin2=sin2=3sincos,cos(+2)=coscos2-sinsin2=cos3sin2-sin3sincos=0.,(0,),+2(0,).+2=.解法三:由已知3sin2=cos2,sin2=sin2,两式相除,得tan=cot2,tan=tan(-2).(0,),tan0.tan(-2)0.又(0,),-2.结合tan(-2)0,得0-2.由tan=tan(-2),得=-2,即+2=.例3 求证:.活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.证明:证法一:左边=1-=右边.原式成立.证法二:右边=1-=左边.原式成立.点评：此题