数学归纳法讲课用20xx

数学归纳法讲课用20xx 2.3数学归纳法高二数学组林占生?课前篇检查与展示问题11:?11,11,2,.1nn nnaa a ana?对于数列已知，猜想其通项公式111a?212a?1nan?313a?问题2某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 问题情境一.我是白的哦！由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法归纳法思考归纳法有什么优点和缺点？优点可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律缺点仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的思考11与正整数n n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？思考22如果一个数学命题与正整数n n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性 （11）证明当n n取第一个值n n00(例如n n00=1)时命题成立; （22）假设当n=k(kN*,kn00)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.最后由 （11） （22）得出结论全体自然数成立数学归纳法【命题成立的连续性】【命题成立的必要性】这种证明方法叫做数学归纳法137951+3+5+(2n1)=n2(nN*)证明例例1观察归纳猜想你能得出什么结论？并用数学归纳法证明你的结论。 n n（ （1）当n=1时，左边=1,右边=12=1，等式成立.（ （2）假设n=k时等式成立，即即1+3+5+(2k1)=k2,则则n=k+1时，1+3+5+2(k+1)1=1+3+5+(2k1)+2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2.即即n=k+1时等式也成立.根据 （1）, （2）知等式对一切nN*都成立.135（2n1）用数学归纳法证明n2即当n=k+1时等式也成立。 根据 （11）和 （22）可知，等式对任何都成立。 n N?证明135（2k1）+2(k+1)1那么当n=k+1时（ （2）假设当nk时，等式成立，即（ （1）当n=1时，左边1，右边1，等式成立。 135（2k1）k2+2(k+1)1k22k1k2（k+1）2（假设）（利用假设）注意递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。 证明传递性证明传递性（凑结论）数学归纳法步骤，用框图表示为验证n=n00时命题成立。 若n=k(kn00)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 命题对从n00开始的所有的正整数n都成立。 归纳奠基归纳递推注两个步骤,一个结论,缺一不可证明（ （1）当当n=1时时，,1a?左边,011a d a?右边等式是成立的（ （2）假设当n=k时等式成立，就是,)1(1d k a ak?那么daak k?1d dk a?)1(1这就是说，当n=k+1时，等式也成立由 （1）和 （2），可知等式对任何都成立?N ndka1)1(1?d naan)1(1?如果是等差数列，已知首项为公差为，那么na1ad对一切都成立?N n例22试用数学归纳法证明因此数学归纳法是一种科学的递推方法 (1)是递推的基础 (2)是递推的依据都成立。 何对任时等式都成立，即等式，知道推下去，就时等式也成立，这样递），时等式成立，再根据（也成立。 由于时等式），时等式成立，再根据（），根据（上述结论是容易理解的?N nnnnnn?65431222211211nn-1n1已知数列a为等为q,求证:通项公式为a=a qn n-1练习比数列，公比（提示a=qa）注意 11、用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两步同样重要，两步骤缺一不可. 22、第二步证明，由假设n nk k时命题成立，到n=k+1时必须用假设条件，否则不是数学归纳法。 33、最后一定要写“由 （11） （22）”例3用数学归纳法证明112222333344n(n1)1 (1) (2)3n n n?从n=k到n=k+1有什么变化利用假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即122334k(k+1)2)(1(31?k k k则当n=k+1时，)1(.433221?k k)2)(1(?k k)2)(1(31?k k k+)2)(1(?k k=)2)(1(?k k)131(?kn=k+1时命题正确。 由 (1)和 (2)知，当，命题正确。 ?N n=?2111)1(31?k k k1)当n=1时，左边=12=2,右边=2.命题成立11123333练习2用数学归纳法证明6)12)(1(3212222?n n nn?证明（ （1）当n=1时，左边121，右边等式成立。 （ （2）假设当n=k时，等式成立，就是16321?6)12)(1(3212222?k k kk?那么?61)1 (21)1()1 (6)32) (2)(1 (6)672)(1 (6)1 (6)12)(1()1 (6)12)(1()1(32122222222?k kkk kkk kkk kk kkkkkkk?这就是说，当n=k+1时等式也成立。 根据 （1）和 （2），可知等式对任何nN都成立。 思考11试问等式2+4+6+2n nn n22+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设n nkk时成立，即这就是说，nnk+1时也成立2+4+6+2kk2+k+1则当n=k+1时2+4+6+2k+2(k+1)k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1所以等式对任何nN*都成立事实上，当nn11时，左边22，右边33左边右边，等式不成立该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何nN*都成立，为时尚早证明当n=1时，左边,21右边,212111?假设设n=k时，等式成立，,2112121212132kk?那么n=k+1时?1322121212121kk?等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据 （1）和 （2），可知等式对任何nN都成立即211)21(1211?k.2111?k第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求思考22下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（nN）nn2112121212132?因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。 第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。 缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。 1.数