导数常见题型归纳

导数常见题型归纳 导数常见题型归纳 一、常规应用与含参数的单调区间的讨论1.设函数()xef xx? （1）求函数()f x的单调区间； （2）若0k?，求不等式() (1)()0f xk x f x?的解集解 (1)22111()x x xxf xe eex x x?,由()0f x?,得1x?.因为当0x?时,()0f x?；当01x?时,()0f x?；当1x?时,()0f x?；所以()f x的单调增区间是:1,)?；单调减区间是:(,0)(0,1?，.小结此问是最基本的单调区间求解问题。 (2)由221() (1)()xx kx kxf xk x f xex?2 (1) (1)0xx kxex?,得 (1) (1)0x kx?.故当01k?时,解集是11x xk?；当1k?时，解集是?；当1k?时,解集是11x xk?.2.设函数3()3 (0)f x x ax b a?.（）若曲线()y f x?在点(2,()f x处与直线8y?相切，求,a b的值；（）求函数()f x的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）?233f x x a?,曲线()y f x?在点(2,()f x处与直线8y?相切，?203404,24.86828f a ab a b f?（）?230f x x a a?,当0a?时，?0f x?，函数()f x在?,?上单调递增，此时函数()f x没有极值点.当0a?时，由?0f x x a?，当?,x a?时，?0f x?，函数()f x单调递增，当?,x a a?时，?0f x?，函数()f x单调递减，当?,x a?时，?0f x?，函数()f x单调递增，此时x a?是()f x的极大值点，x a?是()f x的极小值点小结此题是针对根的大小讨论单调区间。 3.已知函数ax ax x f313)(23?.（）讨论函数)(x f的单调性；（）若曲线)(x f y?上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.解（）由题设知)2 (363)(,02ax ax x ax x f a?.令ax x x f2,00)(21?得.当（i）a0时，若)0,(?x，则0)(?xf，所以)(x f在区间)2,(a?上是增函数；若)2,0(ax?，则0)(?xf，所以)(x f在区间)2,0(a上是减函数；若),2(?ax，则0)(?xf，所以)(x f在区间),2(?a上是增函数；（i i）当a0时，若)2,(ax?，则0)(?xf，所以)(x f在区间)2,(a?上是减函数；若)0,2(a x?，则0)(?xf，所以)(x f在区间)0,2(a上是增函数；若),0(?x，则0)(?xf，所以)(x f在区间),0(?上是减函数.（）由（）的讨论及题设知，曲线)(x fy?上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数)(x fy?在ax x2,0?处分别是取得极值af31)0(?，134)2(2?aaaf.因为线段AB与x轴有公共点，所以0)2()0(?af f.即0)31)(134(2?a aa.所以0)4) (3)(1(2?aa a a.故0,0)4) (3)(1(?a a a a且.解得1a0或3a4.即所求实数a的取值范围是-1，0)3，4.答案应为a-1或3a4.即所求实数a的取值范围是(,1?3，4.小结 1、此题 （1）问是针对根的大小讨论单调区间的，并且要注意参数正负对不等式解的影响。 2、此题 （2）问是利用极值点进行问题的转化的。 4.已知函数32()2f x x mx nx?的图像过点（-1，-6），且函数()()6g x f x x?的图像关于y轴对称。 （1）求m,n的值及函数()y f x?的单调区间； （2）若a0，求函数()y f x?在区间(1,1)a a?内的极值。 解 （1）由函数图像过（-1，-6），得m-n=-3，由32()2f x x mxnx?，得2()32f x x mxn?而2()3 (26)g x x mxn?图像关于y轴对称，所以26023m?，即m=-3,所以n=0由2()360f x x x?得(,0)(2,)x?所以，单调递增区间为(,0)?，(2,)?，递减区间为(0,2) （2）由2()360f x x x?，得x=0,x=2；所以函数()y f x?在区间(1,1)a a?内有当0 (0)2f?，无极小值；当1 (2)6f?，无极大值；当a3时，()f x无极值。 小结此题第2问的解题关键是发现区间(1,1)a a?的长度刚好等于函数的两个极值点之间的距离，从而找到分类讨论的分类标准。 二、问题转化型5.设函数329()62f x x xx a? （1）对于任意实数x，()f x m?恒成立，求m的最大值； （2）若方程()0f x?有且仅有一个实根，求a的取值范围解 (1)2()3963 (1) (2)f xxxxx?,因为(,)x?,()f xm?,即239 (6)0xxm?恒成立,所以8112 (6)0m?,得34m?，即m的最大值为34? (2)因为当1x?时,()0f x?;当12x?时,()0f x?;当2x?时,()0f x?;所以当1x?时,()f x取极大值5 (1)2f a?;当2x?时,()f x取极小值 (2)2f a?;故当 (2)0f?或 (1)0f?时,方程()0f x?仅有一个实根.解得2a?或52a?.小结此题把问题转化成利用函数的极值点进行解决。 6.已知函数321()(,)3f xx ax bx ab R? （1）若()y f x?图象上的点111,3?处的切线斜率为-4，求()y f x?的极大值。 （2）若()y f x?在区间?1,2?上是单调减函数，求a+b的最小值。 略解 （1）易得a=-1,b=3321()33f xxxx?由2()23 (3) (1)0f xxxxx?解得121,3xx?从而易用导数法求得极大值为 (1)1f? （2）此问可用根的分布理论解决。 由题意知2()20f xx ax b?的两根必需分布在区间?1,2?外，从而由根的分布理论可得 (1)021 (2)044f abf ab?，进而由线性规划解得min3()2ab?小结此题转化为用线性规划求最值。 7.设1x，2x是函数)0 (23)(223?a x a xbxax f的两个极值点，且122xx? （1）若函数)(xf在点（0，0）处的切线与直线14?x y垂直，求a，b的值； （2）求2b的取值范围.解 （1）22)(a bx ax xf?，21xx，地)(xf的两个极值点，21xx，是0)(?xf的两个实根，又0?a，021?a xx，abx x?21.22121212122|()44bx xxxxxxx aa?，通过分析符号关系进行形式转换是求解此问的关键2|21?xx，4422?aab，即)1(4442322a aaab?，又函数)(xf在点（0，0）处的切线与直线14?x y垂直，41)0(2?a f，解得21?a，0?a，21?a，22?b. （2）由 （1）知，可设32244)(aaa gb?，02?b，10?a，)32 (4128)(2aaaaa g?且由0)(?ag得320?a，由0)(?ag得132?a.)(a g在)32,0(上单调递增，在)1,32(上单调递减.2716)32()(max?g ag，271602?b.小结在第2问中使用了导数法求最值，从而求出了范围。 8.已知2()f xx bx c?为偶函数，曲线()y f x?过点(2,5)，()()()g xxaf x?（）若曲线()y g x?有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；（）若当1x?时函数()y g x?取得极值，确定()y g x?的单调区间解:（）2()f xx bxc?为偶函数,故()()f xf x?即有22()()xbxcxbxc?解得0b?又曲线()y f x?过点(2,5),得225,c?有1c?32()()()g xxaf xx ax xa?从而2()321g xx ax?,曲线()y g x?有斜率为0的切线，故有()0g x?有实数解.即23210x ax?有实数解.此时有24120a?解得?,33,a?所以实数a的取值范围:?,33,a?（）因1x?时函数()y g x?取得极值,故有 (1)0g?即3210a?,解得2a?又2()341 (31) (1)g xxxxx?令()0g x?,得1211,3xx?当(,1)x?时,()0g x?,故()g x在(,1)?上为增函数当1(1,)3x?时,()0g x?,故()g x在1(1,)3?上为减函数当1(,)3x?时,()0g x?,故()g x在1(,)3?上为增函数9.3()31f xax x?对于?1,1x?总有()0f x?成立，则a=。 【答案】4解法一本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。 要使()0f x?恒成立，只要min()0f x?在?1,1x?上恒成立。 22()333 (1)f xax ax?01当0a?时，()31f xx?，所以min()20f x?，不符合题意，舍去。 02当0a?时22()333 (1)0f xax ax?，即()f x单调递减，min() (1)202fxf aa?，舍去。 03当0a?时1()0fxxa?若111aa?时()fx在11,a?和1,1a?上单调递增，在11,aa?上单调递减。 所以min1()min (1),()fxf fa? (1)400411()120f aafaa?当111aa?时()fx在?1,1x?上单调递减，min() (1)202fxfaa?，不符合题意，舍去。 综上可知a=4.解法二本小题考查函数单调性的综合运用若x0，则不论a取何值，?fx0显然成立；当x0即?1,1x?时，?331fxax x?0可化为，2331ax x?设?2331g xx x?，则?4312xg xx?，所以?g x在区间10,2?上单调递增，在区间1,12?上单调递减，因此?max142g x g?，从而a4；当x0即?1,0?时，?331fxaxx?0可化为a?2331xx?，?4312xg xx?0?g x在区间?1,0?上单调递增，因此?ma14ng x g?，从而a4，综上a4【答案】4 三、其它非常规套路题，发散思考型已知二次函数)(xgy?的导函数的图像与直线2y x?平行,且)(xgy?在x=1处取得最小值m1(m0?).设函数xx gxf)()(? (1)若曲线)(xfy?上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值 (2)(R kk?如何取值时,函数kx xfy?)(存在零点,并求出零点.【解析】 （1）设?2gxax bxc?，则?2gxaxb?；又?gx?的图像与直线2y x?平行22a?1a?又?gx在1x?取极小值，12b?，2b?1121g ab m?，c m?；?2gxmf xxxx?，设00(,)P xy为0()fx上任意一点，则?22222000002m xy xxx?22202022222mx mx?22224m?22m?； （2）